精品解析：北京市房山区2025-2026学年第二学期期末考试（二）高二数学试题

2025-2026学年度第二学期期末考试（二） 高二数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 20 B. 15 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】的展开式通项公式为， 取得到的系数为. 2. 某社区有老年居民1200人、中年居民3500人、青年居民4000人．若采用分层抽样的方法随机抽取部分居民进行社区服务满意度调查，抽取的样本包含中年居民350人，则抽取的样本中包含的老年居民的人数为（ ） A. 120 B. 180 C. 200 D. 400 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知，抽样比为， 所以抽取的样本中老年居民的人数为. 3. 已知数列的前n项和是，则（ ） A. 9 B. 16 C. 31 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】设数列的前n项和为，根据即可求解. 【详解】设数列的前n项和为，则， 则. 故选:B. 4. 已知件产品中有件次品，其余为合格品．若从这件产品中随机抽取件，则恰有件次品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式，分别计算抽取件产品的总取法数和恰有件次品的取法数，二者作比即可得所求概率. 【详解】从件产品中随机抽取件，所有等可能的取法共有种， 抽取的件中件为次品、件为合格品，对应的取法共有种， 则恰有件次品的概率为，故D正确. 5. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项分布的概率计算公式即可. 【详解】因为，所以. 6. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 134石 B. 169石 C. 338石 D. 1365石 【答案】B 【解析】 【详解】设夹谷石，则， 所以， 所以这批米内夹谷约为石，故选B. 考点：用样本的数据特征估计总体. 7. 生鲜超市分拣员整理货品，现有6种水果，5种蔬菜，从中任选5种货品打包礼盒，要求礼盒中水果、蔬菜都不能少于2种，则不同的选法种数为（ ） A. 150 B. 200 C. 350 D. 400 【答案】C 【解析】 【详解】任选5种货品，且水果、蔬菜都不能少于2种，对水果、蔬菜各自的数量分类可分两类， 第一类：2种水果3种蔬菜，可得选法有种， 第二类：3种水果2种蔬菜，可得选法有种， 故不同的选法种数为种. 8. 已知函数，则“”是“在区间上单调递减”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用导函数与函数的单调性间的关系以及充要条件的判断即可求解. 【详解】函数的定义域为， . 若，则恒成立，所以在上单调递增； 若，则， 当时，； 当时，. 所以函数的单调递减区间为. 若，则，所以， 所以在区间上单调递减； 若在区间上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立. 又在上单调递增，所以其最大值为， 所以. 综上所述，“”是“在区间上单调递减”的充要条件. 9. 已知各项均为正数的数列的前项和为，，，，，则（ ） A. 125 B. 127 C. 250 D. 511 【答案】A 【解析】 【分析】先根据对数运算性质得到相邻两项乘积的递推关系，推导得出数列奇数项、偶数项分别为公比为2的等比数列，分别求和后相加得到. 【详解】由对数的运算性质，，因此，当时，得. 又，将两式相除可得， 所以数列的奇数项是以为首项，公比为2的等比数列； 偶数项是以为首项，公比为2的等比数列. 故 . 10. 已知函数是定义在上的可导函数，若对于，均有，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】构造辅助函数，根据题设判断其单调性，利用单调性比较不同点的函数值化简后即可得到结论 【详解】因为对任意，均有，所以， 构造函数，则， 因此在上恒成立，即是上的单调递减函数. 因为，由单调性得，即，化简得. 因为，由单调性得，即，化简得. 因此，. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知随机变量的分布列如下表： 1 0 则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两点分布方差的计算公式即可. 【详解】由分布列得服从两点分布，所以. 12. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定展开式中第4项和第8项的二项式系数，再利用二项式系数的性质求解. 【详解】二项式展开式中第项的二项式系数为. 由题意知，第4项的二项式系数为，第8项的二项式系数为， 因此有，根据二项式系数的性质得，，解得. 13. 若函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的一个取值是______． 【答案】1（答案不唯一，任意大于0的实数均可） 【解析】 【详解】∵函数， ∴在上能成立， ∴能成立， 由于的值域为， 所以即可. 14. 有张座位编号分别为1，2，3，4，5，6的电影票，若平均分给6人，每人1张，则不同的分法共有______种；若分给4人，每人至少1张，至多2张，且这2张票具有连续的编号，则不同的分法共有______种． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空直接对张不同电影票全排列求解；第二空先枚举选出两组不重叠连续票的种分组方式，再将组票全排列分给人，用分步乘法计数原理算出总分法数． 【详解】第一空： 张不同编号的票分给个人，每人张，相当于对张票进行全排列， ； 第二空：分两步： （1）首先选出两个连排号， 当一个是号时，另一个只能是号，号或号，有种方法； 当一个是号时，另一个只能是号或号，有种方法； 当一个是号时，另一个只能是号，有种方法， （2）把组票按要求分给人，有种方法， 由乘法原理可知有种不同方法． 15. 已知数列，满足：．给出下列四个结论： ①若，则数列有最小值； ②若，则数列有最小值； ③若数列是单调递增数列，则数列也是单调递增数列； ④若，且，则有． 其中正确结论的序号是______． 【答案】②④ 【解析】 【分析】利用对勾函数单调性，求出最小值判断①②；举例并结合复合函数单调性判断③；变形等式判断④. 【详解】对勾函数在上单调递增，在上单调递减， 对于①，，则当时，，数列有最小值，①错误； 对于②，，则当时，，数列有最小值，②正确； 对于③，取，数列是递增数列，， 令，函数在上单调递减，因此数列是递减数列，③错误； 对于④，由，得，且，则， 而，因此，④正确. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 某班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表： 性别 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 从该班级里随机选1名学生参加演讲比赛： （1）求选到女生的概率； （2）如果已知选到的是团员，求选到的是女生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 该试验为从45名学生中随机选取1人，每名学生被选中的概率相等，符合古典概型特征. 设事件为“选到女生”，总样本数为45，事件包含的样本数为女生总人数20，根据古典概型概率公式：. 【小问2详解】 设事件为“选到团员”，所求为条件概率, 已知选到的是团员共有30人，其中女生团员共14人， 故，， 所以. 17. 已知等比数列中，公比，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是等差数列，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使数列存在，设，求数列的前项和． 条件①：； 条件②：； 条件③：，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】（1）. （2）条件①不可选；选条件②时，；选条件③时，. 【解析】 【分析】（1）由条件计算等比数列的首项，进而可得等比数列的通项公式； （2）选条件①时等差数列不存在；选条件②时，再通过分组求和可得数列的前项和；选条件③可得，再通过分组求和可得数列的前项和. 【小问1详解】 因为等比数列中，，， 所以，所以，故. 因此数列的通项公式为. 【小问2详解】 选条件①：由（1）知，，不是常数， 所以数列不是等差数列，不符合题意，故①不可选. 选条件②：由（1）知，所以， 所以是常数，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 因此， . 选条件③：由（1）知，所以，， 因为数列是等差数列，所以公差， 所以，等差数列存在，， . 18. 我国古代圆柱形粮仓设计精巧，充分体现了古人的工程智慧．已知某仿古粮仓设计要求圆柱底面直径与高之和为，若不计壁厚，设该粮仓容积为，圆柱的底面半径为． （1）写出与之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）求该粮仓容积的最大值． 【答案】（1）函数解析式为，定义域为. （2）粮仓容积的最大值为. 【解析】 【分析】（1）结合题意写出表示式即可； （2）求导，根据导数可得最值. 【小问1详解】 由题意可知圆柱体的高为， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 所以当时，，函数在区间上单调递增， 当时，，函数在区间上单调递减， 所以函数在时取最大值，最大值为. 所以粮仓容积的最大值为. 19. 某教育部门为了解中学生校园阅读满意度，连续3年（2023年至2025年）每季度开展调查，将调查结果数据编制成阅读满意度指数．指数越大表示满意度越高，规定指数时，为不满意区间，指数时，为满意区间．该市2023年至2025年各季度阅读满意度指数如下表： 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 2023阅读满意度指数 113.5 111.8 107.2 95.9 2024阅读满意度指数 104.3 98.4 95.2 90.1 2025阅读满意度指数 102.4 92.6 101.5 99.5 假设每个季度阅读满意度指数相互独立．用频率估计概率． （1）从上述12个季度中随机抽取1个季度，估计该季度处于满意区间的概率； （2）从2024年和2025年共8个季度中，随机抽取3个季度，记其中阅读满意度指数处于满意区间的季度个数为，求的分布列和数学期望； （3）从2023年4个季度中随机抽取1个季度，记为该季度阅读满意度指数，从2024年4个季度中随机抽取1个季度，记为该季度阅读满意度指数，比较数学期望与的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 （3） 【解析】 【分析】（1）统计满意区间的季度数量，用频率估计概率即可；（2） 确定服从超几何分布，计算各取值概率得到分布列，再求期望；（3）分别计算2023年、2024年季度满意度指数的平均值作为期望，比较大小即可. 【小问1详解】 由题意，满意区间为 ，统计12个季度的满意度指数， 处于满意区间的共6个， 用频率估计概率，得所求概率. 【小问2详解】 2024年和2025年共8个季度，其中3个处于满意区间，5个处于不满意区间， 随机抽取3个季度，的可能取值为，服从参数的超几何分布. 分别计算各取值的概率： ，  ，  ， ， 据此可得的分布列，的分布列为： 0 1 2 3 . 【小问3详解】 离散型随机变量的期望等于对应样本的均值：  , , 故. 20. 已知函数，，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，讨论函数在上的单调性； （3）若方程在上恰有一个实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分和两种情况，分别讨论导数的正负即可求解； （3）将方程变形为，令，利用导数得到的单调区间和值域即可求解. 【小问1详解】 已知函数，，当时，， 由于，所以切点为， 则，所以， 因此，切线方程为，即. 【小问2详解】 已知函数，，则， ①当时，此时，所以， 在上，且，令，则， 所以在上单调递增，且，故在上恒成立， 所以当且仅当且时等号成立， 因此，当时，在上恒成立，故在区间上单调递增； ②当时，此时，， 令，则， 在上，，所以，而，所以，所以单调递减， ，所以， 因此，当时，在上恒成立，故在区间上单调递减； 综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减. 【小问3详解】 方程，即，变形得， 令，则方程在上恰有一个实根，等价于与在上恰有一个交点， 由于， 在上，令，则， 由于，所以，，因此在上恒成立， 所以在上单调递减， 又因为，， 所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上单调递减， 由于，， 因此的值域为，由于单调递减，所以实数的取值范围. 21. 已知数集，若对任意的，，使得成立，则称数集具有性质． （1）分别判断数集与是否具有性质； （2）已知，求证：； （3）若，求数集中所有元素的和的最小值． 【答案】（1）数集不具有性质，具有性质； （2）因为数集，具有性质， 即对任意的，，使得成立， 又因为 ， 所以，所以， 即，， 将上述不等式相加得， 所以，由于， 所以， 所以. （3）75 【解析】 【分析】（1）对于，，故可判断它不具有性质P；对于可逐项验证2、3、6均满足对任意的，，使得成立，故可判断它具有性质P； （2）根据题意可知，从而，故而可得，，将这些式子累加即可得，从而可变形为要证的结论. （3）根据题中已知条件可得该数集，从而可得该数集元素均为整数，再根据可构造一个满足性质P的数集或者，这两个数集元素之和为75，证明75是最小值即可． 【小问1详解】 ∵， ∴不具有性质P； ∵， ∴具有性质P； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 首先注意到，根据性质P，得到， ∴易知数集A的元素都是整数． 构造或者， 这两个集合具有性质P，此时元素和为75． 下面，证明75是最小的和： 假设数集，满足 (存在性显然，∵满足的数集A只有有限个)． 第一步：首先说明集合中至少有7个元素； 由（2）可知 ∵，∴； ∴； 第二步：证明； 若，设，∵，为了使得最小，在集合A中一定不含有元素，使得，从而； 假设，根据性质P，对，有，使得， 显然，∴， 而此时集合A中至少还有4个不同于的元素， 从而，矛盾， ∴，进而，且； 同理可证：； (同理可以证明：若，则)． 假设， ∵，根据性质P，有，使得， 显然，∴， 而此时集合A中至少还有3个不同于的元素， 从而，矛盾， ∴且； 至此，我们得到了， 根据性质P，有，使得，； 我们需要考虑如下几种情形： ①，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素，才能得到元素8，则；; ②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素，才能得到元素7，则；; ③，此时集合的和最小，为75； ④，此时集合的和最小，为75； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末考试（二） 高二数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 20 B. 15 C. D. 2. 某社区有老年居民1200人、中年居民3500人、青年居民4000人．若采用分层抽样的方法随机抽取部分居民进行社区服务满意度调查，抽取的样本包含中年居民350人，则抽取的样本中包含的老年居民的人数为（ ） A. 120 B. 180 C. 200 D. 400 3. 已知数列的前n项和是，则（ ） A. 9 B. 16 C. 31 D. 33 4. 已知件产品中有件次品，其余为合格品．若从这件产品中随机抽取件，则恰有件次品的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 134石 B. 169石 C. 338石 D. 1365石 7. 生鲜超市分拣员整理货品，现有6种水果，5种蔬菜，从中任选5种货品打包礼盒，要求礼盒中水果、蔬菜都不能少于2种，则不同的选法种数为（ ） A. 150 B. 200 C. 350 D. 400 8. 已知函数，则“”是“在区间上单调递减”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知各项均为正数的数列的前项和为，，，，，则（ ） A. 125 B. 127 C. 250 D. 511 10. 已知函数是定义在上的可导函数，若对于，均有，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知随机变量的分布列如下表： 1 0 则______． 12. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则______． 13. 若函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的一个取值是______． 14. 有张座位编号分别为1，2，3，4，5，6的电影票，若平均分给6人，每人1张，则不同的分法共有______种；若分给4人，每人至少1张，至多2张，且这2张票具有连续的编号，则不同的分法共有______种． 15. 已知数列，满足：．给出下列四个结论： ①若，则数列有最小值； ②若，则数列有最小值； ③若数列是单调递增数列，则数列也是单调递增数列； ④若，且，则有． 其中正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 某班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表： 性别 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 从该班级里随机选1名学生参加演讲比赛： （1）求选到女生的概率； （2）如果已知选到的是团员，求选到的是女生的概率． 17. 已知等比数列中，公比，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是等差数列，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使数列存在，设，求数列的前项和． 条件①：； 条件②：； 条件③：，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 18. 我国古代圆柱形粮仓设计精巧，充分体现了古人的工程智慧．已知某仿古粮仓设计要求圆柱底面直径与高之和为，若不计壁厚，设该粮仓容积为，圆柱的底面半径为． （1）写出与之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）求该粮仓容积的最大值． 19. 某教育部门为了解中学生校园阅读满意度，连续3年（2023年至2025年）每季度开展调查，将调查结果数据编制成阅读满意度指数．指数越大表示满意度越高，规定指数时，为不满意区间，指数时，为满意区间．该市2023年至2025年各季度阅读满意度指数如下表： 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 2023阅读满意度指数 113.5 111.8 107.2 95.9 2024阅读满意度指数 104.3 98.4 95.2 90.1 2025阅读满意度指数 102.4 92.6 101.5 99.5 假设每个季度阅读满意度指数相互独立．用频率估计概率． （1）从上述12个季度中随机抽取1个季度，估计该季度处于满意区间的概率； （2）从2024年和2025年共8个季度中，随机抽取3个季度，记其中阅读满意度指数处于满意区间的季度个数为，求的分布列和数学期望； （3）从2023年4个季度中随机抽取1个季度，记为该季度阅读满意度指数，从2024年4个季度中随机抽取1个季度，记为该季度阅读满意度指数，比较数学期望与的大小．（结论不要求证明） 20. 已知函数，，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，讨论函数在上的单调性； （3）若方程在上恰有一个实根，求实数的取值范围． 21. 已知数集，若对任意的，，使得成立，则称数集具有性质． （1）分别判断数集与是否具有性质； （2）已知，求证：； （3）若，求数集中所有元素的和的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $