2026-2027学年高二上学期 第一章 空间向量 综合练习选择性必修1

**基本信息** 以空间向量概念为核心，通过基础运算、综合应用及创新拓展三级梯度，系统整合向量线性表示、数量积运算及空间建系方法，培养空间观念与逻辑推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|5选择+1填空|向量线性表示、模长与数量积公式|从坐标运算到非坐标向量拆分，构建运算体系| |综合应用|1选择+1填空+3解答|空间直角坐标系建立、法向量求距离|结合立体几何（四面体、四棱锥），实现向量工具化应用| |创新拓展|3选择+1填空+2解答|新定义运算（星积）、集合与向量结合、跨学科建模（甲烷结构）|通过周期规律、概率事件等拓展向量应用边界，发展创新意识|

选择性必修1 第一章 空间向量 综合练习 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷选择题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在空间直角坐标系中，已知点，，.设向量，，求的值 A. B. C. D. 2.已知空间向量,，，，，求 A. B. C. D. 3.棱长为的正四面体A-BCD，是棱AB中点，是棱CD中点，求向量的模长 A. B. C. D. 4.已知集合，空间向量的三个坐标全部取自集合，且满足，则符合条件的向量一共有 A.7个 B.10个 C.13个 D.16个 5.已知空间向量，，则“”是“向量与共线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知二次函数，设空间向量，，则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.定义空间向量运算“星积”：对任意空间向量，规定：.已知初始向量，，递推规则：对任意正整数，，则 A. B. C. D.4 8.已知集合。从集合中随机抽取两个互不相同的向量，定义：1.事件：与的夹角为钝角；2.事件：；3.事件：与线性相关. 下列说法正确的是 A. B.事件与互斥 C. D.事件与相互独立 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0分。 9.已知空间向量满足，且。记与的夹角为，向量。则下列选项正确的有 A. B. C. D.在上的投影向量的模为 10.在空间直角坐标系中，取单位正交基底。设向量，其中实数x,y满足。在正方形区域内随机取一点，对应向量。记事件为“”；事件为“”。则下列选项正确的有 A. B. C. D.事件与事件相互独立 11.在空间直角坐标系中，定义变换如下：对于任意非零向量，的三个坐标是将三元有序数组按如下规则重新排列得到的新向量：首先比较的绝对值大小，若不是最小的，则将所在位置的分量移动到第三坐标位置，其余两个分量保持原有顺序并前移；若已经是最小的，则保持向量不变。现有初始向量，其中a,b,c是互不相等的非零实数，满足。定义，，以此类推，并记集合。定义函数（）。从中随机取两个不同向量，其点积记作随机变量。则下列选项正确的有 A.集合中的元素个数不超过 B.对任意正整数，恒有 C.若，则中所有向量的点积之和为 D.的取值恒为一个常数 第II卷非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若空间向量，，则____________. 13.在化学科的学习中，我们知道，甲烷（）分子的分子结构是正四面体结构（如图3-1-13），若四个键长度（即）相等，则键角（即）的余弦值为____________. 14.已知棱长为1的正四面体的4个顶点6条棱的中点共10个点，依次记为.对任意，记，则____________.（注：记号表示取中所有两个不同点，计算两点距离的平方后全部相加.） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）在四面体O-ABC中，两两垂直，且．点是棱AB的中点，点在棱BC上，且． （1）记，试用基向量表示和，并求； （2）求异面直线OE与CD所成角的余弦值； （3）求点到平面CDE的距离． 16.（15分）在四棱锥中，底面ABCD是边长为的菱形，，底面ABCD，且．点为棱PB的中点，点在线段PC上，且． （1）求证：平面PAC； （2）求直线AN与平面MBD所成角的正弦值； （3）在线段AD上是否存在一点，使得平面//平面PAB,若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由． 17.（15分）在长方体中，．点为棱的中点，点在棱上，且． （1）求异面直线AM与所成角的余弦值； （2）若点在侧面（含边界）上运动，且满足//平面，求点的轨迹长度； （3）在（2）的条件下，求直线MP与平面ABCD所成角的正切值的取值范围． 18.（17分）在空间直角坐标系中，已知点，，．设动点同时满足以下两个条件： i.； ii.． 记所有满足条件的点的集合为． （1）求的方程，并说明的形状； （2）设点在上运动，求的取值范围． 19.（17分）设全集（整个空间直角坐标系包含的全部点），已知空间三点，，．定义两个集合： i.， ii.． 记． （1）求中点的坐标满足的方程，并指出表示的图形； （2）若点，求的取值范围． 参考答案及解析： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A B A A B B ABC ABC ABD 1. 【答案】D 【解析】 2. 【答案】C 【解析】 已知 所以 3. 【答案】A 【解析】 设，棱长为1，故，任意两条棱夹角，即 向量拆分： 为AB中点 为CD中点 两边平方求模长平方： 展开完全平方： 所以： 4. 【答案】B 【解析】 由向量点积与模长定义，原式 ， 等式右侧根号结果一定非负，因此左侧满足 ； 等式两边同时平方展开化简： 化简得： 。 结合分三类枚举计数： 1.三个坐标全为0：，共1个； 2.两个坐标为0，剩余一个取正数1或2：坐标位置有3种选择，个； 3.一个坐标取，另外两个坐标都取2：的位置有3种选择，共3个。 总数：。 5. 【答案】A 【解析】 充分性证明： 若，代入得，，，两向量显然共线，充分性成立。 必要性证明： 若共线，则存在实数，使得，列出方程组： 若，由第二式得，代入得，解得或。 即两向量共线时，可以取、，无法只推出，必要性不成立。 综上为充分不必要条件。 6. 【答案】A 【解析】 先分别计算函数值： 将展开：计算结果恒等于2，和参数的取值无关。 若，必然满足，充分成立； 若，无法推出，任意实数都满足，必要不成立。 因此是充分不必要条件。 7. 【答案】B 【解析】 依次计算前几项寻找周期： ； 1. 2. ， 3. ， 数列循环：，周期为4。 余数为2，对应，模长。 8. 【答案】B 【解析】 1.核心前提：集合内向量坐标x,y,z全部取自，均为非负整数。 任意两个向量点积，每一项乘积都，因此恒成立。 2.钝角向量判定：两向量夹角为钝角且两向量不反向共线。 结合上面结论，不存在满足的向量对，故事件是空集，。 逐一判断选项： A：，错误； B：互斥定义：。空集与任意事件交集都为空，因此、互斥，正确； C：条件概率，分母，该式无数学意义，错误； D：事件独立要求，代入数值验证等式不成立，不独立，错误。 9. 【答案】ABC 【解析】 ， 由夹角公式 A正确 ，则 B正确 C正确。 在上的投影向量的模为 D错误 10. 【答案】ABC 【解析】 区域是边长为的正方形，面积为。向量。 对应单位圆在第一象限的部分，面积为，故 A正确 ，对应正方形内直线上方的等腰直角三角形，面积为，故 B正确 是四分之一圆内满足的部分，面积等于四分之一圆面积减去一个腰长为的等腰直角三角形面积，即，故 C正确 若独立，应有。但，故与不独立 D错误 11. 【答案】ABD 【解析】 变换的实质：比较坐标绝对值，若第一个分量绝对值不是最小，则循环左移一次（把第一个分量放到最后）。由于a,b,c的绝对值互不相等，每次移动都会使绝对值最小的分量逐步前移，最多两次移动后，绝对值最小的分量必然到达首位，此后不再改变向量。因此经过至多两次变换后恒定，集合中最多只有三个不同向量 A正确 模长平方：变换只是重排坐标顺序，不改变各分量的值，因此向量的模长平方始终保持不变，即对任意， B正确 取，满足互不相等、非零且和为。三个分量的绝对值中最小，而恰在第一个位置，故直接保持向量不变，中只有这一个向量。既然只有一个向量，就无法“取两个不同向量”，更不存在“所有向量的点积之和”等于的说法 C错误 由可知，无论坐标如何重排，任意两个向量和（它们的分量都是a,b,c的某个排列）的点积都是 注意到，展开，得。而两个不同排列的点积必然等于（因为三个分量两两配对，无论顺序如何，总和都是三个两两乘积之和），这是一个由a,b,c决定的常数。因此无论中含有几个向量，只要至少有两个，从中任取两个不同向量，其点积总是这个常数 D正确 12. 【答案】 【解析】 由题易知： 13. 【答案】 【解析】 将甲烷分子抽象为正四面体结构。设碳原子位于正四面体的中心，四个氢原子位于正四面体的四个顶点。 构造一个棱长为2的正方体，以正方体的中心O为坐标原点，分别以过点O且平行于正方体三条棱的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz 令正方体的8个顶点坐标分别为 选取其中互不相邻的4个顶点作为氢原子的位置，记作： 碳原子位于正方体中心，即坐标原点，故： 任意两个氢原子之间的距离为： 同理，四个氢原子两两之间距离均为，故四点构成正四面体，满足题意。 取的两条边对应的向量： 设键角则： 14. 【答案】 【解析】 引理：对空间中任意n个点，设其横坐标为，则 由于空间中两点距离平方等于三个坐标方向差的平方和，因此总距离平方和只需将横、纵、竖三个方向的上述结果相加。 建系：取棱长为的正四面体，顶点为 六条棱中点为 十个点的横坐标为： 代入引理： 三方向对称，总距离平方和为： 棱长缩放至1，乘以： 15. 【解析】 （1）由条件，两两垂直，且，故 ． ． 因为，所以 为AB中点，故． 计算点积： （其余项因基底两两垂直而为零．） （2）由（1）知，且OE与CD不在同一平面内（O,E在平面OBC内，而不在平面OBC内），故两直线异面且方向向量垂直．所以异面直线OE与CD所成的角为，余弦值为． （3）如图，以为坐标原点，OA,OB,OC所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则 由中点及定比分点公式， ，． 平面CDE中， ，． 设平面CDE的法向量为，则 由第二个方程得，代入第一个得． 取，则，所以． 又，故点到平面CDE的距离为 16. 【解析】 以为坐标原点，AB所在直线为轴，在底面ABCD内垂直于AB的方向为轴，AP所在直线为轴，建立空间直角坐标系． 菱形ABCD边长为，，则，易得 又，底面，故． 为PB中点：． ，由定比分点公式得 （1）证明： ，，故． 平面PAC内取两相交向量，． 计算数量积： ，． 所以，．又，平面PAC， 故平面PAC． （2）由（1）可知AN的方向向量． 求平面MBD的法向量： ，，． ，． 设法向量，则 由第一个方程得，第二个得．取，则，故可取．． 计算： 又． 设直线AN与平面MBD所成的角为，则 （3）平面PAB过，其坐标均为，故平面PAB即为平面． 若存在点在线段AD上，使得平面平面PAB，则平面QMN也应为型的平面（与平行）． 在平面QMN上，其坐标为，故该平面必为． 但点的坐标为，不可能在平面上． 因此这样的点不存在． 17. 【解析】 以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则 为的中点：． 在上且：，故． （1），． 设异面直线AM与所成角为，则 （2）平面：，三点坐标均为，因此平面即为平面（平面）． 点在侧面上，该侧面满足，且．设， 则． 平面等价于MP的方向向量与平面的法向量垂直，即 所以的轨迹是侧面上线段：．该线段长度为． （3）由（2）知，其中． ．平面ABCD的法向量为． 设直线MP与平面ABCD所成角为（），则 于是 因为，故，从而． 因此，直线MP与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． 18. 【解析】 (1)设，条件(I)即．构造函数，易证在上严格递减，故由得，即． 由，相等得． 条件(II)为，即．代入得． 所以是平面上以为圆心、为半径的圆． (2)设，计算得 在中，，由余弦定理及得 由得 19. 【解析】 由S：． 由：． 两式结合得，由基本不等式知当且仅当时等号成立，代入得． 由得；由且得．此时恒成立． 故为直线． (2)设，则，，等腰三角形中 当时，；当时，（取不到）． 故． 2 学科网（北京）股份有限公司 $