3.2.2　直线与双曲线的综合应用课时练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 直线与双曲线综合应用同步练，分层设计梯度清晰，从基础概念到综合应用，培养数学眼光、思维与语言，助力知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直线与双曲线位置关系、渐近线|单选1-5夯实概念，如平行渐近线的公共点个数| |中档|离心率、中点弦、综合计算|多选8-9、填空11综合运算，如正方形与渐近线结合求参数| |拔高|实际情境、数学文化、逻辑推理|解答13-16探究应用，如拱桥问题、祖暅原理求体积|

3.2 练习4　直线与双曲线的综合应用 1. 若直线l平行于双曲线的一条渐近线，则l与双曲线的公共点的个数为(　B　) A. 0或1 B. 1 C. 0或2 D. 1或2 【解析】 ∵渐近线与双曲线没有公共点，∴若直线l平行于双曲线的一条渐近线，则l与双曲线的公共点的个数为1. 2. 已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为(　B　) A. x2－y2＝6 B. x2－y2＝9 C. x2－y2＝16 D. x2－y2＝25 【解析】 设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，与y＝x联立，得x2＝a2，∴|AB|＝a＝2，∴a＝3. 3. 已知双曲线＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是(　C　) A. B. () C. D. [ ] 【解析】 由题意知，F(4，0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，当过点F的直线与渐近线平行时，满足与双曲线右支只有一个交点，C正确. 4. 直线l过点(，0)且与双曲线y2＝1仅有一个公共点，这样的直线的条数为(　C　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 (，0)为双曲线y2＝1的右顶点，①当过点(，0)且斜率不存在时，即垂直于x轴的直线满足条件；②当斜率存在时，过点(，0)且平行于渐近线y＝x或y＝x的直线也满足条件. 5. 若直线l：2x＋3y＝0与双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)无公共点，则C的离心率的取值范围是(　D　) A. B. C. D. 【解析】 双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝x，∵直线l：2x＋3y＝0与C无公共点，∴≥，即≤，∴e＝≤，又e＞1，∴C的离心率的取值范围是. 6. 已知F1，F2分别是双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，且F1(，0)，过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的方程为(　C　) A. ＝1 B. y2＝1 C. x2＝1 D. ＝1 【解析】 根据双曲线的定义，有|AF2|－|AF1|＝2a①，|BF1|－|BF2|＝2a②，∵△ABF2为等边三角形，∴|AF2|＝|AB|＝|BF2|，由①＋②得|BF1|－|AF1|＝4a，则|AB|＝|AF2|＝|BF2|＝4a，∴|BF1|＝6a.在△BF1F2中，∵∠F1BF2＝60°，∴(2c)2＝(6a)2＋(4a)2－2×6a×4a×，即7a2＝c2＝7，解得a2＝1，则b2＝c2－a2＝6，∴双曲线的方程为x2＝1. 7. 如图所示为等轴双曲线形拱桥，现在拱顶离水面5 m，水面的宽AB＝30 m.若水面下降5 m，则水面的宽约是(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈2.24，≈2.65)(　B　) A. 43.8 m B. 44.8 m C. 52.3 m D. 53.0 m 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设拱桥所在双曲线的方程为＝1(a＞0)，则C(0，－a)，∵|AB|＝30，|CD|＝5，∴B(15，－a－5)，将点B的坐标代入双曲线方程，可得＝1，解得a＝20，∴双曲线的方程为＝1.当水面下降5 m时，水面到达MN的位置，可得yN＝－a－10＝－30，代入双曲线方程可得xN＝10，∴|MN|＝2xN＝20≈44.8. 8. (多选)(2025·广东高二期末)已知直线l：y＝k(x＋2)，双曲线C：x2－y2＝1，则(　ABD　) A. 当k＝1时，l与C只有一个交点 B. 当k＝－1时，l与C只有一个交点 C. 当k＝时，l与C的左支有两个交点 D. 当k＝2时，l与C的左支有两个交点 【解析】 由题意得直线l：y＝k(x＋2)过定点(－2，0)，即双曲线的左焦点.当k＝±1时，l与C的渐近线平行，l与C只有一个交点；当k＝时，l与C的左支和右支各有一个交点；当k＝2时，l与C的左支有两个交点. 9. (多选)已知M(－5，0)，N(5，0)两点，若直线上存在点P，使|PM|－|PN|＝6，则称该直线为“B型直线”.下列直线中，为“B型直线”的是(　AB　) A. y＝x＋1 B. y＝2 C. y＝x D. y＝x＋1 【解析】 设P(x，y)，∵|PM|－|PN|＝6＜|MN|，∴点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，∴2a＝6，c＝5，则b＝＝4，∴点P的轨迹方程为＝1(x≥3)，对应的渐近线方程为y＝±x.∴直线y＝x＋1与点P的轨迹有1个交点，直线y＝2与点P的轨迹有1个交点，直线y＝x与点P的轨迹没有交点，直线y＝x＋1与点P的轨迹没有交点. 10. 已知动点P(x，y)的坐标满足2＝|2x＋y－5|，则点P的轨迹是　双曲线　.  【解析】 ∵2＝|2x＋y－5|，∴＞1，即动点P(x，y)到定点(3，－2)的距离与到定直线2x＋y－5＝0的距离的比是常数，满足双曲线的第二定义，故点P的轨迹是双曲线. 11. 双曲线＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝　2　.  【解析】 设B为双曲线的右焦点，如图所示. ∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝2.又∠AOB＝，∴＝tan＝1，即a＝b.又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. 12. 已知双曲线E：＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(5，0)，过点F的直线交双曲线E于A，B两点.若AB的中点坐标为(6，－2)，则E的方程为 ＝1　.  【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得·，即·，化简得3b2＝2a2，又c＝5，c2＝a2＋b2，∴a2＝15，b2＝10，∴双曲线E的方程为＝1. 13. 已知直线l：y＝kx－1与双曲线C：x2－y2＝4的两支分别交于点P，Q. (1)求实数k的取值范围； (2)若△POQ(O为坐标原点)的面积为，求实数k的值. 解： (1)由消去y整理得(1－k2)x2＋2kx－5＝0.由题意知解得－1＜k＜1，∴实数k的取值范围是(－1，1). (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，S△OPQ＝|x1－x2|＝，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，即＝20，解得k＝0，或k＝±，又±∉(－1，1)，∴k＝0. 14. (2024·河北沧衡八校联盟高二期中)已知双曲线C的中心在原点，过点(2，0)，且与双曲线x2＝1有相同的渐近线. (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知A，B是双曲线C上的两点，且线段AB的中点为M(3，3)，求直线AB的方程. 解： (1)∵双曲线 C 与双曲线 x2＝1有相同的渐近线，∴可设其方程为x2＝λ(λ≠0)，将点(2，0)的坐标代入得λ＝4，则双曲线C的标准方程为＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AB的中点为 M(3，3)，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝6. 由两式相减得 (y1＋y2)(y1－y2)＝(x1＋x2)(x1－x2)， 即×6×(y1－y2)＝×6×(x1－x2)，则(y1－y2)＝(x1－x2)，∴＝2，∴直线AB的方程为y－3＝2(x－3)，即2x－y－3＝0. 当直线AB的方程为2x－y－3＝0时， 由消去y整理得2x2－12x＋17＝0，Δ＝(－12)2－4×2×17＞0，符合题意，故直线AB的方程为 2x－y－3＝0. 15. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异.”“势”即几何体的高，“幂”即截面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C的焦点在x轴上，离心率为，且过点(2，2)，则双曲线的渐近线方程为　y＝±2x　.若直线y＝0与y＝6在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕y轴旋转一周所得几何体的体积为　6π　.  【解析】 ∵双曲线C的离心率e＝，∴c＝a，∴c2＝a2＋b2＝5a2，∴b2＝4a2，∴双曲线的方程为＝1，又双曲线过点(2，2)，即＝1，解得a2＝1，则b2＝4，∴双曲线方程为x2＝1，则渐近线方程为y＝±2x；取y＝t(t＞0)，代入x2＝1，得＝1，代入y＝2x，得，∴阴影部分绕y轴旋转一周被任意水平平面所截得的截面面积为ππ＝π＝π.又高度为6，故根据祖暅原理，该阴影图形绕y轴旋转一周所得几何体与底面半径为1，高为6的圆柱“幂势既同”，即体积相等，∴它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积为6π. 16. 已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线C交于A，B两点，是否存在k满足·＝2(其中O为坐标原点)？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 解： 〗(1)∵2a＝2，e＝，∴a＝1，c＝，∴b2＝c2－a2＝2－1＝1，故所求双曲线方程为x2－y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y可得(1－k2)x2－2kx－2＝0，∴Δ＝4k2＋8(1－k2)＝8－4k2＞0，解得＜k＜，x1＋x2＝，x1·x2＝，∴y1·y2＝(kx1＋1)·(kx2＋1)＝k2x1·x2＋k(x1＋x2)＋1＝1＝1，∴·＝x1x2＋y1y2＝1＝2，解得k＝±，此时不满足＜k＜，故不存在k，使得·＝2成立. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 练习4　直线与双曲线的综合应用 1. 若直线l平行于双曲线的一条渐近线，则l与双曲线的公共点的个数为( 　) A. 0或1 B. 1 C. 0或2 D. 1或2 2. 已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为( 　) A. x2－y2＝6 B. x2－y2＝9 C. x2－y2＝16 D. x2－y2＝25 3. 已知双曲线＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( 　) A. B. () C. D. [ ] 4. 直线l过点(，0)且与双曲线y2＝1仅有一个公共点，这样的直线的条数为( 　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若直线l：2x＋3y＝0与双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)无公共点，则C的离心率的取值范围是( 　) A. B. C. D. 6. 已知F1，F2分别是双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，且F1(，0)，过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的方程为( 　) A. ＝1 B. y2＝1 C. x2＝1 D. ＝1 7. 如图所示为等轴双曲线形拱桥，现在拱顶离水面5 m，水面的宽AB＝30 m.若水面下降5 m，则水面的宽约是(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈2.24，≈2.65)( 　) A. 43.8 m B. 44.8 m C. 52.3 m D. 53.0 m 8. (多选)(2025·广东高二期末)已知直线l：y＝k(x＋2)，双曲线C：x2－y2＝1，则( 　) A. 当k＝1时，l与C只有一个交点 B. 当k＝－1时，l与C只有一个交点 C. 当k＝时，l与C的左支有两个交点 D. 当k＝2时，l与C的左支有两个交点 9. (多选)已知M(－5，0)，N(5，0)两点，若直线上存在点P，使|PM|－|PN|＝6，则称该直线为“B型直线”.下列直线中，为“B型直线”的是( 　) A. y＝x＋1 B. y＝2 C. y＝x D. y＝x＋1 10. 已知动点P(x，y)的坐标满足2＝|2x＋y－5|，则点P的轨迹是 .  11. 双曲线＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝ .  12. 已知双曲线E：＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(5，0)，过点F的直线交双曲线E于A，B两点.若AB的中点坐标为(6，－2)，则E的方程为 .  13. 已知直线l：y＝kx－1与双曲线C：x2－y2＝4的两支分别交于点P，Q. (1)求实数k的取值范围； (2)若△POQ(O为坐标原点)的面积为，求实数k的值. 14. (2024·河北沧衡八校联盟高二期中)已知双曲线C的中心在原点，过点(2，0)，且与双曲线x2＝1有相同的渐近线. (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知A，B是双曲线C上的两点，且线段AB的中点为M(3，3)，求直线AB的方程. 15. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异.”“势”即几何体的高，“幂”即截面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C的焦点在x轴上，离心率为，且过点(2，2)，则双曲线的渐近线方程为 .若直线y＝0与y＝6在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕y轴旋转一周所得几何体的体积为 .  16. 已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线C交于A，B两点，是否存在k满足·＝2(其中O为坐标原点)？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $