精品解析：湖南省长沙市雅礼教育集团2022-2023学年九年级上学期数学学科素养与能力测试·初赛试题

雅礼教育集团2022年九年级上学期数学学科素养与能力测试 初 赛 试 题 （时间：90分钟 满分：120分，共24道填空题，每道题5分，共120分） 1. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】2022 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解得到，根据根与系数的关系得到，将所求代数式变形后代入计算即可得到结果． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，即， 由根与系数的关系得， ． 2. 不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先用表示出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知的不等式组解集，结合一元一次不等式组解集的确定方法，列出关于的不等式，即可求解的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为， 根据同大取大的原则，可得， 解得：． 3. 已知二次函数（），其中，，满足，，则该二次函数图象的对称轴是直线________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，中的系数判定出的值，再根据抛物线上两点的纵坐标相等则两点关于对称轴对称，对称轴的横坐标等于两对称点的横坐标之和的一半求解． 【详解】解：令，则， ∴是二次函数图像上的点； 令，则， ∴是二次函数图像上的点， 且点与点的纵坐标相等， ∴两点关于对称轴对称， ∴对称轴为． 4. 我国古代数学著作《九章算术》中有“共买鸡问题”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡．如果每人出9文钱，就多出11钱；如果每人出6文钱；就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有人，可列出方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得等量关系：9×人数－11=6×人数+16，根据等量关系列出方程即可． 【详解】设有人共同买鸡，根据题意得： 故答案为： 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 5. 为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获20条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞100条鱼，如果在这100条鱼中有5条鱼是有记号的，则估计该鱼塘中的鱼数约为_____． 【答案】400 【解析】 【分析】首先求出有记号的5条鱼在100条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数． 【详解】解：∵100%＝5%， ∴20÷5%＝400． 故答案为：400． 【点睛】本题考查了统计中用样本估计总体的思想，关键是根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例解答． 6. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】作交于点E，由作图可知平分，根据角平分线的性质定理得到，根据角的性质得到，即可求出的值． 【详解】解：如图，作交于点E，则， ∵， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7. 如图，中，，，，是斜边上一个动点，过点作于，于，连接．在点的运动过程中，的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理可以求出，根据，，可知四边形是矩形，根据矩形的性质可知，根据垂线段最短可知当时，的值最小，即的值最小，利用三角形的面积公式可以求出，即的最小值为． 【详解】解：如下图所示，连接， ，，， ， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， 当时，的值最小，即的值最小， 当时，， ， ， . 8. 如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，在第一象限，将正方形绕点旋转，当的坐标为时，则点的坐标是________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据在第一象限，分为B在第一象限或第四象限两种情况，过C、D作轴和y轴的平行线，证明三角形全等得到对应边的长度，进而得到点的坐标． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 根据题意，可分为以下两种情况： 第一种，点B在第一象限时，如图①： 过点D作轴，过点C作轴，交延长线与点F，则， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴点的坐标是，即； 第二种，点B在第四象限时，如图②： 过点D作轴，轴，过点C作轴，则易证， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴点的坐标是，即； 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】构造全等三角形是解题关键，牢记勾股定理，使用分类讨论思想进行解题． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，在轴上找一点使得是直角三角形，则点的坐标为________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】先设点，再根据勾股定理表示出，，，然后分三种情况讨论得出方程，并求出解即可． 【详解】解：设点，根据题意，得 ，，． 当时，是直角三角形， 即， 解得或， ∴点或； 当时，是直角三角形， 即， 解得， ∴点； 当时，是直角三角形， 即， 解得， ∴点， 所以点C的坐标是点或或或． 10. 关于x的方程2a （x+5）＝3x+1无解，则a＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先把原方程变为，再由方程无解即可得到，由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的方程无解， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程无解的问题，熟知一元一次方程无解的条件是解题的关键． 11. 已知实数，满足，则的最大值为________． 【答案】34 【解析】 【分析】根据已知条件将用含的代数式表示，代入所求式子，转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求解最大值． 【详解】解：， ， 将 代入得 ． 二次项系数， 该二次函数开口向下，当时，取得最大值，最大值为． 12. 若关于的函数（，且是常数）与直线：（，，且，是常数）交于，两点，当，满足时，直线l是否总经过某一个定点？若经过某一定点，则该定点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】联立，利用一元二次方程根与系数的关系结合已知求出，进而得到，即可确定经过的定点． 【详解】解：联立， ， ，， ， ∴， ∴， ， ，即， ， 当时，， 直线l是必过点． 13. 我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对，则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上，其中正确的结论有______（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据定义逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴是完美方根数对；故①正确； ∵， ∴不是完美方根数对；故②不正确； 若是完美方根数对，则， 即， 解得或， ∵是正整数， 则，故③正确； 若是完美方根数对，则， ∴, 即，故④正确， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键． 14. 在一次数学活动课上，某数学老师将共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上．写出的结果依次是：甲：；乙：；丙：；丁：；戊：．根据以上信息．请判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是______和______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据所有数字互不重复的条件，从和最小的结果入手，列举每种和对应的所有可能数字组合，逐步排除已使用的数字，推理得到剩余未使用数字，最终确定戊手中的两个数字． 【详解】解：由题意可知，十个数字互不重复，五人每人两张卡片，所有数字不重复， 由丁：，可知中两个不同数字和为只有，因此丁手中数字为和； 由甲：，可知和为的不同数字组合为和，和，和，和已被使用，因此甲手中数字只能为和； 此时已使用数字为，剩余未使用数字为， 由乙：，剩余数字中和为的组合只有，其他组合均包含已使用数字，因此乙手中数字为和； 此时已使用数字新增，剩余未使用数字为 ， 由丙：，剩余数字中和为的组合只有，因此丙手中数字只能为和； 此时剩余未使用数字为和，因为，符合戊的和，因此戊同学手里拿的两张卡片上的数字是和． 15. 如图，四边形ABCD为菱形，，延长BC到E，在内作射线CM，使得，过点D作，垂足为F．若，则对角线BD的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC交BD于H，证明DCH≌DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度． 【详解】解：如图，连接AC交BD于点H， 由菱形的性质得∠BDC=35，∠DCE=70， 又∵∠MCE=15， ∴∠DCF=55， ∵DF⊥CM， ∴∠CDF=35， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴BD平分∠ADC， ∴∠HDC=35， 在CDH和CDF中， ∴CDH≌CDF（AAS）， ∴， ∴DB=， 故答案为． 【点睛】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的关键知识点，得出∠HDC=∠FDC是这个题最关键的一点． 16. 如图，中，，，，，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据三角形的高相同时，面积比=底边的比计算求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查三角形的面积．根据三角形的高相同时，面积比=底边的比，得出所求的三角形的面积与已知三角形的面积的关系是解题的关键． 17. 如图，，平分，交于点D，，垂足为C．若，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】过点E作于点F，根据角平分线的性质得出，根据平行线的性质和角平分线的定义推出，则，，最后根据含角直角三角形的特征，即可求解． 【详解】解：过点E作于点F， ∵平分，，，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的外角定理，平行线的性质，等角对等边，含角直角三角形的特征，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等；三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和；两直线平行，内错角相等；含角直角三角形，角所对的边是斜边的一半． 18. 如图①，动点从等腰顶点出发，沿点在各边上匀速运动，设点运动时间为（），的长为（），与的函数图象如图②，点为曲线部分的最低点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】从图象2可得出，点的运动速度为每秒个单位，的最小值为，再利用勾股定理 求出，进而可求得答案． 【详解】解：如图，设为的高，由题图，可知：，，点的运动速度为每秒个单位， ， ， ， 当动点返回到点时， ， 解得：， ． 19. 如图．在中，，，以直角顶点为圆心，长为半径画弧交于点，过点作于点，若，则的周长用含的代数式表示为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“，”可知∠B=60°，根据“以直角顶点为圆心，长为半径画弧交于点”可知△ABD是等边三角形，∠BAD=60°，继而可知∠DAE=30°，利用直角三角中30°所对的边是斜边的一半，即可知AB和BC的长，再利用勾股定理即可求出AC的长，从而可得周长. 【详解】∵中，， ∴∠B=60°，BC=2AB ∵以直角顶点为圆心，长为半径画弧交于点， ∴AB=AD ∵∠B=60° ∴△ABD是等边三角形 ∴∠BAD=60°， ∴∠DAE=30°， 又∵DE⊥AC ∴△ADE是直角三角形 ∴AD=2DE=2a ∴AB=2a，BC=4a 根据勾股定理有 ∴ ∴△ABC的周长=AB+AC+BC= 故答案为. 【点睛】本题考查的是含有30°角的直角三角形和勾股定理，能够根据含有30°角的直角三角形相关性质和勾股定理求出三边的长是解题的关键. 20. 如图，在中，于点，，，，点是上一动点（不与点，重合），在内作矩形，点在上，点，在上，设，连接．设的面积为，矩形的面积为，令，求关于x的函数解析式________（不要求写出自变量x的取值范围）． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，即可得，再根据矩形的性质得，然后表示出进而得，，接下来表示出，再得出，并表示出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵ ∴． ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】运用待定系数法求得解析式，设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点H，则，可得到，利用三角形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， ∴设， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点， 则， ∴， ∵的面积为15， ∴， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为． 22. 在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点为点的限变点．例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是．若点在关于的二次函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是或，其中．令，则的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意设点在上，则，再根据限变点定义分情况求的范围，结合或，其中，求出，即可解答． 【详解】解：根据题意设点在上，则， 再根据限变点定义分情况求的范围： 当时：根据定义， ∵， ∴， ∴，即； 当时：根据定义，对任意实数，，即； ∵或，且 ∴， ∴． 23. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴位于直线的右侧，有结论：①；②；③．则以上结论正确的是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先根据题意求出m，n的取值，代入得到a，b，c的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解． 【详解】解：∵点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴A，B关于原点对称， ∴，， ∴，， 代入 得 ， ∴， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴， ∴， ∴， ∴③正确，符合题意； 综上所述，结论正确的是①②③． 24. 在平面直角坐标系中，若一个函数存在时，函数值，则称该函数为“IMA函数”，此时点叫该IMA函数的“IMA点”，是否存在一个整数值，使得函数（）的“IMA点”的横坐标，都为整数？如果存在，请求出的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，解题的关键是根据题意，列出方程关系． 根据“IMA点”的定义，得到满足条件的点满足，代入原函数整理得到关于的一元二次方程，求出方程的根，根据根为整数、为不为的整数，即可求出的值． 【详解】解：根据“IMA点”的定义，可得， 将代入函数得： 等式两边同乘消去分母得：， 移项合并同类项得：， 因式分解得：， 解得：，， 由题意可得，，都为整数，为整数且， 因此为整数，即是的非零整数因数， 故可得或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼教育集团2022年九年级上学期数学学科素养与能力测试 初 赛 试 题 （时间：90分钟 满分：120分，共24道填空题，每道题5分，共120分） 1. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 2. 不等式组的解集是，则的取值范围是________． 3. 已知二次函数（），其中，，满足，，则该二次函数图象的对称轴是直线________． 4. 我国古代数学著作《九章算术》中有“共买鸡问题”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡．如果每人出9文钱，就多出11钱；如果每人出6文钱；就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有人，可列出方程为______________． 5. 为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获20条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞100条鱼，如果在这100条鱼中有5条鱼是有记号的，则估计该鱼塘中的鱼数约为_____． 6. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的值是________． 7. 如图，中，，，，是斜边上一个动点，过点作于，于，连接．在点的运动过程中，的最小值是________． 8. 如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，在第一象限，将正方形绕点旋转，当的坐标为时，则点的坐标是________． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，在轴上找一点使得是直角三角形，则点的坐标为________． 10. 关于x的方程2a （x+5）＝3x+1无解，则a＝______． 11. 已知实数，满足，则的最大值为________． 12. 若关于的函数（，且是常数）与直线：（，，且，是常数）交于，两点，当，满足时，直线l是否总经过某一个定点？若经过某一定点，则该定点的坐标为________． 13. 我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对，则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上，其中正确的结论有______（填序号） 14. 在一次数学活动课上，某数学老师将共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上．写出的结果依次是：甲：；乙：；丙：；丁：；戊：．根据以上信息．请判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是______和______． 15. 如图，四边形ABCD为菱形，，延长BC到E，在内作射线CM，使得，过点D作，垂足为F．若，则对角线BD的长为______． 16. 如图，中，，，，，则______． 17. 如图，，平分，交于点D，，垂足为C．若，则的长为______． 18. 如图①，动点从等腰顶点出发，沿点在各边上匀速运动，设点运动时间为（），的长为（），与的函数图象如图②，点为曲线部分的最低点，则的值为________． 19. 如图．在中，，，以直角顶点为圆心，长为半径画弧交于点，过点作于点，若，则的周长用含的代数式表示为_______________． 20. 如图，在中，于点，，，，点是上一动点（不与点，重合），在内作矩形，点在上，点，在上，设，连接．设的面积为，矩形的面积为，令，求关于x的函数解析式________（不要求写出自变量x的取值范围）． 21. 如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 22. 在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点为点的限变点．例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是．若点在关于的二次函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是或，其中．令，则的值为________． 23. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴位于直线的右侧，有结论：①；②；③．则以上结论正确的是________． 24. 在平面直角坐标系中，若一个函数存在时，函数值，则称该函数为“IMA函数”，此时点叫该IMA函数的“IMA点”，是否存在一个整数值，使得函数（）的“IMA点”的横坐标，都为整数？如果存在，请求出的值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $