精品解析：河北唐山市玉田县2025-2026学年第二学期质量调研高一数学试题

河北省唐山市玉田县2025——2026学年度高一第二学期期末考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某公司生产的一批零件有、、三种不同型号，产量分别为，300，200件，现用分层抽样的方法从这批零件中抽取45件进行检验，若种零件被抽取20件，则（ ） A. 400 B. 300 C. 250 D. 200 4. 某校春季运动会男子100米项目有8名同学进入决赛，其成绩（单位：秒）分别为：12.1，12.3，12.7，12.7，12.9，13.1，13.5，14.4．则这8名同学百米成绩的第60百分位数是（ ） A. 12.7 B. 12.9 C. 12.8 D. 13.1 5. 在正四棱台中，，高为，则该四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 将一枚质地均匀的硬币在光滑平面上连续抛掷3次，设事件“至少出现一次正面向上”，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，是空间中三条不同的直线，，为空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，，则 D. 若，是异面直线，，，，，则 8. 如图，水平放置的圆台上底半径为1，下底半径为2，高为，一只蚂蚁从底部点沿侧面爬到中点，则它爬行路线的最短长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是关于的方程（，）的一个根，另一个根记作，则（ ） A. ， B. C. D. 10. 设为两个互斥事件，且，，则下列结论一定正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的棱长为2，点在该正方体表面上移动．下列说法正确的有（ ） A. 若点在线段上，则 B. 若点在线段上，则的最小值为 C. 若与所成角为，则点的轨迹长度为 D. 若点是线段的中点，则三棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知5个数为：1，2，3，4，5，则这5个数的方差为________． 13. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为________． 14. 在中，的平分线交于点，若，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量与的夹角为，且，． （1）求； （2）求； （3）若与垂直，求的值． 16. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在该市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（单位：），月用水量不超过的部分按平价收费，每吨收费5元；超出的部分按议价收费，每吨6.75元．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民某年的月均用水量（单位：），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图估计这组数据的众数（最高矩形底边中点的横坐标）并求的值； （2）已知该市有80万户居民，估计全市居民中月均用水量不低于的户数； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准，估计的值；若该市某户居民某月用水量为，求该户居民本月应缴水费多少元？ 17. 在中，角，，对应的边分别为，，，，． （1）若，求； （2）当为何值时，的面积最大？并求出的最大值． 18. 如图，平行四边形中，且，将沿翻折至，使得，是的中点，是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 三角形各边中线交点为重心，各边高线交点为垂心，各边垂直平分线交点为外心． （1）在中，若满足：，证明：点为的重心； （2）在中，若满足：，证明：点为的垂心； （3）在中，为外心，为重心，为垂心，证明：，，共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省唐山市玉田县2025——2026学年度高一第二学期期末考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，且， 所以，解得 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】因为 ， 在复平面内，复数对应点的坐标为，该点位于第二象限. 3. 某公司生产的一批零件有、、三种不同型号，产量分别为，300，200件，现用分层抽样的方法从这批零件中抽取45件进行检验，若种零件被抽取20件，则（ ） A. 400 B. 300 C. 250 D. 200 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，解得. 4. 某校春季运动会男子100米项目有8名同学进入决赛，其成绩（单位：秒）分别为：12.1，12.3，12.7，12.7，12.9，13.1，13.5，14.4．则这8名同学百米成绩的第60百分位数是（ ） A. 12.7 B. 12.9 C. 12.8 D. 13.1 【答案】B 【解析】 【详解】题目给出的8个成绩已按从小到大顺序排列：12.1，12.3，12.7，12.7，12.9，13.1，13.5，14.4， 数据总个数为，且， 所以第60百分位数为排序后第5个数据12.9． 5. 在正四棱台中，，高为，则该四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式求解即可. 【详解】下底面边长，面积， 上底面边长，面积. 所以. 6. 将一枚质地均匀的硬币在光滑平面上连续抛掷3次，设事件“至少出现一次正面向上”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求“出现连续3次反面向上”事件的概率，再根据对立事件的关系求解. 【详解】设事件“出现连续3次反面向上”，则事件与事件是互为对立事件 7. 已知，，是空间中三条不同的直线，，为空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，，则 D. 若，是异面直线，，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】应用线面位置关系判断A，B，应用面面平行及面面垂直判断C，D. 【详解】已知，，是空间中三条不同的直线，，为空间中两个不同的平面， 若，，，则，或，A错误； 若，，，，当时，则可以成立，B错误； 若，，，，，所成角不是直角时，则不成立，C错误； 若，是异面直线，，，，存在是相交直线，所以，则，D正确. 8. 如图，水平放置的圆台上底半径为1，下底半径为2，高为，一只蚂蚁从底部点沿侧面爬到中点，则它爬行路线的最短长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过补全圆台进行侧面展开来求得最短路径. 【详解】因为上底半径，下底半径，高， 所以母线. 将圆台补为大圆锥，顶点为，因为，所以，解得. 即大圆锥母线长. 故展开扇形圆心角，图形如下所示： 故为最短路径，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是关于的方程（，）的一个根，另一个根记作，则（ ） A. ， B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A，，， ，解得，，正确. 选项B，因为，所以，故，正确. 选项C，，错误. 选项D，，正确. 10. 设为两个互斥事件，且，，则下列结论一定正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】因为为互斥事件，所以不能同时发生，即，故B正确； 又因为，，所以，即，故A错误； 根据概率加法公式，因为， 所以，故C正确； 因为为互斥事件，不一定是对立事件，所以不一定成立，故D错误. 11. 已知正方体的棱长为2，点在该正方体表面上移动．下列说法正确的有（ ） A. 若点在线段上，则 B. 若点在线段上，则的最小值为 C. 若与所成角为，则点的轨迹长度为 D. 若点是线段的中点，则三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线线垂直可证明平面，可判断A；将三角形沿转动到与在同一平面内，可求得最短距离，可判断B；与所成角为，可得点的轨迹为四分之一个圆锥，计算求得轨迹长，可判断C；三棱锥外接球的即为四棱锥的外接球，计算可求得外接球的表面积，可判断D. 【详解】对于A：由正方形，可得， 由正方体，可得平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 对于B：将三角形没转动到与在同一平面内，如图所示： 当在同一直线上时，最小，最小值为. 又三角形为等腰直角三角形，为边长为的等边三角形， 所以为的中点时，三点共线， 此时可得，， 所以的最小值为，故B错误； 对于C：因为，且与所成角为，所以与所成角为， 所以点的轨迹为四分之一个圆锥，点在平面内的轨迹为四分之一个圆， 在平面和平面内的轨迹均为线段， 记轨迹与的交点为， 由，可得四分之一圆弧的半径为， 故圆弧的长为， 两条线段长为，故点的轨迹长度为，故C正确； 对于D：当点是线段的中点，则三棱锥外接球即为四棱锥的外接球， 又因为，可得是四棱锥的外接球的直径， 又，所以三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知5个数为：1，2，3，4，5，则这5个数的方差为________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用方差公式计算即可. 【详解】设这5个数的平均数为，方差为， 则 . 13. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，， 则，， 所以向量在向量上的投影向量为. 14. 在中，的平分线交于点，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用角平分线定理设出、，利用余弦定理求两边长度，进而可求求，结合求. 【详解】因为是的平分线，所以 设，，. 在中，由余弦定理得 所以化简得 在中，由余弦定理得 所以即解得 因此，即， 在中，由余弦定理得 因为，所以，从而 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量与的夹角为，且，． （1）求； （2）求； （3）若与垂直，求的值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可； （2）利用平面向量数量积的运算性质，结合平方法进行求解即可； （3）根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【小问1详解】 已知平面向量与的夹角为，且，， 则． 【小问2详解】 ， 所以． 【小问3详解】 由题意可知，， ， 解得：． 16. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在该市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（单位：），月用水量不超过的部分按平价收费，每吨收费5元；超出的部分按议价收费，每吨6.75元．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民某年的月均用水量（单位：），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图估计这组数据的众数（最高矩形底边中点的横坐标）并求的值； （2）已知该市有80万户居民，估计全市居民中月均用水量不低于的户数； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准，估计的值；若该市某户居民某月用水量为，求该户居民本月应缴水费多少元？ 【答案】（1）9， （2）48000户 （3），（元） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率和为1即可求解. （2）求出月均用水量不低于14t的频率，进而可估计人数. （3）利用频率分布直方图及第百分位数的定义列式求解，根据用户用水量计算水费. 【小问1详解】 根据频率分布直方图可知众数为， 根据频率分布直方图可得， 解得． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，每户居民月用水量不低于14t的频率为． 由此可估计全市80万户居民中月用水量不低于14t的户数约为（户）． 【小问3详解】 因为前6组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 所以．由，解得． 因此，估计月用水量标准为11.6t时，的居民每月的用水量不超过标准． 该户居民某月用水量为14t时，应缴水费为（元）． 17. 在中，角，，对应的边分别为，，，，． （1）若，求； （2）当为何值时，的面积最大？并求出的最大值． 【答案】（1） （2）当为时，取得最大值． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及三角形内角和求解即可. （2）根据余弦定理及三角形面积公式，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 因为，所以． 故． 【小问2详解】 由（1）可得， 由余弦定理得，即． 又，则， 所以，当且仅当时，等号成立． 则． 因此，当为时，取得最大值． 18. 如图，平行四边形中，且，将沿翻折至，使得，是的中点，是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∵在平行四边形中，， ，． 设，则，，， ，即． 平面，平面，， 平面． 平面， ． 又平面，平面，， 平面． （2） （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）勾股定理证明，然后通过证明线面垂直来证明，即可证明平面；（2）过作，通过证明平面找出线面角的平面角，求出对应边长即可直接求正弦值；（3）方法一：利用线面平行的性质，构造辅助平面，转化为线线平行；方法二：构造平行平面，利用面面平行的性质进行证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，垂足为， 由（1）知平面，且平面， ∴平面平面． ∵平面平面，平面，， 平面，即为直线与平面所成角． 设，则，， 中，，解得． . 【小问3详解】 方法一： 存在，当时，平面． 连接并延长交于点，连接． 平面，平面，平面平面， ． 取中点，连接，由于是中点，是中点， 是的中位线，是的中位线． ． 为靠近的四等分点． 为靠近的四等分点，即． 方法二： 存在，当时，平面． 过作，交于点，连接， 平面，平面， 平面． 又平面，平面，平面，， ∴平面平面． ∵平面平面，平面平面， ． 为中点，为中点，即靠近的四等分点． 为靠近的四等分点，即． 19. 三角形各边中线交点为重心，各边高线交点为垂心，各边垂直平分线交点为外心． （1）在中，若满足：，证明：点为的重心； （2）在中，若满足：，证明：点为的垂心； （3）在中，为外心，为重心，为垂心，证明：，，共线． 【答案】（1）设的三边，，的中点分别为，，． 由得，则． 由得，则． 因此，点在边的中线上． 同理可得，， 即点在边的中线上，还在边的中线上． 因此，点为各边中线的交点，即为的重心． （2）由得， 则，即点在边的高线上． 同理可得，， 即点在边的高线上，还在边的高线上． 因此，点为各边高线的交点，即为的垂心． （3）若点为的外心，则． 设， 则． 同理，． 由于与不共线，则． 因此，． 由（1）证明过程可知：（1）的逆命题也成立，即为的重心，有． 则． 因此，，则点与的重心和垂心在同一条直线上． 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算性质，结合三角形重心的性质进行运算证明即可； （2）根据平面向量的线性运算性质，结合平面向量垂直的性质、平面向量数量积的运算性质进行运算证明即可； （3）根据三角形外心、重心、垂心的性质，结合平面向量共线定理进行运算证明即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $