精品解析：重庆市巴南区巴蜀科学城中学校2025-2026学年人教版六年级下学期自主招生数学试题

重庆巴蜀科学城中学（科巴）2026.5.5小升初自主招生数学试题 A组题 一、填空题（每题2分，共20分） 1. 一件工作，甲、乙两人合作12天完成，乙、丙两人合作15天完成，甲、丙两人合作要20天完成。那么乙一人独做需要（ ）天完成。 2. 钟面上20点26分时，时针与分针所成的钝角是（ ）度。 3. 在商场里，小美从正在向上移动的自动扶梯顶部下120级台阶到达底部，然后从底部上24级台阶回到顶部。自动扶梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小美单位时间内向下的台阶数是她向上的台阶数的3倍。则该自动扶梯从底部到顶部的台阶数为（ ）级。 4. 如图所示，正八边形中的阴影部分的面积是2026平方厘米，那么正八边形中的白色部分的面积是（ ）平方厘米。 5. 七位数的各位数字之和为56，这样的七位数一共有（ ）个。 6. 连续写出从1开始的自然数，写到2026时停止，得到一个多位数：123456789101…20252026，那么这个多位数除以9，得到的余数是（ ）。 7. 用一根长88厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大可能是（ ）立方厘米。 8. 甲、乙、丙、丁四个人比赛，他们根据以往的成绩，自己预测的名次如表；比赛结束后，发现甲和乙各自预测对了两个人的名次，丙和丁各自预测对了一个人的名次。实际比赛结果，第一名是（ ）。 甲的预测 乙的预测 丙的预测 丁的预测 第一名 乙 丁 丙 乙 第二名 丙 乙 甲 丙 第三名 甲 甲 丁 丁 第四名 丁 丙 乙 甲 9. 甲、乙两班学生到离校88千米的博物馆参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生。为了尽快到达博物馆，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去博物馆，汽车则从某地立即返回去接在途中步行的乙班学生。如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的8倍，那么汽车应在距博物馆（ ）千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达博物馆。 10. 如图1，12×16个小正方形拼成的矩形网格中，挖掉中心部位的6×8个小正方形，把形如由4个小正方形组成的图形叫做L形（此图形旋转、翻转后也叫做L形）。将一个L形摆放在网格中，使其恰好覆盖4个小正方形，被L形覆盖的四个小正方形不完全相同的摆放方法，视为不同的摆放方法，如图2中是L形的两种不同摆放方法。则L形摆放在如图1网格中一共有（ ）种不同的摆放方法。 二、解答题（共30分） 11. 计算题。 10÷11÷12÷…÷999 ÷（） 12. 解方程。 B组题 一、填空题（每题3分，共15分） 13. 将能表示成1＋2＋3＋…＋K的形式的自然数称为三角数。有一个五位数N，它既是三角数，又是完全平方数，这个五位数N是（ ）。 14. 用1，2组成的两位数有4个，勾画五位数字串11221中的连续两位，能够找到这4个数，那么，要找到由1，2，3组成的所有三位数，这样的数字串最少需要（ ）位。 15. 从6个完全相同的红色球和6个完全相同的蓝色球中，选出6个球排成一行（不能只有蓝色球），每个红色球旁边至少有1个红色球，没有红色球独自一个的情况。那么，这6个球一共有（ ）种不同的排列方法。 16. 将1，2，3，4填入如图的方格中，使得方格中的每行、每列及两条对角线上都有1，2，3，4这四个数（图中有五个方格已填好了数），那么满足要求的填数方法有（ ）种。 1 2 3 4 2 17. 某班组织联欢会，每人发一张有10个空格的彩券，每个人都在彩券上填入1至10这10个整数，顺序自定，班长手里有一张老师已经填好的彩券，如果某人所填的彩券上的数列至少有一个位置与老师所填数列的对应位置上的数相同，即可中奖，则至少（ ）位同学联合起来填写彩券、才能保证他们中一定有人获奖。 二、解答题（共35分） 18. 为迎接校运动会，六年级分为A、B两组同学，共做了99面红旗。如果A组再做3面，B组少做4面，那么这时B组的红旗面数将比A组的红旗面数的五分之四多8面。 （1）A组和B组各制作了多少面红旗？ （2）将B组做的红旗插在短跑直线赛道的两旁，每隔5米插一面，两端都插，则这条赛道长多少米？ 19. 某工地用3种型号的卡车运送土方。已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10∶7∶6，速度比为6∶8∶9，运送土方的路程之比为15∶14∶14，三种车的辆数之比为10∶5∶7，工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务。那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？ 20. 现有一个角度模板，能否设计一种办法只用这个模板和铅笔在纸上完成下面要求： （1）3个角分别为3°，7°，170°的三角形角度模板，能否画出1°的角，并说明理由， （2）如果是3个角分别为36°，24°，120°的三角形角度模板能否画出1°的角，请说明理由。 21. 约翰写了一个2位数在一张纸上，吩咐彼得来猜猜它。 彼得问：这个数是否89？ 彼得再问：这个数是否17？ 彼得再问：这个数是否75？ 求约翰写出来的数字。 约翰回复：这里有一个数字是正确的，而且该数字的位置也是正确的。 约翰回复：这个有一个数字是正确的，但那个数字的位置是错误的 约翰回复：这里有一个数字是正确的，而且该数字的位置也是正确的。 这个数是几？ 22. 有八张纸片，正面分别标有A，B，C，D，E，F，G，H，反面分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，现将它们按下图所示正面朝上地摆在桌子上，请根据下列条件，在图中标出每张纸片反面的数字。 （1）2与5，7有重叠部分；（2）3与1，4，7有重叠部分；（3）4与3，5，7有重叠部分； （4）5与1，2，4，8有重叠部分；（5）6与1有重叠部分；（6）8与5，6有重叠部分。 23. 中国象棋的马走“日”字，车走横线或竖线，下图是半张中国象棋盘，试回答下列问题： （1）一只马从某点出发，是否一定得跳偶数步才能返回该点？ （2）一只马能否跳遍这半张棋盘，每一点都不重复，最后的一步跳回起点？ （3）证明：一只马不可能从位置B出发，跳遍半张象棋盘而每个点都只经过一次（不要求最后一步跳回起点）。 （4）一只马能否从位置B出发，用6步跳到位置A？为什么？ （5）一只车从位置A出发，在这半张棋盘上走，每步走一格，走了若干步后到了位置B。证明：至少有一个格点没被走过或被走了不止一次。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆巴蜀科学城中学（科巴）2026.5.5小升初自主招生数学试题 A组题 一、填空题（每题2分，共20分） 1. 一件工作，甲、乙两人合作12天完成，乙、丙两人合作15天完成，甲、丙两人合作要20天完成。那么乙一人独做需要（ ）天完成。 【答案】20 【解析】 【分析】先求出甲、乙、丙三人合作的工作效率，再通过三人合作的工作效率与甲丙合作的工作效率求出乙的工作效率，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率求出乙单独完成工作所需要的时间。 【详解】1÷12＝ 1÷15＝ 1÷20＝ ＋＋ ＝＋＋ ＝ ÷2＝ −＝ 1÷ ＝1×20 ＝20（天） 所以乙一人独做需要20天完成。 2. 钟面上20点26分时，时针与分针所成的钝角是（ ）度。 【答案】97 【解析】 【分析】钟面一圈是360°，分别计算出分针、时针、每分钟各走一下的度数；20点整时，分针落后时针的角度是，到26分时，时针分针都在转动，用240°加上时针转动的角度减去分针转动的角度，即是时针和分针所成的钝角度数。 【详解】分针每分钟转 时针每小时走30°，每分钟额外走：30°÷60＝0.5° 时针转动角度： 分针转动角度： 时针和分针的夹角度数： 3. 在商场里，小美从正在向上移动的自动扶梯顶部下120级台阶到达底部，然后从底部上24级台阶回到顶部。自动扶梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小美单位时间内向下的台阶数是她向上的台阶数的3倍。则该自动扶梯从底部到顶部的台阶数为（ ）级。 【答案】60 【解析】 【分析】利用“扶梯总台阶数不变”的特点，结合小美上下楼的速度关系和扶梯的匀速运动来解题，可以通过对比小美上下楼的用时和扶梯移动的台阶数，找到其中的数量关系，即可解决。 【详解】1．统一时间单位 把小美向上走1级台阶的时间作为1个单位时间： 向上走24级台阶用时：（单位时间） 向下速度是向上的3倍，向下走120级台阶，用时：（单位时间） 2．分析扶梯移动的台阶数： 设扶梯在1个单位时间移动的台阶数为固定值。 向上走时：小美走的台阶数＋扶梯移动的台阶数＝总台阶数 即：24＋24扶梯速度＝总台阶数 向下走时：小美走的台阶数扶梯移动的台阶数＝总台阶数 即：12040扶梯速度＝总台阶数 3．计算扶梯速度 因为总台阶数不变，所以2424扶梯速度＝12040扶梯速度 整理得：64扶梯速度＝96 扶梯速度（级/单位时间） 4．计算总台阶数，代入向上走的情况： （级） 4. 如图所示，正八边形中的阴影部分的面积是2026平方厘米，那么正八边形中的白色部分的面积是（ ）平方厘米。 【答案】6078 【解析】 【分析】割补法结合正八边形的特征解决，先把正八边形补成正方形，再分割拼接，就能找到阴影和白色部分的面积倍数关系。 【详解】正八边形的变形：正八边形可以看成，一个大正方形剪掉四个角后得到的图形，剪掉的四个角是大小完全一样的等腰直角三角形。 找面积份数关系：题目里的阴影是顶部的梯形，我们把1个阴影梯形的面积看作1份： 整个正八边形的总面积，刚好等于4份这样的阴影面积（推导：把四个角剪下的4个小三角形拼接，加上阴影本身、底部的梯形、中间的长方形，刚好能拼出4个和阴影一样大的图形，因此总面积是阴影面积的4倍）。 计算白色面积：白色面积＝正八边形总面积阴影面积，也就是：白色面积＝4阴影面积阴影面积＝3阴影面积代入题目给的阴影面积2026平方厘米： （平方厘米） 5. 七位数的各位数字之和为56，这样的七位数一共有（ ）个。 【答案】1716 【解析】 【分析】七位数全是9，则总和是63，比56多7，7为差值，使用插板法公式计算分配方案。 【详解】，n＝7为差值，k＝7为位数，即计算 6. 连续写出从1开始的自然数，写到2026时停止，得到一个多位数：123456789101…20252026，那么这个多位数除以9，得到的余数是（ ）。 【答案】1 【解析】 【分析】一个数除以9的余数等于其各位数字之和除以9的余数；而连续自然数拼接成的多位数，其各位数字之和等同于这些自然数本身的数值之和，因此，只需计算的和除以9的余数. 【详解】 ，5除以9的余数是5 ，，11除以9的余数是2 ，，10除以9的余数是1 所以：这个多位数除以9，得到的余数是1。 7. 用一根长88厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大可能是（ ）立方厘米。 【答案】392 【解析】 【分析】一根长88厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，用88除以4可算得长、宽、高的和，整数条件下三数越接近乘积越大，将22拆分成最接近的三个整数，作为长方体的长、宽、高，再利用“长×宽×高＝长方体体积”算出体积。 【详解】（厘米） 22拆成最接近的三个整数分别是7、7、8，所以长方体长、宽、高为7厘米、7厘米、8厘米 长方体体积： （立方厘米） 8. 甲、乙、丙、丁四个人比赛，他们根据以往的成绩，自己预测的名次如表；比赛结束后，发现甲和乙各自预测对了两个人的名次，丙和丁各自预测对了一个人的名次。实际比赛结果，第一名是（ ）。 甲的预测 乙的预测 丙的预测 丁的预测 第一名 乙 丁 丙 乙 第二名 丙 乙 甲 丙 第三名 甲 甲 丁 丁 第四名 丁 丙 乙 甲 【答案】丁 【解析】 【分析】先整理信息，锁定约束条件，把每个人的预测清单单独列出来；优先选择突破口，第一名或者最后一名，本题对第一名4种可能性逐一假设，判断出所有人对第一名的猜测对错；结合该人需要猜对的总数量，推导剩余名次对错，出现矛盾直接淘汰该假设；交叉验证，排查矛盾点，所有假设中只有一组完全符合全部规则，就是真实排名。 【详解】假设第一名是乙：甲、丁的第一名预测均正确，因此丁剩余的第二名丙、第三名丁、第四名甲预测均错误；甲剩余需要猜对1次，剩余预测中第二名已知丙错误，若甲预测的第四名丁正确即第四名为丁，则乙预测的第四名丙错误，乙需猜对2次即第二名乙、第三名甲均正确，对应第二名乙、第三名甲，此时丙的所有预测均错误，不符合丙猜对1次的条件，因此甲预测的第四名丁错误，仅能第三名甲正确。 假设第一名是丁：乙的第一名预测正确，剩余需要猜对1次。丙、丁的第一名预测均错误，各剩余需要猜对1次。甲的第一名预测错误，剩余需要猜对2次。丁剩余的预测为第二名丙、第三名丁、第四名甲，仅能猜对1次。若丁预测的第二名丙正确即第二名是丙，则甲预测的第二名丙正确，甲剩余需猜对1次，即第三名甲正确，刚好满足甲共猜对2次的要求；此时乙剩余预测中第三名甲正确，刚好满足乙共猜对2次的要求，剩余第四名为乙。甲剩余需要猜对2次，第一名、第四名均错误，所以第二名丙、第三名甲均正确，对应第二名是丙，第三名是甲；乙剩余的预测中，第二名乙错误，第三名甲正确，第四名丙错误，刚好猜对2次，符合条件。 此时实际名次为：第一名丁、第二名丙、第三名甲、第四名乙。验证可得：甲猜对第二名、第三名，共2次；乙猜对第一名、第三名，共2次；丙猜对第四名，共1次；丁猜对第二名，共1次，全部符合条件，该假设成立。 所以第一名是丁。 9. 甲、乙两班学生到离校88千米的博物馆参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生。为了尽快到达博物馆，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去博物馆，汽车则从某地立即返回去接在途中步行的乙班学生。如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的8倍，那么汽车应在距博物馆（ ）千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达博物馆。 【答案】16 【解析】 【分析】两班步行速度相同且同时到达，意味着‌两班步行路程相等‌、‌乘车路程也相等‌。 设步行速度为 v，则车速为 8v。当乙班步行1份距离时，汽车行驶了7份距离（用于送甲班前行并返回接乙班），其中“送甲班超出乙班位置的单程”与“返回相遇的单程”之和为 7份，因相向而行时间相同，可推出中间段（车送甲后返回接乙的往返差值部分）对应份数为份。 所以全程份数‌：全程由“乙班先步行段（1份）＋车往返中间段（3.5份）＋甲班最后步行段（1份）”组成，共份。根据全程距离可算出1份距离，即距博物馆的步行段（返回接人点）距离。 【详解】 （千米 ） 10. 如图1，12×16个小正方形拼成的矩形网格中，挖掉中心部位的6×8个小正方形，把形如由4个小正方形组成的图形叫做L形（此图形旋转、翻转后也叫做L形）。将一个L形摆放在网格中，使其恰好覆盖4个小正方形，被L形覆盖的四个小正方形不完全相同的摆放方法，视为不同的摆放方法，如图2中是L形的两种不同摆放方法。则L形摆放在如图1网格中一共有（ ）种不同的摆放方法。 【答案】664 【解析】 【分析】L形有8种放置方法：，由对称性其中4种每种数目相同。 每个2×3和3×2的格子里各有4种L形，因此我们将L形补全为2×3或3×2的格子，先数清楚格子一共有多少个，再乘以每个格子的个数。 【详解】2×3的格子（横向）有： （16－2）×（12－1）－（8＋4－2）×（6＋2－1） ＝14×11－10×7 ＝154－70 ＝84（个） 3×2的格子（纵向）有： （16－1）×（12－2）－（8＋2－1）×（6＋4－2） ＝15×10－9×8 ＝150－72 ＝78（个） 算上空白的四个角每个角各四种L形（至少有一个正方形挨着空白部分）， 一共有： （84＋78）×4＋4×4 ＝162×4＋16 ＝648＋16 ＝664（种） L形摆放在如图1网格中一共有664种不同的摆放方法。 二、解答题（共30分） 11. 计算题。 10÷11÷12÷…÷999 ÷（） 【答案】； 3； 2026； 98 【解析】 【分析】（1）一个数除以多个数等于除以这些数的乘积。10除以从11到999的所有整数，结果写成分数形式，分子分母同时补上1×2×3×……×9×10，写成上下阶乘的形式。 （2）这道题是复杂计算，直接硬算几乎不可取。观察数字：2026，1000，1026，注意到2026＝1000＋1026，数字较大、且较为接近或重复多次时，我们采用字母代替，整体换元，或整体相消。 题目中有三次方，想到可以利用立方差公式或代数换元简化。设a＝1026，b＝1000，则a＋b＝2026。分子为（a＋b）3－b3－a3。根据和的立方展开，（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，减a3减b3后剩下3a2b＋3ab2＝3ab（a＋b），分母为（a＋b）×b×a。分子分母约分后可得常数。 （3）括号内是分数裂项求和，利用，求和得。再乘以外面的2027，凑整。 （4）有带分数和小数，先把带分数化假分数，小数化分数，除法转化为乘倒数。注意后面括号内也有计算。 【详解】（1）10÷11÷12÷…÷999 ＝ ＝ （2）设，，则 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝2027× ＝2027× ＝2026 （4）÷（ 12. 解方程。 【答案】x＝；x＝ 【解析】 【分析】先对等式左边进行化简，再利用等式的性质1和等式性质2进行解方程， 等式两边同时乘6去掉分母后，再利用等式的性质1和等式性质2进行解方程。 【详解】 解： 解： B组题 一、填空题（每题3分，共15分） 13. 将能表示成1＋2＋3＋…＋K的形式的自然数称为三角数。有一个五位数N，它既是三角数，又是完全平方数，这个五位数N是（ ）。 【答案】41616 【解析】 【分析】已知五位数N是三角数，则N＝1＋2＋3＋…＋K＝（1＋K）×K÷2，且，根据不等式求出K的取值范围，又因为这个数是完全平方数，假设N＝，K和K＋1是相邻的两个自然数，一定是互质数，且一个奇数一个偶数，其中的奇数本身一定是个平方数，偶数除以2的结果也是一个平方数，若K为奇数，即K＝2n－1，K＋1＝2n，N＝＝，则n为平方数，2n－1为平方数，根据K的取值范围计算出n的取值范围，计算是否有符合条件的n的结果；同理，若K为偶数，即K＝2n，K＋1＝2n＋1，N＝＝，其中n为平方数，2n＋1为平方数，根据K的取值范围计算出n的取值范围，计算是否有符合条件的n的结果。 【详解】N＝1＋2＋3＋…＋K＝ 若K为奇数，设K＝2n－1，则K＋1＝2n，N＝＝＝，其中n为平方数，2n－1为平方数 141≤2n－1＜447 142≤2n＜448 71≤n＜224 在71和224之间的平方数n的结果有：81、100、121、144、169、196，对应的2n－1的结果有：161、199、241、287、337、391，其中没有平方数，不符合条件； 若K为偶数，设K＝2n，则K＋1＝2n＋1，N＝＝＝，其中n为平方数，2n＋1为平方数 141≤2n＜447 70.5≤n＜223.5 在70.5和223.5之间的平方数n的结果有：81、100、121、144、169、196，对应的2n＋1的结果有：163、201、243、289、339、393，其中289是平方数，289＝ 则n＝144，2n＋1＝289时符合条件，N＝144×289＝41616。 14. 用1，2组成的两位数有4个，勾画五位数字串11221中的连续两位，能够找到这4个数，那么，要找到由1，2，3组成的所有三位数，这样的数字串最少需要（ ）位。 【答案】29 【解析】 【分析】用1、2组成两位数，共有个，对应的最短数字串长度是（因为连续两位的子串，每多1个数字就能多产生1个新子串，所以要加“两位数的位数1＝1”）。类比到1、2、3组成三位数的情况，先算出所有三位数的个数，再用“个数＋（三位数的位数1）”就能得到最短数字串的长度。 【详解】1．计算1、2、3组成的三位数个数： 百位、十位、个位都可以选1、2、3，各有3种选择： （个） 2．套用规律计算最短数字串长度： 连续三位的子串，每多1个数字就能多产生1个新的三位数子串，所以需要加上“三位数的位数1＝2”： （位） 15. 从6个完全相同的红色球和6个完全相同的蓝色球中，选出6个球排成一行（不能只有蓝色球），每个红色球旁边至少有1个红色球，没有红色球独自一个的情况。那么，这6个球一共有（ ）种不同的排列方法。 【答案】20 【解析】 【分析】因为不能全是蓝球，且红球不能单个存在，所以红球数量不可以是0个和1个。 2个及以上红球连续排列摆放： 红球为2个时有5种排列方式； 红球为3个时有4种排列方式； 红球为4个时有3种排列方式； 红球为5个时有2种排列方式； 红球为6个时有1种排列方式； 每2个或3个红球挨在一起，蓝球穿插摆放： 4个红球加2个蓝球有3种排列方式； 5个红球加1个蓝球有2种排列方式 【详解】5＋4＋3＋2＋1＋3＋2＝20（种） 16. 将1，2，3，4填入如图的方格中，使得方格中的每行、每列及两条对角线上都有1，2，3，4这四个数（图中有五个方格已填好了数），那么满足要求的填数方法有（ ）种。 1 2 3 4 2 【答案】1 【解析】 【分析】第一列已经有1与2，第一列的第二行与第三行只能填3与4，分两种情况讨论，尝试填表。保证每行、每列及两条对角线上都有1，2，3，4这四个数并不重复， 【详解】第一列已经有1与2，第一列的第二行与第三行只能填3与4， 假设A处填3，每行、每列及两条对角线四个数不重复，C处只能填4 G、K处只能填2与3，第三列上已经有3，所以G处只能填2，则K处填3， 此时表格如下 第四列I、J处只能填2与1，结合第三行已经有2，所以J处只能填1则I处填2，此时表格如下 每行1，2，3，4这四个数并不重复，所以第二行F处填1、第三行D处填3，每列1，2，3，4这四个数并不重复，所以第二列E处填1，第三列H处填4。填表格如下： 检查表格满足“每行、每列及两条对角线上都有1，2，3，4这四个数并不重复”条件， 同样方法推理其它情况均不成立。 所以只有1种填法。 17. 某班组织联欢会，每人发一张有10个空格的彩券，每个人都在彩券上填入1至10这10个整数，顺序自定，班长手里有一张老师已经填好的彩券，如果某人所填的彩券上的数列至少有一个位置与老师所填数列的对应位置上的数相同，即可中奖，则至少（ ）位同学联合起来填写彩券、才能保证他们中一定有人获奖。 【答案】1334962 【解析】 【分析】保证有人获奖的反面是“所有人都不获奖”，即所有人的彩券与老师彩券的对应位置数均不同（错排）。因此，先计算10个元素的错排数D（10），则至少需要D（10）＋1人才能确保有人中奖。 根据递推公式D（n）＝（n－1）［D（n－1）＋D（n－2）］，计算出D（10）。 【详解】D（1）＝0，D（2）＝1。 D（3）＝2，D（4）＝9，D（5）＝44， D（6）＝265，D（7）＝1854，D（8）＝14833， D（9）＝133496，D（10）＝9×（133496＋14833）＝1334961。 最多有1334961人全错排（不中奖），故至少需1334961＋1＝1334962人才能保证有人中奖。 二、解答题（共35分） 18. 为迎接校运动会，六年级分为A、B两组同学，共做了99面红旗。如果A组再做3面，B组少做4面，那么这时B组的红旗面数将比A组的红旗面数的五分之四多8面。 （1）A组和B组各制作了多少面红旗？ （2）将B组做的红旗插在短跑直线赛道的两旁，每隔5米插一面，两端都插，则这条赛道长多少米？ 【答案】（1）A组：47面；B组：52面 （2）125米 【解析】 【分析】（1）设A组原做面，则B组原做面。调整后A组为面，B组为面，根据这时B组的红旗面数将比A组的红旗面数的五分之四多8面，列方程解答。 （2）单侧间隔数＝旗数－1，再用间隔数乘5可算出赛道长度。 【小问1详解】 解：设A组原做面，则B组原做面。 答：A组制作了47面红旗、B组制作了52面红旗。 【小问2详解】 （米） 答：这条赛道长125米。 19. 某工地用3种型号的卡车运送土方。已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10∶7∶6，速度比为6∶8∶9，运送土方的路程之比为15∶14∶14，三种车的辆数之比为10∶5∶7，工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务。那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？ 【答案】32∶79 【解析】 【分析】工作量与卡车载重量、速度、运送次数（时间）成正比，与路程成反比。先算三种车每辆每天的工作量之比，结合辆数算每天三种车投入的运力比。再分段计算工作量：前10天只有一半甲车，乙丙全投入；后15天全投入。分别求出甲车和总工作量的份数，最后求比值。 我们定义工作总量为：工作总量＝载重量×速度÷路程×时间×辆数。 【详解】三种车次数比＝ ，， 次数比 甲种车日工作量＝车辆数×工作小时数×运送次数比 ＝ ＝ ＝ 乙种车日工作量＝ ＝ ＝ 丙种车日工作量＝ ＝ ＝ 前10天三种车日工作量比＝ 前10天甲种车完成工作量＝ 前10天总工作量＝ 甲种车日工作量＝ ＝ ＝ 乙种车日工作量＝ ＝ ＝ 丙种车日工作量＝ ＝ ＝ 后15天三种车日工作量比＝ 后15天甲种车完成工作量＝ 后15天总工作量＝ 甲种车总工作量＝前10天甲工作量＋后15天甲工作量 ＝ ＝ ＝ 总工作量＝前10天总工作量＋后15天总工作量 ＝ ＝ ＝ ＝ 甲种车完成工作量与总工作量的比＝ ＝ ＝ 答：甲种车完成的工作量与总工作量的比是。 20. 现有一个角度模板，能否设计一种办法只用这个模板和铅笔在纸上完成下面要求： （1）3个角分别为3°，7°，170°的三角形角度模板，能否画出1°的角，并说明理由， （2）如果是3个角分别为36°，24°，120°的三角形角度模板能否画出1°的角，请说明理由。 【答案】（1）能 （2）不能 【解析】 【分析】判断能否用角度模板画出指定角度，核心是看模板的角能否通过整数次的加、减拼合得到目标角。若模板所有角的公因数能整除目标角的度数，则可以画出，反之则不能。 【小问1详解】 ①画一条射线，将7°角模板的顶点与射线的端点重合，模板的一条边与射线重合，沿模板的另一条边画出射线，得到的角。 ②在角的内部，将3°角模板的顶点与射线端点重合，模板的一条边与初始射线重合，沿模板的另一条边画射线，此时剩余角的度数为。 ③在角的内部，将3°角模板的顶点与端点重合，模板的一条边与角的非公共边重合，沿模板的另一条边画射线，此时剩余角的度数为。 因此可以画出1°的角。 能用该模板画出1°的角；因为3＝1×3，7＝1×7，所以3°、7°的最大公约数为1， 因为当两个数的最大公约数为1时，存在整数m、n，使得3m＋7n＝1，尝试可得： 3×5＋7×（﹣2） ＝15－14 ＝1 或 3×（﹣2）＋7×1 ＝﹣6＋7 ＝1 所以可以通过3°和7°角的组合得到1°角，所以能用该模板画出1°的角。 【小问2详解】 36、24、120的最大公因数是12，即： 因此模板的三个角都是12°的倍数。 无论用这些角拼加多少个，或是叠减多少个，得到的角的度数都是12°的倍数。 由于1不是12的倍数，因此无法用这个模板画出1°的角。 21. 约翰写了一个2位数在一张纸上，吩咐彼得来猜猜它。 彼得问：这个数是否89？ 彼得再问：这个数是否17？ 彼得再问：这个数是否75？ 求约翰写出来的数字。 约翰回复：这里有一个数字是正确的，而且该数字的位置也是正确的。 约翰回复：这个有一个数字是正确的，但那个数字的位置是错误的 约翰回复：这里有一个数字是正确的，而且该数字的位置也是正确的。 这个数是几？ 【答案】79 【解析】 【分析】从第二次猜数的“一个数字正确但位置错误”入手分情况讨论，排除不符合的情况后，结合第一次和第三次“一个数字正确且位置正确”的条件，逐步确定十位和个位的数字。 第二次猜的数是17，有1个数字正确但位置错误，分两种情况： 第一种：正确数字是1。1在十位，位置错误说明1在个位，即个位是1，且十位不是7。 此时看第一次猜的89，个位9和1不同，所以只能十位8正确，得到数81。再看第三次猜的75，7和5都和81不同，没有正确数字，不符合要求，排除该情况。 第二种：正确数字是7。7在个位，位置错误说明7在十位，即十位是7，且个位不是1。 第三次猜的数是75，有1个数字正确且位置正确。现在十位是7，已经符合位置正确，所以个位5不正确，即个位不是5。 第一次猜的数是89，有1个数字正确且位置正确。现在十位是7，和8不同，所以只能个位9正确，即个位是9。 【详解】根据分析，十位是7，个位是9，这个数是79。 答：这个数是79。 22. 有八张纸片，正面分别标有A，B，C，D，E，F，G，H，反面分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，现将它们按下图所示正面朝上地摆在桌子上，请根据下列条件，在图中标出每张纸片反面的数字。 （1）2与5，7有重叠部分；（2）3与1，4，7有重叠部分；（3）4与3，5，7有重叠部分； （4）5与1，2，4，8有重叠部分；（5）6与1有重叠部分；（6）8与5，6有重叠部分。 【答案】 【解析】 【分析】逻辑推理题，利用重叠条件建立数字间的相邻关系，再与图中字母的相邻位置对应。统计每个数字出现的重叠次数，找出“发出关系”最多的数字作为突破口。 由条件得数字相邻关系： 1相邻3，5，6 2相邻5，7 3相邻1，4，7 4相邻3，5，7 5相邻1，2，4，8 6相邻1，8 7相邻2，3，4 8相邻5，6 统计每个数字的相邻个数：5有4个邻居，1、3、4、7各有3个邻居，2、6、8各有2个邻居。 将字母图中各字母的相邻个数也统计出来，相邻次数为4的字母必对应5。由5的邻居是1，2，4，8，可确定周围四个字母对应数字。 【详解】略 23. 中国象棋的马走“日”字，车走横线或竖线，下图是半张中国象棋盘，试回答下列问题： （1）一只马从某点出发，是否一定得跳偶数步才能返回该点？ （2）一只马能否跳遍这半张棋盘，每一点都不重复，最后的一步跳回起点？ （3）证明：一只马不可能从位置B出发，跳遍半张象棋盘而每个点都只经过一次（不要求最后一步跳回起点）。 （4）一只马能否从位置B出发，用6步跳到位置A？为什么？ （5）一只车从位置A出发，在这半张棋盘上走，每步走一格，走了若干步后到了位置B。证明：至少有一个格点没被走过或被走了不止一次。 【答案】（1）一定得跳偶数步才能返回该点。 （2）不能跳遍这半张棋盘，每一点都不重复，最后的一步跳回起点。 （3）证明：与B同色的点有22个，异色的点有23个，跳了42步时，已经跳遍了所有的白点，还剩下两个黑点，马不可能连续跳过两个黑点。所以一只马不可能从位置B出发，跳遍半张象棋盘而每个点都只经过一次。 （4）不能，A和B两点异色，从B到A一定跳奇数步。 （5）证明：假设从A到B走了半张棋盘且没有一个格点没被走过或被走了不止一次，A和B两点异色，从A点到B点需要走奇数步，而半张棋盘共45格，不重复的走半张棋盘需要44步，不是奇数，与假设矛盾。所以至少有一个格点没被走过或被走了不止一次。 【解析】 【分析】把半张象棋盘中的45个格点进行黑白相间染色后分析分别走奇数步与偶数步情况，根据45个格点，与黑白点情况判断能不能回到起点，根据跳到最后一步时，剩下点的染色情况来判断，A和B两点异色，必须是奇数步才能跳到，偶数步不能，假设从A到B走了半张棋盘且没有一个格点没被走过或被走了不止一次，根据A和B两点异色，从A点到B点需要走奇数步，而半张棋盘共45格，不重复的走半张棋盘需要44步，不是奇数，证明假设不成立，所以至少有一个格点没被走过或被走了不止一次。 【小问1详解】 半张象棋盘中的45个格点进行黑白相间染色，如图： 因为马走奇数步只能从黑点到白点，或从白点到黑点，所以返回该点必定走偶数步。 【小问2详解】 因为半张棋盘上共有45个格点，马从起点出发走遍半张棋盘，起点必与最后一点同色，所以不可能最后一步走回起点。 【小问3详解】 与B同色的点有22个，异色的点有23个，跳了42步时，已经跳遍了所有的白点，还剩下两个黑点，马不可能连续跳过两个黑点。所以一只马不可能从位置B出发，跳遍半张象棋盘而每个点都只经过一次。 【小问4详解】 不能，因为A和B两点异色，从B到A一定跳奇数步。6步是偶数步，所以不能。 【小问5详解】 假设从A到B走了半张棋盘且没有一个格点没被走过或被走了不止一次，A和B两点异色，从A点到B点需要走奇数步，而半张棋盘共45格，不重复的走半张棋盘需要44步，不是奇数，与假设矛盾。所以至少有一个格点没被走过或被走了不止一次。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $