精品解析：河北张家口市部分学校2025-2026学年高一下学期7月期末巩固训练数学试题

7月高一期末巩固训练 数学 考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】设，则，即， 所以，，解得，， 所以，所以. 2. 已知单位向量满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量数量积的运算律可得，再由向量夹角公式可求夹角的大小. 【详解】因为， 所以，即，故， 所以，故向量与的夹角为. 故选：B. 3. 为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点 A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 【答案】C 【解析】 【详解】根据左加右减的原则，为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度. 故答案为C． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，故， 两边平方得，解得． 5. 小明和小星两名同学进行定点投篮球比赛，小明投中的概率为0.8，小星投中的概率为0.6．若每人投一次篮球，则至少有一人投中的概率为（ ） A. 0.48 B. 0.3 C. 0.12 D. 0.92 【答案】D 【解析】 【详解】设事件为小明投中，事件为小星投中， 则至少有一人投中的概率为. 6. 已知一个扇形的周长为16，当扇形的面积取得最大值时，它的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，弧长为，根据题意，得到，利用扇形的面积公式和基本不等式，即可求解. 【详解】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，弧长为， 因为扇形的周长为，可得，即， 则扇形的面积为， 当且仅当时，即时，等号成立，此时， 所以. 7. 已知一组样本数据，，…，的平均数是，方差是，若去掉某个数据后，平均数不变，方差变为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数据的平均数没有变，得到去掉的数据为，根据方差列出关于的方程即可求解. 【详解】已知一组样本数据，，…，的平均数是，方差是， 所以，， 所以数据总和为且， 设去掉的数据为，则数据总和为，因为新平均数仍为，所以，解得， 因此，所以新方差为，解得，故C正确. 8. 设函数（）在区间上恰有3个零点，则正整数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的范围，再根据零点个数列出不等式，求解. 【详解】因为，，所以， 因为函数在上恰有3个零点， 所以，解得， 所以正整数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组试验数据的平均数比中位数大很多，则下列说法一定正确的是（ ） A. 试验数据中可能有异常数值 B. 试验数据呈近似对称型 C. 试验数据中可能有极端大的值 D. 试验数据中众数和中位数可能相同 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据中位数、平均数、众数的定义说明． 【详解】中位数表示一组数据的中等水平，平均数表示一组数据的平均水平， 如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称， 但现在它们相差很大，说明其中可能存在异常数据，有极端大的值， 众数是出现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有B错误． 10. 已知函数的最小正周期为，则下列选项中是图象的对称中心的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先用正切周期公式求出，再利用正切函数对称中心通式解出的参数表达式，将各选项横坐标代入验证是否存在整数，存在即为对称中心． 【详解】由函数的最小正周期为， 得，解得， 所以， 由，得， 对于A，当时，，即是的一个对称中心，A正确； 对于B，当时，，即是的一个对称中心，B正确； 对于C，令，得，C错误； 对于D，当时，，即是的一个对称中心，D正确． 11. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有两解 B. 的外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 若是钝角三角形，则边上的高的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理判断AB，根据余弦定理和三角形面积公式，结合基本不等式判断C，根据角为直角时，高的取值，再根据对称性，即可判断D. 【详解】A.根据正弦定理，，则，且，所以角可以是锐角或是钝角，有两解，故A正确； B.，则外接圆的半径，外接圆的面积为，故B错误； C.由余弦定理，所以 ，的最大值为， 则面积的最大值为，故C正确； D.当角是直角时，边上的高为，则为钝角时，边上的高的取值范围是， 根据对称性，当角为钝角时，的取值范围是，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式化简，可得，根据即可求解. 【详解】已知，则，得， 两边同时平方，得， 所以， 由于，解得， 则. 13. 若一个正六棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为，则其体积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先将正六边形拆分为个正三角形求出上下底面面积，再利用等腰梯形中侧棱、上下底外接圆半径差构造直角三角形算出棱台的高，最后代入棱台体积公式完成计算． 【详解】 如图，正六棱台的上下底面都是正六边形，是由个正三角形组成， 所以正六棱台的上底面面积， 正六棱台的下底面面积， 如图，在等腰梯形中，，，， 所以正六棱台的高， 所以正六棱台的体积． 14. 在中，，，N为的内心，且，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等腰三角形的特征和角平分线定理，即可求解. 【详解】如图，，点是的中点，点在上， 根据角平分线定理可知，， 则，所以， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（），． （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）若是关于的方程（b，）的一个根，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先进行复数的除法运算，再根据纯虚数的概念求得的值； （2）根据虚根的性质得到方程另一个根，结合韦达定理求出的值. 【小问1详解】 ． 因为是纯虚数，所以，， 解得． 【小问2详解】 因为是关于的方程（b，）的一个根，且虚根成对存在， 所以方程的另一个根为， 所以，，则，， 所以． 16. 某专业测评机构对一批同款家用电动车开展续航能力测试，将车辆续航表现折算为百分制评价得分．为客观分析车辆续航水平，该测评机构随机抽取100台电动车的测评得分（百分制）作为样本，按，，…，分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并求样本中续航测评得分不低于70分的电动车台数； （2）估计样本中测评得分的下四分位数； （3）若规定续航测评得分不低于80分为“续航优秀”，已知样本中在内的得分的平均分为88分，方差为7，在内的得分的平均分为96分，方差为7，求样本中“续航优秀”电动车测评得分的平均数和方差． 【答案】（1），70 （2）67.5 （3）91，22 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求各组频率，结合频率和为可得，进而求样本中续航测评得分不低于70分的电动车台数； （2）分析可知得分的下四分位数落在内，结合百分位数的定义运算求解； （3）根据分层抽样求各层人数，结合分层抽样的平均数和方差公式运算求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，，解得． 不低于70分的频率为， 续航测评得分不低于70分的电动车有台． 【小问2详解】 因为，， 所以得分的下四分位数落在内，设其为， 则，解得， 所以样本中测评得分的下四分位数为67.5． 【小问3详解】 样本中得分在内的电动车辆数为，得分在内的电动车辆数为． 设“续航优秀”电动车测评得分平均数和方差分别为，， 则， 17. 已知向量，满足，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量，，求的值； （3）若在方向上的投影向量为，求（）的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义直接求解即可； （2）结合转化法求向量的模，利用向量数量积的定义直接分步求解即可； （3）表示出在方向上的投影向量，然后用转化法表示向量的模，分析最值，求解即可. 【小问1详解】 因为，满足，，与的夹角为， 所以. 【小问2详解】 因为， 又， 且， 所以. 【小问3详解】 由题知，在方向上的投影向量为， 所以 ， 所以当时，的最小值为. 18. 已知在中，内角所对的边分别为 ，且． （1）求角的大小； （2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得，得到，求得，即可求解； （2）由正弦定理求得，，化简得到，再由为锐角三角形，求得，结合三角函数的图象与性质，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，所以， 又因为，可得，所以， 因为，所以， 所以，可得． 【小问2详解】 由正弦定理知，所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，可得，即，解得， 则，所以， 所以， 所以， 所以的周长的取值范围为． 19. 如图，在四棱锥中，底面，底面是菱形，且，． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明：如图，连接． 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 又，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由底面为菱形可得，再由垂直底面得，利用线面垂直的判定定理得平面，然后利用线面垂直的性质可证得结论； （2）先在求出，再利用菱形的性质可求出菱形的边长，取的中点，连接，，可得为直线与平面所成的角，在中求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，则在中，， 设，所以， 在等边中，，所以， 所以． 如图，取的中点，连接，， 则，，， 因为平面，平面，所以平面平面， 因为平面平面，平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 在中，， 所以在中，， 所以直线与平面所成角的正切值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7月高一期末巩固训练 数学 考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 已知单位向量满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点 A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 小明和小星两名同学进行定点投篮球比赛，小明投中的概率为0.8，小星投中的概率为0.6．若每人投一次篮球，则至少有一人投中的概率为（ ） A. 0.48 B. 0.3 C. 0.12 D. 0.92 6. 已知一个扇形的周长为16，当扇形的面积取得最大值时，它的圆心角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一组样本数据，，…，的平均数是，方差是，若去掉某个数据后，平均数不变，方差变为，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数（）在区间上恰有3个零点，则正整数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组试验数据的平均数比中位数大很多，则下列说法一定正确的是（ ） A. 试验数据中可能有异常数值 B. 试验数据呈近似对称型 C. 试验数据中可能有极端大的值 D. 试验数据中众数和中位数可能相同 10. 已知函数的最小正周期为，则下列选项中是图象的对称中心的是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有两解 B. 的外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 若是钝角三角形，则边上的高的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____． 13. 若一个正六棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为，则其体积为_____． 14. 在中，，，N为的内心，且，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（），． （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）若是关于的方程（b，）的一个根，求的值． 16. 某专业测评机构对一批同款家用电动车开展续航能力测试，将车辆续航表现折算为百分制评价得分．为客观分析车辆续航水平，该测评机构随机抽取100台电动车的测评得分（百分制）作为样本，按，，…，分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并求样本中续航测评得分不低于70分的电动车台数； （2）估计样本中测评得分的下四分位数； （3）若规定续航测评得分不低于80分为“续航优秀”，已知样本中在内的得分的平均分为88分，方差为7，在内的得分的平均分为96分，方差为7，求样本中“续航优秀”电动车测评得分的平均数和方差． 17. 已知向量，满足，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量，，求的值； （3）若在方向上的投影向量为，求（）的最小值． 18. 已知在中，内角所对的边分别为 ，且． （1）求角的大小； （2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，底面，底面是菱形，且，． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $