精品解析：　第五章 一次函数2（图像与性质）期末复习　 2022—2023学年浙教版数学八年级上册

一次函数的复习（2） 图象与性质 考点3：一次函数的图像和性质 一、知识回顾： 1. 在同一直角坐标系中画出下列一次函数的图像： （1），； （2）， 【答案】（1）列表如下： 画图如下： （2）列表如下： 画图如下： 【解析】 【分析】（1）根据列表，描点，连线，即可求解； （2）根据列表，描点，连线，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 2. 根据图象 （1）填表： 函数解析式 大 致 图 象 所属象限 增减性 （2）性质 ①平移：一般地，一次函数的图象是由正比例函数的图象沿y轴向上（）或向下（）平移个单位长度得到的．（思考：一次函数的图象若沿x轴向左或向右平移，则函数的解析式会有什么变化？） ②位置关系：已知两条直线：与：，若，则与的关系为 ； 若，则与的关系为 ．反之也是成立的． ③交点：两条直线：与：的交点坐标为二元一次方程组的解． 【答案】（1）填表如下： 函数解析式 大 致 图 象 所属象限 一二三 一三四 一二四 二三四 增减性 随的增大而增大 随的增大而减小 （2）①平移：一般地，一次函数的图象是由正比例函数的图象沿y轴向上（）或向下（）平移个单位长度得到的； 令，则， ∴一次函数的图象与x轴的交点为， ∴一次函数的图象是由正比例函数的图象沿x轴向左（）或向右（）平移个单位长度得到的； ②位置关系：已知两条直线：与：，若，则与的关系为； 若，则与的关系为．反之也是成立的； ③交点：两条直线：与：的交点坐标为二元一次方程组的解． 【解析】 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：略 二、典型例题 考点3：一次函数的图像和性质 例1． 3. 已知函数， （1）若函数是正比例函数，求的值； （2）若这个函数是一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数是正比例函数，可知，进一步求解即可； （2）根据这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，可得，进一步求解即可． 【小问1详解】 ∵函数是正比例函数 ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小 ∴ 解得． 【点睛】本题考查了一次函数性质与系数的关系，正比例函数与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与性质是解题的关键． 变式1： 4. 已知一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点，求: （1）k，b的值； （2）这两个函数图象与x轴所围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用交点在正比例函数上求出交点纵坐标，再将一次函数经过的两个已知点代入解析式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组得到、的值； （2）先求出一次函数与轴的交点坐标，利用三角形面积公式计算出所求三角形的面积． 【小问1详解】 解：点在正比例函数的图象上， ，即两函数交点坐标为． 一次函数经过点和， 代入得方程组，，解得， ． 【小问2详解】 解：由（1）得一次函数解析式为， 令，解得，即一次函数与轴交点坐标为． 正比例函数与轴交点坐标为，两函数交点坐标为， 因此围成三角形的底为，高为交点的纵坐标1， 这两个函数图象与x轴所围成的三角形的面积． 例2． 5. 如图，已知直线经过点， （1）则直线与轴的交点坐标是________，与轴的交点坐标是________ ． （2）当时，的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，（1）当时，求出的值，可得与轴的交点坐标，再当时，求出的值，可得与轴的交点坐标；（2）当时，，解不等式即可求解． 【详解】解：将点代入得：， 解得， 直线的解析式为， （1）当时，， 解得， 直线与轴的交点坐标是， 当时，， 直线与轴的交点坐标是； （2）当时，， 解得． 变式3． 6. 已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则kb的值为（ ） A. 12 B. ﹣6 C. ﹣6或﹣12 D. 6或12 【答案】C 【解析】 【详解】∵当一次函数图象过（0，-2），（2，4）， ∴， 解得：， kb=-6； 当一次函数过(0，4)，(2，-2)， ∴， 解得：， kb=-12； 故选：C． 变式4 7. 已知直线：和直线：， （1）求两条直线和的交点坐标 （2）对于直线，当时，y的取值范围是 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立两条直线的解析式，得到二元一次方程组，求出方程组的解即可． （2）根据直线的一次项系数判断函数增减性，再结合的条件即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：联立直线和的解析式得， 可得，解得， 将代入，得， 两条直线的交点坐标为． 【小问2详解】 解：直线的解析式为， 其中一次项系数， 随的增大而增大． 当时，， ， ，即y的取值范围是． 例3 8. 如图，是一个正比例函数的图像， （1）把该图像向上平移一个单位长度，得到的函数图像的解析式为__________________． （2）把该图像向左平移个单位长度，得到的函数图像的解析式为__________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出正比例函数的解析式，再根据一次函数的平移规律：左加右减，上加下减，即可求解． 【详解】解：设正比例函数的解析式为， 将代入得， 解得， 正比例函数的解析式为， （1）把的图像向上平移一个单位长度，得到的函数图像的解析式为； （2）把的图像向左平移个单位长度，得到的函数图像的解析式为． 变式5． 9. 对于直线，与它 （1）关于x轴成对称的直线解析式为 ． （2）关于y轴成对称的直线解析式为 ． （3）关于直线成对称的直线解析式为 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据关于x轴成对称的直线上的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到点在直线上，代入即可得出结果； （2）根据关于y轴成对称的直线上的对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到点在直线上，代入即可得出结果； （3）根据关于直线成对称的对应点的横纵坐标位置互换，得到点在直线上，代入即可得出结果. 【小问1详解】 解：关于x轴成对称的直线上的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， 设点在对称的直线上，则点在直线上， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：关于y轴成对称的直线上的对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数， 设点在对称的直线上，则点在直线上， 故， ∴； 【小问3详解】 解：关于直线成对称的直线上的对应点的横纵坐标位置互换， 设点在对称的直线上，则点在直线上， 故， ∴. 课堂作业 10. 直线 上有两点和，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当时，y随着x的增大而减小，由已知即可判断大小关系． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 11. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】该函数的斜率，必然经过一、三象限，截距，与纵轴的交点在原点下方，可知函数图象过第四象限，可得出此函数不过第二象限． 【详解】解：一次函数中，，， 此函数的图象经过一三四象限，不经过第二象限． 故选：B． 【点睛】一次函数y=kx+b是一条直线，当斜率为正(k>0)，必然经过一、三象限；当斜率为负(k<0)，必然经过二、四象限；然后，再看与纵轴的交点，b>0即交点在原点上方，b<0交点在原点下方，结合实际即可判断函数具体经过哪个象限． 12. 已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象看出：随的增大而减小，由此可以确定，然后即可法求出的取值范围． 【详解】解：观察图象可得，随的增大而减小， 则有，即． 13. 已知函数的图象如图，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一次函数的图象和性质判断即可． 【详解】由函数的图象，可得，， 对于一次函数，   一次项系数，  图象经过第一、三象限 ，  常数项，  图象与轴交于负半轴  一次函数的图象经过一、三、四象限， 只有选项C图象符合题意． 14. 写出与直线平行且过点的直线解析式_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质设直线的平行线的解析式是，用待定系数法求出解析式． 【详解】解：设直线的平行线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 直线的平行线的解析式是． 15. （1）将一次函数的图象向左平移2个单位，所得函数图象的解析式是___________； （2）将一次函数的图象作关于x轴对称的变换，所得函数图象的解析式是______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用函数“左加右减”的平移规律计算即可得到结果； （2）利用关于轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，代入原解析式整理即可． 【详解】解：（1）根据一次函数图象平移“左加右减”的规律， 函数，向左平移2个单位，所得函数图象的解析式为，即； （2）函数图象关于轴对称时，对称后点的横坐标与原对应点相同，纵坐标互为相反数， 因此将原解析式中的替换为， 原解析式为，代入得， 整理得． （2010咸宁） 16. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出a值，再根据图象得到直线在直线的上方部分的点的横坐标取值范围即可求解． 【详解】解：将点代入中，得，解得， ∴， 由图象知，当时，直线在直线的上方， ∴关于x的不等式的解集为 ． （2010年连云港） 17. 某公司准备与汽车租凭公司签订租车合同，以每月用车路程xkm计算，甲汽车租凭公司每月收取的租赁费为y1元，乙汽车租凭公司每月收取的租赁费为y2元，若y1、y2与x之间的函数关系如图3所示，其中x＝0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是（ ） A. 当月用车路程为2000km时，两家汽车租赁公司租赁费用相同 B. 当月用车路程为2300km时，租赁乙汽车租赁公司比较合算 C. 除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多 D. 甲租赁公司平均每公里收到的费用比乙租赁公司少 【答案】D 【解析】 【详解】由题意联系已知函数图像可知，y1、y2均为x的一次函数．①函数图像相交于点（2000，2000），说明当月用车路程为2000km时，两家汽车租赁公司租赁费用相同；②当月用车路程为2300km时(即x＝2300时)，函数y1的图像在函数y2图像的上方(即y1＞y2)，故当月用车路程为2300km时，租赁乙汽车租赁公车比较合算；③本题中每公里收取的费用直接影响着函数y随x增大而增大的速度．在图像上的直接体现则是图像上升的速度．观察图像可知，函数y1的图像上升趋势明显，速度比函数y2的图像要快．所以除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多． 18. 已知一次函数   为何值时，y随x的增大而减小？ 为何值时，直线与y轴的交点在x轴下方？ 为何值时，直线位于第二、三、四象限？ 【答案】（1）当m<时，y随x的增大而减小；（2）当m>-1且m≠时，直线与y轴的交点在x轴下方；（3）当-1<m<时，直线位于第二、三、四象限． 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的性质得出不等式4m+1＜0，求出不等式的解集即可； （2）根据一次函数的性质得出不等式-（m+1）＜0，求出不等式的解集即可； （3）根据一次函数的性质得出不等式4m+1＜0和-（m+1）＜0，求出不等式组的解集即可． 【详解】解:(1)一次函数， 随的增大而减小， ， 解得：， (2)一次函数， 直线与轴的交点在轴下方， 且，解得：， (3)一次函数， ∵直线位于第二、三、四象限， 且， 解得：. 答：当：-1＜m＜-时，直线位于第二、三、四象限． 【点睛】本题主要考查对解一元一次不等式（组），不等式的性质，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据一次函数的性质和已知得出不等式是解此题的关键． 19. 如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． （1）求点的坐标； （2）在直线上存在点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式，再联立两条直线的解析式即可求解； （2）先求出点的坐标，进而得到、的值，再求出的面积，设点，用含有的式子表示的面积，再列方程求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得， ； 【小问2详解】 连接， 在直线：中，令，则， 解得， ， ， ，， ， 设点， ， 与的面积相等， ， 解得或， 点的坐标为或． 20. 若直线：与x轴，y轴的交点为A，B， （1）求； （2）若过点B的直线，求直线的解析式； （3）在直线上找点P，使得为等腰三角形，结合图形求出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）求得，，再利用三角形面积公式求解即可； （2）设，利用勾股定理列式求得，得到，再利用待定系数法求解即可； （3）分两种情况讨论，利用两点之间的距离公式求解即可． 【小问1详解】 解：令， 解得； 令，则， ∴，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图， 设， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， ∵， 当时， ∴， 解得或， 当时，； 当时，； ∴点的坐标为或； 当时，即点在的垂直平分线上， 此时点的横坐标为，即， ∴， ∴点的坐标为， ∴综上，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数的复习（2） 图象与性质 考点3：一次函数的图像和性质 一、知识回顾： 1. 在同一直角坐标系中画出下列一次函数的图像： （1），； （2）， 2. 根据图象 （1）填表： 函数解析式 大 致 图 象 所属象限 增减性 （2）性质 ①平移：一般地，一次函数的图象是由正比例函数的图象沿y轴向上（）或向下（）平移个单位长度得到的．（思考：一次函数的图象若沿x轴向左或向右平移，则函数的解析式会有什么变化？） ②位置关系：已知两条直线：与：，若，则与的关系为 ； 若，则与的关系为 ．反之也是成立的． ③交点：两条直线：与：的交点坐标为二元一次方程组的解． 二、典型例题 考点3：一次函数的图像和性质 例1． 3. 已知函数， （1）若函数是正比例函数，求的值； （2）若这个函数是一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围． 变式1： 4. 已知一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点，求: （1）k，b的值； （2）这两个函数图象与x轴所围成的三角形的面积． 例2． 5. 如图，已知直线经过点， （1）则直线与轴的交点坐标是________，与轴的交点坐标是________ ． （2）当时，的取值范围是________． 变式3． 6. 已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则kb的值为（ ） A. 12 B. ﹣6 C. ﹣6或﹣12 D. 6或12 变式4 7. 已知直线：和直线：， （1）求两条直线和的交点坐标 （2）对于直线，当时，y的取值范围是 ． 例3 8. 如图，是一个正比例函数的图像， （1）把该图像向上平移一个单位长度，得到的函数图像的解析式为__________________． （2）把该图像向左平移个单位长度，得到的函数图像的解析式为__________________． 变式5． 9. 对于直线，与它 （1）关于x轴成对称的直线解析式为 ． （2）关于y轴成对称的直线解析式为 ． （3）关于直线成对称的直线解析式为 ． 课堂作业 10. 直线 上有两点和，若，则___________． 11. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12. 已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 13. 已知函数的图象如图，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 14. 写出与直线平行且过点的直线解析式_______________________． 15. （1）将一次函数的图象向左平移2个单位，所得函数图象的解析式是___________； （2）将一次函数的图象作关于x轴对称的变换，所得函数图象的解析式是______________． （2010咸宁） 16. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． （2010年连云港） 17. 某公司准备与汽车租凭公司签订租车合同，以每月用车路程xkm计算，甲汽车租凭公司每月收取的租赁费为y1元，乙汽车租凭公司每月收取的租赁费为y2元，若y1、y2与x之间的函数关系如图3所示，其中x＝0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是（ ） A. 当月用车路程为2000km时，两家汽车租赁公司租赁费用相同 B. 当月用车路程为2300km时，租赁乙汽车租赁公司比较合算 C. 除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多 D. 甲租赁公司平均每公里收到的费用比乙租赁公司少 18. 已知一次函数   为何值时，y随x的增大而减小？ 为何值时，直线与y轴的交点在x轴下方？ 为何值时，直线位于第二、三、四象限？ 19. 如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． （1）求点的坐标； （2）在直线上存在点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标． 20. 若直线：与x轴，y轴的交点为A，B， （1）求； （2）若过点B的直线，求直线的解析式； （3）在直线上找点P，使得为等腰三角形，结合图形求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $