第三章 圆锥曲线的方程 强化训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学双曲线单元复习卷，聚焦离心率、渐近线等核心知识点，通过真题情境与梯度设计，适配单元巩固与数学思维提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6/30|离心率计算（题1）、渐近线方程（题3）|结合地域真题（如2025山东菏泽检测），基础巩固| |多选|2/12|实轴虚轴关系（题7）、离心率与渐近线（题8）|多选项设计，考查概念辨析| |填空|4/20|焦点三角形周长（题9）、物理情境应用（题12卢瑟福实验）|跨学科情境，提升应用意识| |解答题|3/38|方程求解与几何证明（题13、15）|综合考查推理能力，体现数学思维|

第三章 强化训练 (时间：45分钟　分值：100分) 一、 单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1. (2025·山东菏泽高二检测)若双曲线x2＝1(a＞0)的离心率为，则a等于(　D　) A. 2 B. C. 1 D. 【解析】 由题意知b＝1，双曲线的离心率e＝，∴a＝. 2. 若双曲线y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为圆x2＋y2＝4与此双曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为(　D　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【解析】 由题意a＝，b＝1，c＝＝2，∴线段F1F2是圆x2＋y2＝4的直径，∴PF1⊥PF2， ∴∴|PF1||PF2|＝2，|PF1||PF2|＝1. 3. (2025·天津高二检测)若双曲线＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且过点(2，3)，则双曲线的标准方程为(　C　) A. ＝1 B. ＝1 C. ＝1 D. ＝1 【解析】 双曲线＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，∴，即a＝b，则双曲线方程可化为＝1，由双曲线过点(2，3)，∴＝1，解得b2＝4，∴a2＝3，∴双曲线方程为＝1. 4. “k＝±”是“直线y＝kx＋1与双曲线y2＝1只有一个公共点”的(　A　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 联立方程整理可得(1－4k2)x2－8kx－8＝0，当1－4k2＝0，即k＝±时，方程有唯一解，即只有一个公共点；当1－4k2≠0时，Δ＝64k2＋32(1－4k2)＝0，解得k＝±；∴直线y＝kx＋1与双曲线y2＝1只有一个公共点时，k＝±，或k＝±，∴“k＝±”是“直线y＝kx＋1与双曲线y2＝1只有一个公共点”的充分不必要条件. 5. (2025·天津高二阶段练习)若双曲线＝1(a＞0，b＞0)与直线3x＋y＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是(　C　) A. (0，) B. (1，) C. (1，] D. (，＋∞) 【解析】 由题可得双曲线焦点在x轴上，渐近线方程为y＝±x，∵直线3x＋y＝0斜率为－3过原点且与双曲线无交点，∴ ≤3，∴b2≤9a2，即c2－a2≤9a2，故e2＝≤10，即e≤，又e＞1，∴1＜e≤. 6. 直线l过圆M：(x－5)2＋y2＝1的圆心，且与圆相交于A，B两点，P为双曲线＝1右支上一个动点，则·的最小值是(　D　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】 圆(x－5)2＋y2＝1，圆心M(5，0)，半径r＝1，∵直线l过圆(x－5)2＋y2＝1的圆心，且与圆相交于A，B两点，∴，又双曲线＝1，则a＝3，c＝5，右焦点为(5，0)，∴·＝()·()＝()·()＝＝||2－1，又||≥c－a，即||≥2，∴||2－1≥3，当点P在右顶点时取等号，即·≥3，∴·的最小值是3. 二、 多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 7. (2025·陕西榆林高二检测)已知双曲线C：y2＝1的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线C的说法，正确的是(　ABD　) A. 实轴长为6 B. 虚轴长为2 C. 焦距为2 D. 离心率为 【解析】 由题意得，m＞0，a＝，b＝1，实轴长为2a，虚轴长为2b＝2，由实轴长是虚轴长的3倍得2a＝6，A，B正确；由2a＝6得，a＝3，故c＝，焦距为2，C错误；离心率e＝，D正确. 8. 已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为1，则(　AB　) A. 双曲线C的焦点坐标为(±，0) B. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x C. 点(2，)在双曲线C上 D. 直线mx－y－2m＝0(m∈R)与双曲线C恒有两个交点 【解析】 由题意知解得∴双曲线方程为x2＝1，∴焦点坐标为(±，0)，双曲线渐近线方程为y＝±x，A正确，B正确；对于C，∵22≠1，∴点(2，)不在双曲线上，C错误；对于D，由mx－y－2m＝0整理得m(x－2)－y＝0，∴直线mx－y－2m＝0恒过点(2，0)，又22＞1，∴点(2，0)在双曲线内，∴当m＝±时，直线分别与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D错误. 三、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与左支交于A，B两点，若|AB|＝5且实轴长为8，则△ABF2的周长为　26　.  【解析】 依题意得|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝16，即|AF2|＋|BF2|－|AB|＝16，于是|AF2|＋|BF2|＝21，故△ABF2的周长为21＋5＝26. 10. 已知F是双曲线＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值是　9　.  【解析】 设右焦点为F'，则F'(4，0)，则|AF'|＝＝5，依题意有|PF|＝|PF'|＋4，∴|PF|＋|PA|＝|PF'|＋|PA|＋4≥|AF'|＋4＝5＋4＝9(当P为线段AF'与双曲线的交点时，取等号)，故|PF|＋|PA|的最小值是9. 11. (2025·山东东营高二检测)双曲线＝1(b＞0)的离心率为，过双曲线的右焦点F作直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为A，设O为坐标原点，则|OA|＝　2　.  【解析】 由题意，a＝2，e＝，则b＝1，c＝，则F(，0)，其中一条渐近线方程为y＝x，即x＋2y＝0，∴|AF|＝＝1，∴|OA|＝＝2. 12. 1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在某杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用α粒子轰击0.000 04 cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望α粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分α粒子从金箔上反弹.如图所示为卢瑟福实验中偏转的α粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 　；如果α粒子的路径经过点(20，10)，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心　10　cm.  【解析】 由题意可知双曲线的一条渐近线方程为y＝tan 45°·x＝x，即可得a＝b，∴离心率为e＝；设双曲线的方程为x2－y2＝a2，将(20，10)代入计算可得202－102＝a2，解得a＝10，∴该粒子路径的顶点距双曲线的中心10 cm.　 四、 解答题(本大题共3小题，共38分) 13. (10分)(2025·湖北武汉高二检测)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，C的右顶点D在圆x2＋y2＝4上，且·＝－1. (1)求C的方程； (2)点P在C上，且PF2⊥x轴，过点P作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，求|PA|·|PB|. 解： (1)由题意D(2，0)，即a＝2，又F1(－c，0)，F2(c，0)，则＝(－c－2，0)，＝(c－2，0)， 则·＝(－c－2，0)·(c－2，0)＝－(c＋2)(c－2)＝4－c2＝－1，即c2＝5，则b2＝c2－a2＝1，即C：y2＝1. (2)由(1)知，F2(，0)，将x＝代入双曲线，得y＝±，不妨令P，又双曲线渐近线为x±2y＝0，如图所示， ∴|PA|＝，|PB|＝，则|PA|·|PB|＝. 14. (13分)(2025·江西南昌高二检测)已知双曲线C'过点(2，3)且与双曲线C：＝1有相同的渐近线，直线l：x－my－n＝0与C'交于M，N两点. (1)求双曲线C'的方程； (2)若，且P(1，4)，求m的值. 解： (1)依题意，可设C'：＝λ(λ≠1)， 将点(2，3)代入得λ＝2，则双曲线C'的方程为C'：x2＝1. (2)如图所示，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有 由①－②，可得9(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0(*)，∵，∴点P(1，4)为MN的中点，则＝1，＝4，即x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，且＝kMN，代入(*)式，可得9(x1－x2)＝4(y1－y2)，即得kMN＝.又直线l：x－my－n＝0，故得，解得m＝. 15. (15分) (2025·辽宁大连高二期中)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线. (1)求双曲线C的标准方程； 解： 由双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为4，得b＝2，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，由直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线，得＝2，则a＝1，∴双曲线C的标准方程为x2＝1. (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为k1，直线NB斜率为k2，证明：为定值. 证明： 由(1)知，A(－1，0)，B(1，0)， 显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为x＝ty＋2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由消去x得(4t2－1)y2＋16ty＋12＝0， 4t2－1≠0，Δ＞0，y1＋y2＝，y1y2＝，ty1y2＝(y1＋y2)， 直线MA的斜率k1＝，直线NB的斜率k2＝， ∴，为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 强化训练 (时间：45分钟　分值：100分) 一、 单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1. (2025·山东菏泽高二检测)若双曲线x2＝1(a＞0)的离心率为，则a等于( 　) A. 2 B. C. 1 D. 2. 若双曲线y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为圆x2＋y2＝4与此双曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为( 　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. (2025·天津高二检测)若双曲线＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且过点(2，3)，则双曲线的标准方程为( 　) A. ＝1 B. ＝1 C. ＝1 D. ＝1 4. “k＝±”是“直线y＝kx＋1与双曲线y2＝1只有一个公共点”的( 　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. (2025·天津高二阶段练习)若双曲线＝1(a＞0，b＞0)与直线3x＋y＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是( 　) A. (0，) B. (1，) C. (1，] D. (，＋∞) 6. 直线l过圆M：(x－5)2＋y2＝1的圆心，且与圆相交于A，B两点，P为双曲线＝1右支上一个动点，则·的最小值是( 　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、 多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 7. (2025·陕西榆林高二检测)已知双曲线C：y2＝1的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线C的说法，正确的是( 　) A. 实轴长为6 B. 虚轴长为2 C. 焦距为2 D. 离心率为 8. 已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为1，则( 　) A. 双曲线C的焦点坐标为(±，0) B. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x C. 点(2，)在双曲线C上 D. 直线mx－y－2m＝0(m∈R)与双曲线C恒有两个交点 三、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与左支交于A，B两点，若|AB|＝5且实轴长为8，则△ABF2的周长为 .  10. 已知F是双曲线＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值是 .  11. (2025·山东东营高二检测)双曲线＝1(b＞0)的离心率为，过双曲线的右焦点F作直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为A，设O为坐标原点，则|OA|＝ .  12. 1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在某杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用α粒子轰击0.000 04 cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望α粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分α粒子从金箔上反弹.如图所示为卢瑟福实验中偏转的α粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果α粒子的路径经过点(20，10)，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 cm.  四、 解答题(本大题共3小题，共38分) 13. (10分)(2025·湖北武汉高二检测)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，C的右顶点D在圆x2＋y2＝4上，且·＝－1. (1)求C的方程； (2)点P在C上，且PF2⊥x轴，过点P作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，求|PA|·|PB|. 14. (13分)(2025·江西南昌高二检测)已知双曲线C'过点(2，3)且与双曲线C：＝1有相同的渐近线，直线l：x－my－n＝0与C'交于M，N两点. (1)求双曲线C'的方程； (2)若，且P(1，4)，求m的值. 15. (15分) (2025·辽宁大连高二期中)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线. (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为k1，直线NB斜率为k2，证明：为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $