精品解析：湖南省永州市新田县2023-—2024学年九年级上学期“学生平安保险”杯学生学科竞赛数学试题

新田县2023年“学生平安保险”杯学生学科竞赛 九年级 数学 时间：120分钟 分值：100分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方数非负数判断出点P的横坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴点P的横坐标是正数， ∴点P(，－2) 所在的象限是第四象限． 故选D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－）． 2. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. －2与 B. －2与 C. －2与 D. 与2 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义，绝对值，算术平方根，立方根来进行判断即可． 【详解】解：由相反数的定义可知， A．-2与2是互为相反数，-2与不是互为相反数，故此选项不符合题意； B．因为，-2与2互为相反数，与-2不互为相反数，故此选项不符合题意； C．因为，-2与2互为相反数，故此选项符合题意； D．因为，2与-2互为相反数，所以与2不是互为相反数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查相反数，绝对值，算术平方根，立方根，理解“只有符号不同的两个数是互为相反数”是正确判断的关键． 3. 若，则中最大的一个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数比较大小，根据减去一个数等于加上这个数的相反数，由于，故，进而得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴最大的一个数是； 故选A． 4. 如图，A、B是数轴上两点．在线段AB上任取一点C，则点C到表示﹣1的点的距离不大于2的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出AB两点间的距离，再根据距离的定义找出符合条件的点即可． 【详解】解：∵AB间距离为5，点C到表示﹣1的点的距离不大于2的点是-3到1之间的点，满足条件的点组成的线段的长是4，根据概率公式P=． 故选D． 5. 如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有（　　） A. 4条 B. 5条 C. 6条 D. 7条 【答案】B 【解析】 【分析】将各格点分别记为1、2、3、4、5、6、7，利用树状图可得所有路径． 【详解】如图，将各格点分别记为1、2、3、4、5、6、7， 画树状图如下： 由树状图可知点P由A点运动到B点的不同路径共有5种， 故选B． 【点睛】本题主要考查树形图法列举出所有可能的结果，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． 6. 设，则代数式的值为( ). A. -6 B. 24 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ ∴当时， 原式=（-1+1）2-13 =7-13 =-6 故选A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用． 7. 把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立方体，然后将露出的表面部分染成红色，那么红色部分的面积为（ ） A. 21 B. 24 C. 33 D. 37 【答案】C 【解析】 【分析】此题可根据表面积的计算分层计算得出红色部分的面积再相加． 【详解】解：根据题意得： 第一层露出的表面积为：1×1×6﹣1×1=5， 第二层露出的表面积为：1×1×6×4﹣1×1×13=11， 第三层露出的表面积为：1×1×6×9﹣1×1×37=17， 所以红色部分的面积为：5+11+17=33． 故选C． 8. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论： ①甲步行的速度为60米/分； ②乙走完全程用了32分钟； ③乙用16分钟追上甲； ④乙到达终点时，甲离终点还有300米 其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】由图可得， 甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确， 乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误， 乙追上甲用的时间为：16﹣4=12（分钟），故③错误， 乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60=360米，故④错误， 故选A． 【点睛】本题考查了函数图象，弄清题意，读懂图象，从中找到必要的信息是解题的关键. 9. 如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半，这样的图形有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据含30°角所对的直角边等于斜边一半，然后依次判断直角三角形中能否找到一个角等于30°，从而判断出答案． 试题解析：设正方形的边长为a， 在图①中，CE=ED=a，BC=DB=a， 故∠EBC=∠CEB≠30°，故△ECB，故不能满足它的一条直角边等于斜边的一半． 在图②中，BC=a，AC=AE=a， 故∠BAC=30°， 从而可得∠CAD=∠EAD=30°，故能满足它的一条直角边等于斜边的一半． 在图③中，AC=a，AB=a， 故∠ABC=∠DBC≠30°，故不能满足它的一条直角边等于斜边的一半． 在图④中，AE=a，AB=AD=a， 故∠ABE=30°，∠EAB=60°， 从而可得∠BAC=∠DAC=60°，∠ACB=30°，故能满足它的一条直角边等于斜边的一半． 综上可得有2个满足条件． 故选C． 考点：翻折变换（折叠问题）． 10. 10个人围成一圈做游戏.游戏的规则是：每个人心里都想一个数，并把自己想的数告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报出来的数是3的人心里想的数是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设报3的人心里想的数为x，利用平均数定义表示报5的人心里想的数；报7的人心里想的数；报9的人心里想的数；报1的人心里想的数，最后建立方程，解方程即可. 【详解】设报3的人心里想的数是x ∵报3与报5两个人报的数的平均数是4 ∴报5的人心里想的数应该是8-x 于是报7的人心里想的数应该是12-（8-x）=4+x 报9的人心里想的数应该是16-（4+x）=12-x 报1的人心里想的数应该是20-（12-x）=8+x 报3的人心里想的数应该是4-（8+x）=-4-x 所以x=-4-x，解得x=-2 故答案选择B. 【点睛】本题属于阅读理解和探查规律题，考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用.规律与趋势：这道题的解决方法有点奥数题的思维，题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且，多设几个未知数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【详解】解方程得： ， 因为它的解是正数，则且 ， 得且． 故答案为：且． 12. 设，，且，则代数式的值为__________． 【答案】23 【解析】 【分析】本题主要考查了求分式的值，一元二次方程的根与系数的关系， 先确定a，b是的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系得，然后整理代入求值即可. 【详解】解：∵， ∴a，b是的两个根，即， ∴， ∴. 故答案为：23. 13. 已知，如果等式成立，那么可取的值有__________个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂性质，一元一次方程，一元二次方程解法，掌握任何不等于0的0次幂为1，底数为的偶次方为1，底数为1的任何次方为1是解题关键． 根据零指数幂的性质，得出或底数是－1指数是偶数或，解方程求出x，验证底数不为0即可． 【详解】解：∵， 分三种情况讨论： ∴或且指数为偶数或， （1）当时， ∴， 当时， ∴； （2）且指数为偶数时， 解得或， 当时，不符合题意舍去； 当时，， 所以； （3）当时， 因式分解得 解得 所以x可能的值有或0或或2，共4个. 故答案为：4. 14. 如图，要输出大于100的数，则输入的正整数x最小是_________． 【答案】22 【解析】 【详解】当为奇数时，依题意得，； 当为偶数时，依题意得，，，故正整数x最小是22． 15. 如图，长方形中，，，点E是边上的动点，现将沿直线折叠，使点C落在点F处，则线段的最小值是为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，由三角形三边关系知，当F点在上时最短为，根据勾股定理求出，根据翻折性质得出，即可求出答案． 【详解】解：连接、， 由三角形三边关系可知，当F点在上时最短为， ∵在长方形中，，， ∴， ∴， 由翻折知，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形的翻折，熟练掌握矩形的性质，翻折的性质及勾股定理的知识是解题的关键． 16. 将绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得，如图①，我们将这种变换记为，如图②，在中，，如果对作变换得，使点B，C，B′在同一直线上，且，那么________________． 【答案】 【解析】 【分析】先判定，得到，继而证明，设，在中，利用勾股定理得出，证明，得到，再在中，利用勾股定理得到，两式结合，利用加减消元法求出n值即可． 【详解】解：如图，连接 ∵，， ∴， ∴，且， ∵， ∴，即， ∴，则， 设， 在中，， 即， 整理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， 整理得：，代入中， 解得：（负值舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质解决问题． 三、解答题（本大题共5小题，共52分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将分式方程去分母整理成一元二次方程求解即可； （2）两边同时平方整理成一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解： ， 两边同乘得：， 整理得：， 解得：，， 经检验，，是该分式方程的解： 【小问2详解】 解：由题意得：， 两边同时平方得：， 两边再平方整理得：， 解得：或， 经检验，不符合题意，舍， ∴； 【点睛】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程与无理方程，把分式方程与无理方程转化为整式方程是关键． 18. 两个整数和，除以7余2，除以7余5，当时，求的差除以7的余数． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了代数式的应用，利用带余除法的一般表达式，代入式子中，经过变形就可得到所求的余数． 【详解】解：当时，． 设，， 除以7余3． 19. 设为非零实数，两个函数与的图象相交于，两点，若，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】令，则有，然后根据一元二次方程根的判别式及根与系数的关系可进行求解． 详解】解：由题意可令，整理得：， ∴，解得：， 由韦达定理可得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系、反比例函数、一次函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系、反比例函数、一次函数的性质是解题的关键． 20. 如图，在梯形中，，两腰、互相垂直，、的中点分别是、，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质． 作，可知四边形是平行四边形，进而得，再说明N是的中点，接下来说明为直角三角形，然后根据直角三角形的性质得，即可得出答案. 【详解】证明：如图所示，过点M分别作， 因为， 则四边形平行四边形． 所以． 因为M是的中点， 所以， 所以 又因为N是的中点， 所以N是的中点． 因为垂直于， 所以为直角三角形． 所以． 又因为， 所以． 21. 某商场售卖甲、乙两种不同的电视机，第一季度甲型电视机的售价比乙型电视机售价少元，甲型电视机销售额为元，乙型电视机销售量是甲型电视机的两倍，且乙型电视机的销售额是甲型电视机的倍． （1）求甲、乙两种电视机的售价； （2）经过市场调查，两种电视机的售价和销售量均满足一次函数的关系，在第一季度的售价和销售量的基础上，甲型电视机售价元与销售量台的关系如图所示，乙型电视机售价元与销售量台的关系为该商场计划第二季度再进一批甲、乙两种电视机共台，且甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的倍，商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为元．求第二季度甲的电视机的销售量及售价． 【答案】（1）甲种电视机的售价为元，乙种电视机的售价为元； （2）第二季度甲的电视机的销售量是台，售价是元台． 【解析】 【分析】设乙种电视机的售价为元，甲种电视机的售价为元，利用乙型电视机的销售额是甲型电视机的倍列出方程即可求解； 设甲型电视机售价元与销售量台的关系为，待定系数法可得，设第二季度甲的电视机的销售量是台，则第二季度乙的电视机的销售量是台，根据甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的倍，得，而商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为元，有，可解得或舍去，从而可得第二季度甲的电视机的销售量是台，售价是元台． 【小问1详解】 设乙种电视机的售价为元，甲种电视机的售价为元， 则， 解得：， 经检验，是方程的解，也符合题意， ， 答：甲种电视机的售价为元，乙种电视机的售价为元； 【小问2详解】 由知，第一季度甲种电视机售价是元台，销售量为台， 由图象可知，当售价是元台时，销售量是台， 设甲型电视机售价元与销售量台的关系为， ， 解得， ， 设第二季度甲的电视机的销售量是台，则第二季度乙的电视机的销售量是台， 甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的倍， ， 解得， 商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为元， ， 整理化简得， 解得或， ， 舍去， ， 此时， 答：第二季度甲的电视机的销售量是台，售价是元台． 【点睛】本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． 22. 如图，已知在中，，，点D、E边上（点E在点D右侧，点D不与点B重合），，过点B作，交的延长线于点F． （1）当时，求线段的长； （2）设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）连接，如果，求的长． 【答案】（1）线段的长为 （2）， （3）的长为4或8 【解析】 【分析】（1）根据，得出，在中，求得，在中， 求得，由即可得出答案； （2）证明，得出，求出，再证明，得出，求得，根据点D、E边上，点E在点D右侧，点D不与点B重合，得出，求出即可； （3）分两种情况，当时或当时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图所示： ， ， 在中， ， 在中， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 即， 解得， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 根据点D、E边上，点E在点D右侧，点D不与点B重合， ， ， ， ； 【小问3详解】 当时，如图： ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ； 当时，如图： ， ， 由（2）可知，， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当与相似时，的长为4或8． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，解题的关键是数形结合，作出相应的图形，并注意分类讨论． 23. 如图，四边形是矩形，点、在坐标轴上，绕点顺时针旋转得到，点在轴上，直线交轴于点，交于点，线段、的长是方程的两个根，且． 备用图 （1）求直线的解析式； （2）判断与是否相似？并说明理由． （3）点在坐标轴上，平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）不相似，理由见解析； （3）存在，点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）先解一元二次方程，得出，，再根据矩形的性质和旋转的性质，得到，，然后利用待定系数法，即可求出直线的解析式； （2）根据矩形的性质和旋转的性质，得到，再求出直线于轴的交点，得到，然后利用坐标两点的距离公式，求得，最后利用等边对等角的性质，得出，即可判断与是否相似； （3）分三种情况讨论：①当时，此时点在轴上；②当，此时点在轴上；③当，此时点与原点重合，利用相似三角形判定和性质，分别求出的长，即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：，则， 解得：，， 线段、的长是方程的两个根，且， ，， 四边形是矩形， ，，， ， 由旋转的性质可知，， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：不相似，理由如下： 四边形是矩形， ，， ， 由旋转性质可知，， ， 由（1）可知直线的解析式为， 令，则， ， ， ， ， ， ， ， 与不相似； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 由（1）和（2）可知，，， 以、、、为顶点的四边形是矩形， 是直角三角形， ①如图，当时，此时点在轴上， ，， ， 又， ， ， ， 点的坐标为； ②如图，当，此时点在轴上， ，， ， 又， ， ， ， 点的坐标为； ③如图，当，此时点与原点重合， 点的坐标为； 综上可知，点的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数与几何图形综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，解一元二次方程，矩形的性质，旋转的性质，坐标两点的距离公式，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新田县2023年“学生平安保险”杯学生学科竞赛 九年级 数学 时间：120分钟 分值：100分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P所在的象限是（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. －2与 B. －2与 C. －2与 D. 与2 3. 若，则中最大的一个数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，A、B是数轴上两点．在线段AB上任取一点C，则点C到表示﹣1点的距离不大于2的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有（　　） A 4条 B. 5条 C. 6条 D. 7条 6. 设，则代数式的值为( ). A. -6 B. 24 C. D. 7. 把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立方体，然后将露出的表面部分染成红色，那么红色部分的面积为（ ） A. 21 B. 24 C. 33 D. 37 8. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论： ①甲步行的速度为60米/分； ②乙走完全程用了32分钟； ③乙用16分钟追上甲； ④乙到达终点时，甲离终点还有300米 其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半，这样的图形有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 10个人围成一圈做游戏.游戏的规则是：每个人心里都想一个数，并把自己想的数告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报出来的数是3的人心里想的数是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_____． 12. 设，，且，则代数式的值为__________． 13. 已知，如果等式成立，那么可取的值有__________个． 14. 如图，要输出大于100的数，则输入的正整数x最小是_________． 15. 如图，长方形中，，，点E是边上的动点，现将沿直线折叠，使点C落在点F处，则线段的最小值是为_______． 16. 将绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得，如图①，我们将这种变换记为，如图②，在中，，如果对作变换得，使点B，C，B′在同一直线上，且，那么________________． 三、解答题（本大题共5小题，共52分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 两个整数和，除以7余2，除以7余5，当时，求的差除以7的余数． 19. 设为非零实数，两个函数与的图象相交于，两点，若，求的值． 20. 如图，在梯形中，，两腰、互相垂直，、的中点分别是、，且，求证：． 21. 某商场售卖甲、乙两种不同的电视机，第一季度甲型电视机的售价比乙型电视机售价少元，甲型电视机销售额为元，乙型电视机销售量是甲型电视机的两倍，且乙型电视机的销售额是甲型电视机的倍． （1）求甲、乙两种电视机的售价； （2）经过市场调查，两种电视机的售价和销售量均满足一次函数的关系，在第一季度的售价和销售量的基础上，甲型电视机售价元与销售量台的关系如图所示，乙型电视机售价元与销售量台的关系为该商场计划第二季度再进一批甲、乙两种电视机共台，且甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的倍，商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为元．求第二季度甲的电视机的销售量及售价． 22. 如图，已知在中，，，点D、E边上（点E在点D右侧，点D不与点B重合），，过点B作，交的延长线于点F． （1）当时，求线段的长； （2）设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）连接，如果，求长． 23. 如图，四边形是矩形，点、在坐标轴上，绕点顺时针旋转得到，点在轴上，直线交轴于点，交于点，线段、的长是方程的两个根，且． 备用图 （1）求直线的解析式； （2）判断与否相似？并说明理由． （3）点在坐标轴上，平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$