精品解析：北京市东城区2024-2025学年高二下学期期末统一检测数学试卷

东城区2024-2025学年度第二学期期末统一检测 高二数学 2025.7 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 对某种动物的三项指标，，进行调查研究.现有这种动物若干只，设每只动物的这三项指标为.若与的散点图如图1和图2所示，那么关于的散点图最合理的为（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙等5人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（ ） A 36 B. 48 C. 60 D. 72 5. 为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策，假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑恰有3个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么这3个小孩都是女孩的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数若恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1分，掷出反面得2分、投掷了3次，设总分为，那么的数学期望为（ ） A. B. 4 C. D. 5 8. 已知函数，，其中，，那么“对任意的实数都有”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知正整数，，，，满足，且，那么的最大值是（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 10. 已知函数，对于实数，，已知，设，，，则（ ） A. 时，有 B. 时，有 C. 时，有 D. 时，有 第二部分（非选择题） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是_____. 12. 在的展开式中，的系数为_____.（用数字作答） 13. 已知函数（其中，是正实数）. ①能使函数为偶函数的一组，可以为_____； ②若函数的最小值为4，则的最小值为_____. 14. 设函数，点，，，在平面直角坐标系中的位置如图所示.已知曲线在点处的切线分别为直线和，则此函数的解析式______ 15. 一组单调不减的数据（即），满足.记这组数据的方差为；数据的方差为，数据的方差为；数据的方差为.给出下列四个结论： ①存在单调不减的数据，使得； ②存在单调不减的数据，使得； ③存在单调不减的数据，使得； ④对任意单调不减的数据，都有. 其中正确结论的序号是_____. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 甲、乙、丙3台机器生产同一型号的产品，假设所有产品合格与否相互独立，已知甲、乙、丙这3台机器的产品合格率分别为，，. （1）从甲机器生产的产品中任取2件产品，求2件产品都合格的概率； （2）从甲、乙、丙机器生产产品中各任取1件，求恰有2件产品合格的概率； （3）若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品，求这件产品合格的概率. 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）若函数在上存在最小值，求的取值范围 18. 在某校运动会射击项目中只有甲、乙、丙三名同学参加射击比赛，共比赛20轮，每轮比赛3名同学各射击1次，规定每轮比赛射击环数最高者获胜.本次射击比赛中甲、乙、丙的前10轮比赛成绩（单位：环）统计如下： 轮次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 10.2 107 10.0 102 9.9 8.8 10.1 10.2 9.7 9.5 乙 8.6 10.4 9.4 9.7 9.8 8.8 10.0 9.4 10.5 10.4 丙 6.5 8.5 7.7 9.7 8.5 10.3 8.7 7.5 10.5 8.5 用频率估计概率，假设甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. （1）如果命中10环及以上的环数，我们称之为“命中靶心”.依据表中的数据，估计甲在后10轮比赛中“命中靶心”的轮数； （2）从前10轮比赛中随机选择3轮，设表示乙获胜的轮数，求的分布列和数学期望； （3）记第5轮到第10轮比赛中甲、乙、丙的比赛成绩分别为，，.定义统计量：，.请直接写出，，的大小关系. 19. 已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，已知点. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两个不同的点，（均异于点）.若直线，的斜率互为相反数，求直线的方程. 20. 已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）若，，设曲线在点处的切线交轴于点. （i）求出点的横坐标（用表示）； （ii）已知点在轴上，且轴，求证：存在唯一的点，使得为等腰直角三角形. 21. 已知数列A：，定义：.从中选取第项、第项、、第项.则称数列为长度为的子列.若A：为1，2，…的一个排列，则称数列具有性质. （1）已知A：1，3，4，2，5，6，若数列是数列的长度为4的子列，写出的最大值和最小值； （2）已知数列A：具有性质，且存在唯一的长度为3的子列，使得，求的最小值； （3）已知数列A：具有性质，且为偶数，求的最大值，并直接写出当取得最大值时数列的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东城区2024-2025学年度第二学期期末统一检测 高二数学 2025.7 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】利用绝对值不等式解法和交集运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 2. 下列函数在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的性质判断四个选项即可. 【详解】对于A，在上单调递减，故A错误； 对于B，在上单调递增，故B正确； 对于C，，定义域，当时无意义，故C错误； 对于D，，定义域为，当时无意义，故D错误， 故选：B. 3. 对某种动物的三项指标，，进行调查研究.现有这种动物若干只，设每只动物的这三项指标为.若与的散点图如图1和图2所示，那么关于的散点图最合理的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法，分析可知指标，满足负相关，结合图象指标的范围分析判断即可. 【详解】因为指标，满足正相关，指标，满足负相关， 可知指标，满足负相关，故C错误； 且，可知BD错误； 故选：A. 4. 甲、乙等5人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（ ） A. 36 B. 48 C. 60 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】应用特殊位置优先处理结合排列数计算求解. 【详解】甲、乙等5人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则第一个位置有3种选择， 则不同的排法种数共有. 故选：D. 5. 为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策，假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑恰有3个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么这3个小孩都是女孩的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件概率公式计算求解即可. 【详解】解：根据题意，设样本空间为，则(女女女)，(女女男)，(女男女)，(男女女)，(女男男)，(男女男)，(男男女)，(男男男)，共8个样本， 记事件为“这个家庭有女孩”，事件为“三个孩子均为女孩”， 由(女女女)，(女女男)，(女男女)，(男女女)，(女男男)，(男女男)，(男男女)， 所以，， 所以. 故选：A. 6. 设函数若恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别确定函数与函数的零点，根据函数图像即可确定的取值范围. 【详解】根据题意函数的零点为， 函数的零点为， 又恰有两个零点，所以. 故选：B. 7. 投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1分，掷出反面得2分、投掷了3次，设总分为，那么的数学期望为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，求出的分布列，进而计算期望即可. 【详解】根据已知条件有的可能取值为，，，； ，， ，， 所以的分布列为： 所以. 故选：C 8. 已知函数，，其中，，那么“对任意的实数都有”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】通过结合函数解析式有，构造函数，，通过研究函数的图像结合导数的几何意义从充分性、必要性两个方面论证即可. 【详解】因为对任意的实数都成立，即， 整理得：对任意的实数都成立， 令，， 为过点的曲线，为过点的直线， 即与相交于点， ，因为且随着的增加的值也增加， 所以为向下凹的曲线， 所以函数的切线位于函数图像的下方， 当时，， 根据导数的几何意义在点处的切线的斜率为， 若，为的切线，此时恒成立， 若，直线与曲线有两个交点， 此时不恒成立，所以； 若，此时直线与曲线相切，切点为， 此时有恒成立，所以， 所以”是“”的充要条件. 故选：C 9. 已知正整数，，，，满足，且，那么的最大值是（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，，利用反证法可证，举例说明，即可得结果. 【详解】因为正整数，，，，满足，且， 则，， 若取到最大值，则有： 假设，则， 可得， 这与相矛盾，假设不成立，则， 例如，则，且， 所以的最大值是23. 故选：B. 10. 已知函数，对于实数，，已知，设，，，则（ ） A. 时，有 B. 时，有 C. 时，有 D. 时，有 【答案】D 【解析】 【分析】设三点都在函数的图象上，且三点的横坐标为，记点关于原点的对称点为点，则，通过画图即可求解. 【详解】如图所示，取，设三点都在函数的图象上，且三点的横坐标为， 记点关于原点的对称点为点， 则，，， 其中分别表示直线的斜率， 由图可知，故排除C， 现在我们说明当时，有，即可说明D正确， 如图所示，当时，有， 如图所示，当时，有， 故D正确； 对于AB，如图所示，当时，有，排除AB. 故选：D. 第二部分（非选择题） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数成立的条件即可求定义域. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 所以定义域为. 故答案为：. 12. 在的展开式中，的系数为_____.（用数字作答） 【答案】60 【解析】 【分析】根据题意结合二项式定理分析求解即可. 【详解】因为的展开式的通项为， 令，可得， 所以的系数为. 故答案为：60. 13. 已知函数（其中，是正实数）. ①能使函数为偶函数的一组，可以为_____； ②若函数的最小值为4，则的最小值为_____. 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 【解析】 【分析】根据偶函数，确定、的取值即可求解第一空；利用基本不等式结合函数的最小值为4，求得，再利用基本不等式即可求得的最小值，由此即可求解第二空. 【详解】因为，，所以， 若为偶函数，则有， 即， 所以当时，函数为偶函数， 所以可以令，此时函数为偶函数； 因为，，且，是正实数， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，即，解得， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：； 14. 设函数，点，，，在平面直角坐标系中的位置如图所示.已知曲线在点处的切线分别为直线和，则此函数的解析式______ 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，由在点处的切线分别为直线和，建立方程组即可求解. 【详解】由图知， ，， 又曲线在点处的切线分别为直线和， 所以， 所以. 故答案为： 15. 一组单调不减的数据（即），满足.记这组数据的方差为；数据的方差为，数据的方差为；数据的方差为.给出下列四个结论： ①存在单调不减的数据，使得； ②存在单调不减的数据，使得； ③存在单调不减的数据，使得； ④对任意单调不减的数据，都有. 其中正确结论的序号是_____. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】通过区特殊值举例的方法逐一验证即可求解. 【详解】对于①，令，，， 数据，，的平均数为， 由此可得：， 数据，的平均数为， ，所以， 所以存在单调不减的数据，使得，①正确； 对于②，令，，， 数据，的平均数为， 由此可得： ， 数据，的平均数为， 由此可得：，， 所以存在单调不减的数据，使得，②正确； 对于③，令，，，， 数据，，的平均数为：， 由此可得：， 数据，的平均数为， 由此可得：，若， 则， 即， 整理得：，解得， 当时，有， 所以存在单调不减的数据，使得； 对于④，令，，，， 数据，，，的平均数为， 由此可得：， 数据，的平均数为， 由此可得：， 此时，，所以④错误. 故答案为：①②③ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 甲、乙、丙3台机器生产同一型号的产品，假设所有产品合格与否相互独立，已知甲、乙、丙这3台机器的产品合格率分别为，，. （1）从甲机器生产的产品中任取2件产品，求2件产品都合格的概率； （2）从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格的概率； （3）若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品，求这件产品合格的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式即可求解； （2）根据已知条件，分三种情况结合相互独立事件乘法公式求解即可； （3）利用全概率公式求解即可. 【小问1详解】 因为甲机器生产的产品的合格率为，所有产品合格与否相互独立， 设甲机器生产的产品中任取2件产品，求2件产品都合格为事件， 所以. 【小问2详解】 设从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格为事件， 从甲机器生产的产品中各任取1件产品为合格产品为事件， 从乙机器生产的产品中各任取1件产品为合格产品为事件， 从甲丙机器生产的产品中各任取1件产品为合格产品为事件， 从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件， 恰有2件产品合格的情况有：，，， 所以 , 所以从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格的概率为. 【小问3详解】 因为三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品， 设该产品为甲机器生产为事件，该产品为乙机器生产为事件， 该产品为丙机器生产为事件，这件产品合格为事件， 根据已知条件有：， 根据全概率公式有： . 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）若函数在上存在最小值，求的取值范围 【答案】（1）； （2）极大值为，极小值为； （3） 【解析】 【分析】（1）计算出，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求导，得到函数单调性，进而求出极值情况； （3）由（2）得到函数单调性，结合，得到的取值范围. 【小问1详解】 ， ， 故， 故在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 令，得或， 令得， 故上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值， 极大值为，极小值为； 【小问3详解】 由（2）知，在上单调递增，在上单调递减， 且， 要想在上存在最小值，故 18. 在某校运动会射击项目中只有甲、乙、丙三名同学参加射击比赛，共比赛20轮，每轮比赛3名同学各射击1次，规定每轮比赛射击环数最高者获胜.本次射击比赛中甲、乙、丙的前10轮比赛成绩（单位：环）统计如下： 轮次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 10.2 10.7 10.0 10.2 9.9 8.8 10.1 10.2 9.7 9.5 乙 8.6 10.4 9.4 9.7 9.8 8.8 10.0 9.4 10.5 10.4 丙 6.5 8.5 7.7 9.7 8.5 10.3 8.7 7.5 10.5 8.5 用频率估计概率，假设甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. （1）如果命中10环及以上的环数，我们称之为“命中靶心”.依据表中的数据，估计甲在后10轮比赛中“命中靶心”的轮数； （2）从前10轮比赛中随机选择3轮，设表示乙获胜的轮数，求的分布列和数学期望； （3）记第5轮到第10轮比赛中甲、乙、丙的比赛成绩分别为，，.定义统计量：，.请直接写出，，的大小关系. 【答案】（1）甲在后10轮比赛中“命中靶心”的轮数为次 （2）分布列见解析，数学期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得甲 “命中靶心”的概率为，可求后10轮比赛中“命中靶心”的轮数； （2）乙前10轮比赛中只有第10获胜，其余9轮均没有取得胜利，故随机变量的值为0，1，利用超几何分布可求分布列，进而可求期望； （3）计算的值即可. 【小问1详解】 甲前10轮比赛中“命中靶心”的次数为6次，所以甲 “命中靶心”的概率为， 所以估计甲在后10轮比赛中“命中靶心”的轮数为次； 【小问2详解】 乙前10轮比赛中只有第9，10获胜，其余8轮均没有取得胜利，故随机变量的值为0，1，2 所以，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 【小问3详解】 由题意得， 所以 ； 由题意可得， 所以 ； 由题意可得， 所以 ； 所以. 19. 已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，已知点. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两个不同的点，（均异于点）.若直线，的斜率互为相反数，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可得椭圆方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式列式求解. 【小问1详解】 由椭圆过点，则， 由椭圆的离心率为，得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的斜率存在，设方程为， 由消去得，显然， 设，则， 直线的斜率分别为，由， 得，即， 整理得， 则，解得， 所以直线的方程为，即. 20. 已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）若，，设曲线在点处的切线交轴于点. （i）求出点的横坐标（用表示）； （ii）已知点在轴上，且轴，求证：存在唯一的点，使得为等腰直角三角形. 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）（ii）答案见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分类讨论研究单调性； （2）求导，求出切线方程，令横坐标等于0，求出的横坐标；为等腰直角三角形时，，则，即，构造函数，，画出图象，在有一个交点，即可得证. 【小问1详解】 ，其中，定义域为， 令，则或， 当时，即，此时，所以在上单调递减； 当时，即，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，即，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 （i）当时，，， 当时，，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，则，所以点 所以点的横坐标. （ii），， 已知点在轴上，且轴， 所以，若为等腰直角三角形，则， 即， 则，因为，所以， 画出，图象如图： 结合图象可知，，有一个交点， 所以存在唯一的点，使得为等腰直角三角形. 21. 已知数列A：，定义：.从中选取第项、第项、、第项.则称数列为的长度为的子列.若A：为1，2，…的一个排列，则称数列具有性质. （1）已知A：1，3，4，2，5，6，若数列是数列的长度为4的子列，写出的最大值和最小值； （2）已知数列A：具有性质，且存在唯一的长度为3的子列，使得，求的最小值； （3）已知数列A：具有性质，且为偶数，求的最大值，并直接写出当取得最大值时数列的个数. 【答案】（1）最大值9，最小值3 （2）最小值6 （3）最大值,这样的数列有个. 【解析】 【分析】（1）定义数列的极端项为：中间的指不小于左右，或不大于左右的项，第一项，最后一项都是，分析可得任意数列的子列的值不超过该数列本身的值.对于具有性质的数列，因此其长度为的子列的值不小于.然后计算数列的值，进一步构造子列使其值最大和最小； （2）根据已知条件分析可得该数列只有三个极端项，除去两端的极端项，中间只有一个极端项，这个极端项必为最大项6或最小项1，然后分别研究其最小值，最后比较得出总体的最小值； （3）分析可知对于数列,其值时必为交替数列，由此化简的表达式，并得出其最大值及取得最大值的条件，进而利用排列数和乘法计数原理得出当取得最大值时数列的个数. 【小问1详解】 根据绝对值的性质可得当为单调递增或单调递减数列时，. 定义数列的极端项为：中间的指不小于左右，或不大于左右的项，第一项，最后一项都是极端项. 设数列A：中的极端项依次为，记， 则，其任意的子列,的每个极端项都必然在数列A的某两个相邻极端项之间，故其子列的相邻极端项的差的绝对值的和不超过数列的相邻极端项的绝对值的和，即. 对于具有性质的数列，是1，2，…的一个排列，任意相邻两项的差的绝对值都大于等于1，因此其长度为的子列的值不小于. ​数列A：1， 3， 4， 2， 5， 6，. 子序列，，是的最大值， 子序列，是的最小值. ∴的最大值和最小值分别是和； 【小问2详解】 ​∵已知数列A：具有性质，则是1,2,3,4,5,6的一个排列， 又∵存在唯一的长度为3的子列，使得， 则子列的极端项恰好是数列的极端项，且子列的极端项只有3个， ∴数列只有3个极端项，除去两端的极端项，中间只有一个极端项，这个极端项必为最大项6或最小项1， 当中间的极端项1时，两端的极端项有一端为6，另一端记为，可能为5，4，3，2，都有可能，，其最小值为时取到，最小值为6，这样的数列的一个例子为. 中间的极端项为6时，两端的极端项有一端为1，另一端记为，可能为5，4，3，2，都有可能，，其最小值为时取到，最小值为6，这样的数列的一个例子为. ∴的最小值为6； 【小问3详解】 根据对称性不妨先设. 首先证明：对于具有性质的数列，当最大时，数列不存在连续3项单调递增或递减， 假设具有性质的数列存在连续3项单调递增或递减， 即存在使得或， 则将调换到之前，得到， ，与最大矛盾， ∴假设不成立. 因此设，对于具有性质的数列，当最大时，必有， ∵为偶数，数列中的数分成2组: ,中的每个数都小于中的每个数， ∴ , 为了使得取得最大值，要尽可能大，要尽可能的小， 在此之下，和再取剩余数中的最大和最小值， ∴， 当且仅当时取到“等号”，∴的最大值为， ∵有种不同的排列方式，也有种不同的排列方式， ∴这样的数列有个， 根据对称性，时也有同样的结果，对应的数列也有， ∴使得最大的数列总共有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $