第三章 圆锥曲线的方程 核心素养测评卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学圆锥曲线单元复习卷，全面覆盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查抽象能力、推理能力与模型意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|渐近线、离心率、焦点三角形|结合福建等地高二检测情境，基础概念辨析| |多选题|3/18|曲线类型判断、抛物线定义|参数分类讨论，考查抽象能力| |填空题|3/15|焦点坐标、渐近线性质、抛物线应用|工业凹槽实例，体现模型意识| |解答题|5/77|双曲线方程、抛物线焦点弦、椭圆综合|分层设计，如18题结合中点弦与面积最值，提升推理能力|

第三章核心素养测评卷 圆锥曲线的方程 满分150分，限时120分钟 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. (2025·福建三明高二检测)已知直线y＝2x是双曲线C：＝1(b＞0)的一条渐近线，则C的离心率等于(　A　) A. B. C. D. 或 【解析】 由题意可得2＝，故b＝1，则c＝，故e＝. 2. 已知p：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则p的充分不必要条件可以是(　B　) A. 3＜m＜5 B. 4＜m＜5 C. 1＜m＜5 D. m＞1 【解析】 若方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m－1＞5－m＞0，解得3＜m＜5，∴p的充要条件是3＜m＜5.结合选项可知，p的充分不必要条件可以是4＜m＜5. 3. (2025·福建泉州高二检测)椭圆C：＝1的两个焦点分别为F1，F2，长轴长为10，点P在椭圆C上，则△PF1F2的周长为(　B　) A. 16 B. 18 C. 10＋2 D. 20 【解析】 ∵长轴长为10，即2a＝10，∴长半轴长a＝5，则由题可知b2＝9，短半轴长b＝3，半焦距c＝＝4，故△PF1F2的周长为2a＋2c＝18. 4. 设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过点P作PQ⊥l于点Q.则线段FQ的垂直平分线(　B　) A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP 【解析】 连接PF，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P. 5. 已知椭圆＋y2＝1和双曲线x2＝1(b＞0)的公共焦点为F1，F2，在第一象限内的交点为P，则·等于(　B　) A. －4 B. －6 C. －8 D. －9 【解析】 由题意，根据椭圆和双曲线的定义，有解得由椭圆方程＋y2＝1，得|F1F2|＝2c＝2＝4，∴·＝|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝|PF1|·|PF2|·＝－6. 6. (2025·山东东营高二检测)过双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)内一点M(1，1)、斜率为的直线交双曲线于A，B两点，弦AB恰好被M平分，则双曲线C的离心率为(　C　) A. B. C. D. 【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且，又 ∴(y1＋y2)(y1－y2)＋(x1＋x2)(x2－x1)＝0，即有(y1－y2)＝(x1－x2)，∴，∴b2＝2a2，∴c2＝b2＋a2＝3a2，∴e2＝＝3，∴e＝. 7. (2025·陕西西安高二检测)已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1和F2，若在其渐近线上存在一点P，满足||PF1|－|PF2||＝2b，则该双曲线离心率的取值范围是(　A　) A. (1，) B. (，2) C. () D. (2，3) 【解析】 双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，∵||PF1|－|PF2||＝2b＜|F1F2|，∴点P在双曲线＝1上，双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，∵由题意可知y＝±x与双曲线＝1相交，∴由双曲线渐近线性质可知只需，即a2＞b2，则a2＞c2－a2，解得1＜(舍负)，故该双曲线离心率的取值范围是(1，). 8. 如图所示，已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，过F1的直线l与圆C：＋y2＝相切，与双曲线在第四象限交于一点M，且有MF2⊥x轴，则双曲线离心率为(　C　) A. 3 B. C. D. 2 【解析】 圆C：＋y2＝的圆心C，半径r＝c，双曲线＝1中，令x＝c，解得y＝±，则M，由直线F1M与圆C相切于点D，得|CD|＝c，又|F1C|＝c，|MF2|＝，|F1F2|＝2c，则|F1D|＝c，tan∠MF1F2＝，于是b2＝ac，即(c2－a2)＝ac，有e2－e＝0，而e＞1，∴e＝. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. (2025·广东广州高二检测)已知曲线C：x2＋my2＝1，下列结论中，正确的是(　CD　) A. 若m＞0，则C是椭圆 B. 若C是圆，则m＝±1 C. 若m＜0，则C是双曲线 D. 若m＝0，则C是两条平行于y轴的直线 【解析】 对于A，若m＞0，且m≠1，则C是椭圆；对于B，若C是圆，则m＝1；对于C，若m＜0，则C是双曲线；对于D，若m＝0，方程为x＝±1，则C是两条平行于y轴的直线. 10. (2025·浙江宁波高二期中)已知抛物线y＝x2，焦点为F，准线为l，弦PQ过点F，则下列说法中，正确的是(　CD　) A. 焦点F的坐标为 B. 准线l的方程为x＝ C. 若P(x0，y0)，则|PF|＝y0＋ D. 弦PQ的长度|PQ|≥1 【解析】 由x2＝y可得2p＝1，故p＝，∴焦点为，A错误；准线l的方程为y＝，B错误；根据焦半径公式可得若P(x0，y0)，则|PF|＝y0＋，C正确；设过点F的直线方程为y＝kx＋，联立其与抛物线的方程可得x2－kx＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则Δ＝k2＋1＞0，x1＋x2＝k，则y1＋y2＝k(x1＋x2)＋＝k2＋，故|PQ|＝y1＋y2＋p＝k2＋1≥1，故当k＝0时，此时弦PQ最短长度为1，即|PQ|≥1，D正确. 11. (2024·湖南岳阳高二期末)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)经过点M(2)，并且它的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝9所截得的弦长为4，则下列结论中，正确的是(　ACD　) A. 双曲线C的方程为＝1 B. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x C. 双曲线C的离心率为 D. 直线xy＋＝0与双曲线C只有一个公共点 【解析】 双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为bx±ay＝0.∵双曲线C的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝9所截得的弦长为4，∴圆心(2，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离d＝＝1.由点到直线的距离公式得点(2，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离d＝＝1，故c＝2b，又c2＝a2＋b2，∴a2＝3b2，∴双曲线C的方程可化为＝1，又点M(2)在双曲线C上，∴＝1，∴b2＝2，则a2＝6，∴C的方程为＝1，A正确；∵a＝b，∴C的渐近线方程为y＝±x，B错误；C的离心率e＝，C正确；由消去x整理得y2＋4y＋4＝0，∵Δ＝0，∴直线xy＋＝0与C只有一个公共点，D正确. [选择题答题区] 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B B B B C A C CD CD ACD 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. (2025·重庆高二模拟)若椭圆＝1(a＞0)与双曲线y2＝1的焦点相同，则a的值为　5　.  【解析】 双曲线y2＝1的焦点为(±4，0)，∵椭圆＝1(a＞0)与双曲线y2＝1的焦点相同，∴a2－9＝16，解得a＝5. 13. 双曲线＝1(b＞0)的离心率为，过双曲线的右焦点F作垂直于双曲线的一条渐近线的直线，垂足为A，设O为坐标原点，则S△OAF＝ 　.  【解析】 由题意，a＝2，e＝，则b＝，c＝，则F(，0)，其中一条渐近线方程为y＝x，即x＋y＝0，∴|AF|＝，∴|OA|＝＝2，∴S△OAF＝|OA|·|AF|＝. 14. (2024·江西师大附中高二期中)一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是x2＝2y，y∈[0，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为　1　.  【解析】 作出截面图，如图所示. 设小球截面圆的圆心为(0，y0)(y0＞0)，若小球能触及凹槽的最底部，则小球的半径r＝y0.曲线x2＝2y，y∈[0，10]上的点(x，y)到圆心的距离的平方为d2＝x2＋(y－y0)2＝2y＋(y－y0)2＝y2＋2(1－y0)y＋，y≥0.由题意知d2的最小值在y＝0时取到，故二次函数f(y)＝y2＋2(1－y0)y＋图象的对称轴方程应满足－1＋y0≤0，∴y0≤1，故清洁钢球的半径r的取值范围是0＜r≤1，∴清洁钢球的最大半径为1. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (13分)双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2. (1)已知焦距为8，离心率为2，求双曲线的标准方程，顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程； (2)已知双曲线中，c＝，且经过点(－5，2)，求该双曲线的标准方程. 解： (1)由双曲线的焦距为8，得c＝4，由离心率为2，得a＝2，则b＝＝2，∴双曲线标准方程为＝1，该双曲线的顶点坐标为(±2，0)，焦点坐标为(±4，0)，实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4，渐近线方程为y＝±x. (2)依题意得解得∴所求双曲线的标准方程为y2＝1. 16. (15分)(2025·江苏南通高二检测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为抛物线上一点，延长AF交抛物线于点B，抛物线的准线与x轴的交点为K，A(m＞0)，|AF|＝. (1)求抛物线的方程； (2)求△ABK的面积. 解： (1)由题知|AF|＝，∴p＝2，抛物线y2＝4x. (2)如图所示， 将A(m＞0)代入y2＝4x得m＝，即A.焦点坐标F(1，0)，kAF＝＝－2，lAB：y＝－2(x－1). 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，即6x2－13x＋6＝0，解得x1＝，x2＝，当x1＝，y1＝m＝；当x2＝时，y2＝－2，∴S△ABK＝|KF|·(|y1|＋|y1|)＝×2×. 17. (15分)(2025·天津高二检测)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的上顶点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为. (1)求椭圆C的离心率； (2)若直线y＝(x＋1)与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为(O为坐标原点)，求椭圆C的标准方程. 解： (1)椭圆上顶点的坐标为(0，b)，左、右顶点的坐标分别为(－a，0)，(a，0)，∴·，即a2＝4b2， 则a＝2b，又a2＝b2＋c2，∴c＝b，∴e＝. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得2x2＋2x＋1－4b2＝0，∴Δ＝32b2－4＞0，x1＋x2＝－1，x1x2＝，∴|AB|＝·，又原点到直线的距离d＝，∴|AB|d＝，即，解得b2＝2，满足Δ＞0，∴a2＝8，故椭圆的方程为＝1. 18. (17分)已知抛物线E：y2＝8x，两条直线l1，l2分别与抛物线E交于A，B两点和C，D两点. (1)若线段AB的中点为M(8，4)，求直线AB的斜率； (2)若直线l1，l2相互垂直且同时过抛物线E的焦点，求四边形ACBD面积的最小值. 解： (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵线段AB的中点为M(8，4)，∴y1＋y2＝2×4＝8. 由得＝8(x1－x2)，∴＝1，∴直线AB的斜率kAB＝＝1. (2)由y2＝8x可得抛物线的焦点为F(2，0)，依题意可知l1，l2的斜率都存在且不等于0，设l1的斜率为k，∵直线l1，l2相互垂直，∴l2的斜率为，∴直线l1的方程为y＝k(x－2)，直线l2的方程为y＝(x－2). 由消去y并整理得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，则Δ＝(4k2＋8)2－16k4＝64k2＋64＞0恒成立， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝4，∴|AB|＝··＝8＋，同理可得|CD|＝8＋8k2.∵l1⊥l2，∴四边形ACBD的面积S＝|AB|·|CD|＝(8＋8k2)＝32≥32·＝128，当且仅当k2＝1，即k＝±1时，等号成立，∴四边形ACBD面积的最小值是128. 19. (17分)已知曲线C上的任意一点到直线x＝的距离是它到点(，0)的距离的. (1)求曲线C的方程； (2)设M(－2，0)，N(2，0)，过点G(4，0)的直线l(斜率存在)在y轴的右侧与曲线C相交于A，B两点，记直线AM，BN的斜率分别为kAM，kBN，求直线l的斜率k的取值范围以及kBN＋3kAM的值. 解： (1)设(x，y)是曲线C上的任意一点，则·，化简得x2－4y2＝4，∴曲线C的方程为y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝ty＋4(t≠0)，由消去x并整理得(t2－4)y2＋8ty＋12＝0，则t≠±2，Δ＝(8t)2－48(t2－4)＝16t2＋192＞0，且∵直线l在y轴的右侧与曲线C相交于A，B两点， ∴即 即 即即 可得0＜t2＜4，故＜4，解得k＜，或k＞，∴直线l的斜率k的取值范围是∪. ∵ ，∴kBN＋3kAM＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章核心素养测评卷 圆锥曲线的方程 满分150分，限时120分钟 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. (2025·福建三明高二检测)已知直线y＝2x是双曲线C：＝1(b＞0)的一条渐近线，则C的离心率等于( 　) A. B. C. D. 或 2. 已知p：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则p的充分不必要条件可以是( 　) A. 3＜m＜5 B. 4＜m＜5 C. 1＜m＜5 D. m＞1 3. (2025·福建泉州高二检测)椭圆C：＝1的两个焦点分别为F1，F2，长轴长为10，点P在椭圆C上，则△PF1F2的周长为( 　) A. 16 B. 18 C. 10＋2 D. 20 4. 设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过点P作PQ⊥l于点Q.则线段FQ的垂直平分线( 　) A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP 5. 已知椭圆＋y2＝1和双曲线x2＝1(b＞0)的公共焦点为F1，F2，在第一象限内的交点为P，则·等于( 　) A. －4 B. －6 C. －8 D. －9 6. (2025·山东东营高二检测)过双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)内一点M(1，1)、斜率为的直线交双曲线于A，B两点，弦AB恰好被M平分，则双曲线C的离心率为( 　) A. B. C. D. 7. (2025·陕西西安高二检测)已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1和F2，若在其渐近线上存在一点P，满足||PF1|－|PF2||＝2b，则该双曲线离心率的取值范围是( 　) A. (1，) B. (，2) C. () D. (2，3) 8. 如图所示，已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，过F1的直线l与圆C：＋y2＝相切，与双曲线在第四象限交于一点M，且有MF2⊥x轴，则双曲线离心率为( 　) A. 3 B. C. D. 2 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. (2025·广东广州高二检测)已知曲线C：x2＋my2＝1，下列结论中，正确的是( 　) A. 若m＞0，则C是椭圆 B. 若C是圆，则m＝±1 C. 若m＜0，则C是双曲线 D. 若m＝0，则C是两条平行于y轴的直线 10. (2025·浙江宁波高二期中)已知抛物线y＝x2，焦点为F，准线为l，弦PQ过点F，则下列说法中，正确的是( 　) A. 焦点F的坐标为 B. 准线l的方程为x＝ C. 若P(x0，y0)，则|PF|＝y0＋ D. 弦PQ的长度|PQ|≥1 11. (2024·湖南岳阳高二期末)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)经过点M(2)，并且它的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝9所截得的弦长为4，则下列结论中，正确的是( 　) A. 双曲线C的方程为＝1 B. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x C. 双曲线C的离心率为 D. 直线xy＋＝0与双曲线C只有一个公共点 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. (2025·重庆高二模拟)若椭圆＝1(a＞0)与双曲线y2＝1的焦点相同，则a的值为 .  13. 双曲线＝1(b＞0)的离心率为，过双曲线的右焦点F作垂直于双曲线的一条渐近线的直线，垂足为A，设O为坐标原点，则S△OAF＝ .  14. (2024·江西师大附中高二期中)一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是x2＝2y，y∈[0，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为 .  四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (13分)双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2. (1)已知焦距为8，离心率为2，求双曲线的标准方程，顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程； (2)已知双曲线中，c＝，且经过点(－5，2)，求该双曲线的标准方程. 16. (15分)(2025·江苏南通高二检测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为抛物线上一点，延长AF交抛物线于点B，抛物线的准线与x轴的交点为K，A(m＞0)，|AF|＝. (1)求抛物线的方程； (2)求△ABK的面积. 17. (15分)(2025·天津高二检测)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的上顶点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为. (1)求椭圆C的离心率； (2)若直线y＝(x＋1)与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为(O为坐标原点)，求椭圆C的标准方程. 18. (17分)已知抛物线E：y2＝8x，两条直线l1，l2分别与抛物线E交于A，B两点和C，D两点. (1)若线段AB的中点为M(8，4)，求直线AB的斜率； (2)若直线l1，l2相互垂直且同时过抛物线E的焦点，求四边形ACBD面积的最小值. 19. (17分)已知曲线C上的任意一点到直线x＝的距离是它到点(，0)的距离的. (1)求曲线C的方程； (2)设M(－2，0)，N(2，0)，过点G(4，0)的直线l(斜率存在)在y轴的右侧与曲线C相交于A，B两点，记直线AM，BN的斜率分别为kAM，kBN，求直线l的斜率k的取值范围以及kBN＋3kAM的值. 学科网（北京）股份有限公司 $