精品解析：湖南省永州市道县朝阳学校2022-2023学年九年级上学期数学竞赛试题

道县朝阳学校2022年下期九年级 数学竞赛试题卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 亲爱的同学，请你沉着应考，细心审题，揣摩题意，应用技巧，准确作答．祝你成功！ 一、填空题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分） 1. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，满足，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形求值，先根据根与系数的关系得到，进而根据完全平方公式的变形得到，再由，得到，解得或，再由判别式大于0推出，则． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是100，小正方形面积是20，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意得，，，根据两个正方形的面积和勾股定理可得，，，据此可求出，解直角三角形得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，设， 由题意得，，， ∵大正方形的面积是100，小正方形面积是20， ∴， ∴，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． 3. 定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2)2+lg2•lg5+lg5的结果为_____ 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，按照题目的运算法则计算即可． 【详解】解：∵101=10， ∴lg10=1， ∴原式=（lg2）2+lg2•lg5+lg5 =lg2（lg2+lg5）+lg5 =lg2×lg10+lg5 =lg2+lg5 =lg10 =1． 故答案为1． 【点睛】本题考查学生的材料阅读理解能力，正确理解对数运算法则是解题的关键． 4. 如图，在中，，若，则的面积是________________． 【答案】## 【解析】 【分析】添加辅助线，构造等腰直角三角形，先求解的长度，再求解的长度，结合三角形的面积公式求解即可 【详解】解：过点作于点，过点作于点，交于，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 5. 已知函数，若，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据y值可确定x的取值范围，根据x的取值范围结合函数关系式列方程求出x的值即可得答案． 【详解】∵0≤x＜1时，0≤x2＜1，， ∴y=2时，x≥1， ∴2x-2=2， 解得：x=2， 故答案为：2 【点睛】本题考查函数值，根据y值结合各函数关系式得出对应的x的取值范围是解题关键． 6. 在平面直角坐标系中，如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数的图象上，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点，分别作轴的垂线，构造直角三角形．利用反比例函数的几何意义求出两个小直角三角形的面积．证明这两个小直角三角形相似，利用面积比等于相似比的平方求出与的比值．最后在中利用正切定义求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵点，分别落在函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 在中，． 7. 如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝_____． 【答案】． 【解析】 【分析】由三角形的重心定理得出BF=2EF，得出BE=3EF，由平行线得出△EFG∽△EBC，∴得出，即可得出结果． 【详解】∵点F是△ABC的重心， ∴BF＝2EF， ∴BE＝3EF， ∵FG∥BC， ∴△EFG∽△EBC， ∴，（）2， ∴S1：S2； 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形的重心定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握三角形的重心定理，证明三角形相似是解题的关键． 8. 道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 【答案】5 【解析】 【分析】利用待定系数法可求出；设获得的利润为W元，根据总利润每千克的利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴； 设获得的利润为W元， 则 ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为2250， ∴这种干果每千克降价5元时，可获得最大利润． 9. 如图1，中，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，经过________秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似；（如图2）连接，经过________秒时，． 【答案】 ①. 或 ②. 【解析】 【分析】对于第一空，分两种情况：和，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可；对于第二空，过P作于点M，，交于点N，则有，解直角三角形得到，，证明，得出，代入计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴由勾股定理得， ①当时，， ∵，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， 解得； 综上所述，经过秒或秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似； 过P作于点M，设，交于点N，如图所示： 由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴经过秒时，． 10. 在反比例函数的图象上，有一系列点，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．现分别过点，作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，则________，________________________（用含n的代数式表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由已知条件每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出的表达式，即 ，根据，得出即可． 【详解】解：∵点、、、、、在反比例函数图象上，且的横坐标为， ∴， ∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为， ∴、、、、， ∴， ， ， … ， ∵， ∴ ． 三、解答题（本大题共10个小题，每小题10分，共50分） 11. 我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． （1）如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） （2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 【答案】（1）atanα+b米 （2）3.8米 【解析】 【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα= ，即可得到AB的高度； （2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到 ，又根据AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到 联立得到二元一次方程组解之即可得； 【小问1详解】 解：如图 由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α ∠B=∠D=∠CEB=90° ∴四边形CDBE为矩形， 则BE=CD=b，BD=CE=a， 在Rt∆ACE中，tanα= ， 得AE=CE=CE×tanα=a tanα 而AB=AE+BE， 故AB= a tanα+b 答：灯杆AB的高度为atanα+b米 【小问2详解】 由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8 由于AB∥ED， ∴∆ABF~∆EDF， 此时 即①， ∵AB∥GC ∴∆ABH~∆GCH， 此时， ② 联立①②得 ， 解得： 答：灯杆AB的高度为3.8米 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质． 12. 已知正方形中，点E是边上一点（不与C、D重合），将绕点A顺时针旋转得到，如图1，连接分别交于点P、G． （1）求证：； （2）如图2，当点E是边的中点时，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即可证明； （2）设，则，由勾股定理可得，证明，可求出；由勾股定理可得，证明B、C、F三点共线，由勾股定理得，则；证明，推出，得到，求出，证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 设， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； 在中，， ∵， ∴B、C、F三点共线， 在中，由勾股定理得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC顶点A的坐标为． （1）求过点B的反比例函数的解析式； （2）点P在反比例函数上，点D在x轴上，当以P、D、O三点构成的三角形为等边三角形时，求点P、D的坐标； （3）反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，点Q是x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标． 【答案】（1） （2），或， （3）Q的坐标为：或或或 【解析】 【分析】（1）过点A作轴于E，过B作轴于G．由点A的坐标可求出．再根据菱形的性质可知，轴,即得出，，即，最后利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）过点A作轴于E，作直线交反比例函数图象于P，过P作轴于H，作关于直线的对称直线交x轴于点D，如图：由（1）知：，即得出，进而易证是等边三角形．利用待定系数法可求直线的解析式为．联立，求解，即得出或．当时，由对称性可知，当时，同理可得； （3）反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，即得出，．设，则，．分类讨论：①以为斜边时，②以为斜边时和③以为斜边时，根据勾股定理分别列出关于t的等式，解出t即可． 【小问1详解】 过点A作轴于E，过B作轴于G，如图， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，轴, ∴， ∴， ∴． ∵过B点的反比例函数解析式为， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 过点A作轴于E，作直线交反比例函数图象于P，过P作轴于H，作关于直线的对称直线交x轴于点D，如图： 由（1）知：， ∴， ∴． ∵轴于E，轴于H， ∴． ∵关于直线的对称直线交x轴于点D， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 设直线的解析式为， 把代入得， ∴直线的解析式为． 联立，解得：或， ∴或， 当时，由对称性可知， 当时，同理可得； ∴，或，； 【小问3详解】 如图，反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F， ∵， ∴， ∴． 设，则，， ①以为斜边时，， ∴， 解得， ∴Q或； ②以为斜边时，， ∴， 解得， ∴； ③以为斜边时，， ∴， 解得， ∴． 综上所述，Q的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，菱形的性质，坐标与图形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识．正确的作出辅助线是解题关键． 14. 问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值． （1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值； （2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）[问题提出]（1）； （2）证明：取的中点，连接． ∵是的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）[问题拓展] 【解析】 【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得，，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，即可求解； （2）取的中点，连接．证明，可得，根据，证明，根据相似三角形的性质可得，进而可得； [问题拓展]方法同（2）证明，得出，，证明，得到，进而可得． 【小问1详解】 [问题探究]：（1）如图， 中，，是的中点，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）略 【小问2详解】 [问题拓展]如图，取的中点，连接． ∵是的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15. 模型学习： 如图1，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“K型图”；易得． 模型拓展： （1）如图3，在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别相交于点A、B，将直线l绕点B逆时针旋转后得到直线，求直线的函数关系式． 模型延伸： （2）如图4，反比例函数的图象经过点，在OA的右侧该图象上找一点B，使，求点B的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图，过点作于，过点作轴于，交的延长线于．得出，求出，利用待定系数法求出直线的函数关系式即可； （2）如图，过点作于，作轴于，作交的延长线于，设，利用模型的结论，构造相似三角形解决问题即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于，过点作轴于，交的延长线于． ∵与、轴分别相交于点、， ∴当时，，当时，， ∴，，，， ∵将直线绕点逆时针旋转后得到直线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，当时，过点作于，作轴于，作交的延长线于，设， ∵， ∴， 同（1）可得，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴，，，， ∴反比例函数解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与反比例函数解析式得，， 解得：或， ∵点在第一象限， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 道县朝阳学校2022年下期九年级 数学竞赛试题卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 亲爱的同学，请你沉着应考，细心审题，揣摩题意，应用技巧，准确作答．祝你成功！ 一、填空题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分） 1. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，满足，则的值为________． 2. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是100，小正方形面积是20，则____________． 3. 定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2)2+lg2•lg5+lg5的结果为_____ 4. 如图，在中，，若，则的面积是________________． 5. 已知函数，若，则_________． 6. 在平面直角坐标系中，如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数的图象上，则的值为__________． 7. 如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝_____． 8. 道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 9. 如图1，中，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，经过________秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似；（如图2）连接，经过________秒时，． 10. 在反比例函数的图象上，有一系列点，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．现分别过点，作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，则________，________________________（用含n的代数式表示）． 三、解答题（本大题共10个小题，每小题10分，共50分） 11. 我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． （1）如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） （2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 12. 已知正方形中，点E是边上一点（不与C、D重合），将绕点A顺时针旋转得到，如图1，连接分别交于点P、G． （1）求证：； （2）如图2，当点E是边的中点时，，求的长． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC顶点A的坐标为． （1）求过点B的反比例函数的解析式； （2）点P在反比例函数上，点D在x轴上，当以P、D、O三点构成的三角形为等边三角形时，求点P、D的坐标； （3）反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，点Q是x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标． 14. 问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值． （1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值； （2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）． 15. 模型学习： 如图1，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“K型图”；易得． 模型拓展： （1）如图3，在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别相交于点A、B，将直线l绕点B逆时针旋转后得到直线，求直线的函数关系式． 模型延伸： （2）如图4，反比例函数的图象经过点，在OA的右侧该图象上找一点B，使，求点B的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $