精品解析：河北承德市2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，则． 2. 二项式展开式的中间一项的二项式系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】展开式共有7项，中间一项是第4项，其二项式系数为. 3. 若直线与曲线（为自然对数的底数）相切于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，则切线斜率为,切点坐标为，故， 而曲线在处的切线方程为， 即，故，，所以． 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数时，利用二项式定理或同余算出除以余数为，通过周期性转化为，代入解析式求得结果． 【详解】， 所以除以余数为，即存在，使得， 时，， 所以． 5. 已知随机变量满足，若，则随机变量的数学期望为（ ） A. 96 B. 100 C. 104 D. 116 【答案】C 【解析】 【分析】利用公式计算. 【详解】由题意知，， 所以. 6. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得出1为函数极大值点，结合极值点的性质得出，进而解方程求出． 【详解】由题意知， 所以1为函数极大值点，所以， 而，由，则 ，解得． 7. 已知对线性数据的相关系数，其中向量，，且，．研究表明，人的脂肪含量与年龄（岁）呈线性相关关系．现收集了14个人的年龄和脂肪含量的数据，其中和分别表示第个人的年龄和脂肪含量，则这14对数据的相关系数（ ） （参考数据：已知，，，，．） A. 0.92 B. 0.94 C. 0.95 D. 0.96 【答案】A 【解析】 【详解】 . 8. 将各位数字之和等于10的四位数称为“好数”，比如2026，则四位数中“好数”个数为（ ） A. 219 B. 220 C. 285 D. 286 【答案】A 【解析】 【分析】先把四位数各位数字和问题转化为关于正整数的方程，再用隔板法计算总数，最后减去千位为10的情况即可得到最终结果. 【详解】设四位数为，则（，）， 令，，， 则问题转化为：求方程的正整数解的个数， 由“隔板法”得共有个， 其中当，时不合题意，故共有219个. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数是定义在上的奇函数，函数是定义在上的偶函数，且在单调递减，在单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用定义在R上的奇函数过坐标原点，判断A；由奇偶性的定义判断B；根据的单调性比较与，再利用的奇偶性与单调性判断C；先利用的奇偶性与单调性比较与，再根据的单调性判断D. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，故A正确； 令，则定义域为R， ，， 所以为R上的奇函数，故B正确； 函数是定义在上的奇函数，且在单调递减， 所以在上单调递减. 又，所以是减函数. 所以. 函数是定义在上的偶函数，在单调递增， 所以在上单调递减. 所以，所以，即，故C错误； 由在单调递增，得. 由是减函数，得，故D错误. 10. 已知复数，其共轭复数分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则（为虚数单位） D. 若，其中，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故，故B正确； 当，时，满足，但不满足，故C错误. 由得，而，所以，即，故D正确. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 可能为偶函数 B. 曲线不可能有对称轴 C. 当时，函数有极值 D. 当时，若为函数的极大值点，则在单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用奇偶性的定义即可判断；对于B分、两种情况，根据和的函数值即可判断；对于C，求导，进而可得，易知时，函数无极值；对于D，根据极值的定义结合三次函数的性质即可得到单调性． 【详解】若为偶函数， 则， ，而，故A错误； 当时，若，则；若，则， 故当时，曲线无对称轴； 当时，若，则；若，则， 故当时，曲线无对称轴，故B正确； ，， 当时，无变号零点，所以此时函数无极值，故C错误； 易得当时，若存在极大值点， 则曲线先单调递增，后单调递减，再单调递增， 又时，， 则在单调递增，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 命题“，”的否定是________． 【答案】， 【解析】 【详解】命题“，”的否定是，. 13. “算两次原理”（又称富比尼原理）是一种重要的数学思想方法，核心是：对同一个量，从两个不同角度或采用两种不同方法分别计算一次，根据结果相同建立等量关系，从而解决问题．请你结合二项式定理，利用等式，计算 ________．（结果用组合数表示） 【答案】（或） 【解析】 【详解】当时，， 等式左侧的系数为， 等式右侧的系数为， （或）. 14. 已知函数（为自然对数的底数）在恰好有两个不同的零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】令，整理转化为，令，求导，判断函数的单调性，得到，分离参数，令，求导，判断函数的性质，根据函数在恰好有两个不同的零点求出的取值范围. 【详解】由得，即， 即，令，则. 则，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 且当时，；当时，， 所以当时，， 令， ，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 因为函数在恰好有两个不同的零点， 所以与在恰好有两个不同的交点， 所以，故实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，且． （1）求的最小值； （2）若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式直接求解即可； （2）结合“”的妙用，将恒成立，转化为，进而求出结果即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以，则，， 当且仅当，即，时等号成立. 【小问2详解】 由得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. 由恒成立，则得， 解得，所以实数的取值范围为. 16. 某农业科研课题组探究土壤有机物含量对某蔬菜单株产量的影响，收集到了5组观测数据： 1 4 6.25 9 16 5.5 4 4 3.5 3 （1）通过散点图分析，选用模型拟合与的相关关系，请利用最小二乘法求和； （2）为进一步探究与之间的关联性，课题组扩大了样本量，整理得到下面列联表． 产量 有机质 合计 达标 不达标 高产 18 低产 23 合计 30 30 60 （i）补全上述列联表； （ii）依据小概率值的独立性检验，能否认为土壤有机质达标与该蔬菜高产有关联？ 附1：对于一组数据，，⋯，，其经验回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别是，，，，． 附2：，其中． 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）， （2）（i） 产量 有机质 合计 达标 不达标 高产 18 7 25 低产 12 23 35 合计 30 30 60 （ii）依据小概率值的独立性检验，认为土壤有机质达标与该蔬菜高产没有关联． 【解析】 【分析】（1） 换元将非线性模型转为线性回归，求出两组均值后代入最小二乘公式依次计算斜率与截距； （2）（i）根据表格各行各列合计总数，通过减法运算补全列联表空缺数据； （ii）设定无关联的零假设，将表中数据代入卡方公式算出统计量，对比对应的临界值，判断是否推翻零假设． 【小问1详解】 令，则， 所以，， 故 ， ； 【小问2详解】 （i） 产量 有机质 合计 达标 不达标 高产 18 7 25 低产 12 23 35 合计 30 30 60 （ii）零假设：土壤有机质达标与该蔬菜高产没有关联， 根据列联表中的数据，经计算得到， 因为，所以零假设成立， 即依据小概率值的独立性检验，认为土壤有机质达标与该蔬菜高产没有关联． 17. 某生物实验室做真菌培育试验，每次试验投放6个真菌，假设每个真菌存活率均为． （1）记单次试验中恰好存活3个真菌的概率为，若当时，取得最大值，求的值； （2）以（1）中的作为的值，连续独立做5次培育试验，记这5次培育试验中菌种存活数大于等于4的试验次数为，求的期望和方差． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由独立重复试验概率公式求得，然后利用导数求得最大值； （2）确定，再由二项分布的均值和方差公式计算. 【小问1详解】 ， ， 时，，时，， 所以在单调递增，在单调递减， 故当时，取得最大值，所以； 【小问2详解】 当时，设单次培育试验中菌种存活数大于等于4的概率为q， 则． 由题意知， 所以，． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在上单调递增（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数直接求解函数在一点处的切线方程即可； （2）将函数在上单调递增，转化为在上恒成立，通过构造函数，利用导数分类讨论求解函数最值，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，，， 则，， 由得， 故曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 由题知，， 由题意知在上恒成立． 令，则在上恒成立， 且， 当时，，， 所以在上单调递增， 所以， 由得，故，满足题意. 当时，，， 所以在上单调递增， 所以， 由得或，故或满足题意． 当时，因为时，，且， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由得， 故满足题意． 当时，因为时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又得，故， 所以要使在上恒成立，只需要， 由得， 故满足题意． 综上所述，实数的取值范围为. 19. 已知集合共有个元素． （1）当时，求集合的子集中不含有3的子集个数； （2）当时，从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个，记为所取的非空子集的元素最大值，求的分布列和数学期望； （3）从集合中随机取一个数记为，再从，，，⋯，中随机取一数记为，求的数学期望． 【答案】（1）32 （2）的分布列为： 1 2 3 4 5 6 （3） 【解析】 【分析】（1）根据集合里元素的个数确定集合子集的个数. （2）列出的所有可能取值，求出对应的概率，可得的分布列，再根据期望的定义求. （3）先根据条件概率求的通项，再列式，利用分组求和法求. 【小问1详解】 集合的子集共有个． 当时，， 集合A的不含有3的子集个数等于集合的子集个数，而集合的子集共有个， 故集合A的子集中不含有3的子集有32个． 【小问2详解】 当时，集合A的所有非空子集共有个， X可取1，2，3，4，5，6． ，，， ，， 故X的分布列为 1 2 3 4 5 6 所以数学期望. 【小问3详解】 由题意知当时，Y需要从这k个整数中取， 不妨设， 此时， 从而，而， 所以． 故 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 二项式展开式的中间一项的二项式系数为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与曲线（为自然对数的底数）相切于点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量满足，若，则随机变量的数学期望为（ ） A. 96 B. 100 C. 104 D. 116 6. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知对线性数据的相关系数，其中向量，，且，．研究表明，人的脂肪含量与年龄（岁）呈线性相关关系．现收集了14个人的年龄和脂肪含量的数据，其中和分别表示第个人的年龄和脂肪含量，则这14对数据的相关系数（ ） （参考数据：已知，，，，．） A. 0.92 B. 0.94 C. 0.95 D. 0.96 8. 将各位数字之和等于10的四位数称为“好数”，比如2026，则四位数中“好数”个数为（ ） A. 219 B. 220 C. 285 D. 286 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数是定义在上的奇函数，函数是定义在上的偶函数，且在单调递减，在单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 10. 已知复数，其共轭复数分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则（为虚数单位） D. 若，其中，则 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 可能为偶函数 B. 曲线不可能有对称轴 C. 当时，函数有极值 D. 当时，若为函数的极大值点，则在单调递增 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 命题“，”的否定是________． 13. “算两次原理”（又称富比尼原理）是一种重要的数学思想方法，核心是：对同一个量，从两个不同角度或采用两种不同方法分别计算一次，根据结果相同建立等量关系，从而解决问题．请你结合二项式定理，利用等式，计算 ________．（结果用组合数表示） 14. 已知函数（为自然对数的底数）在恰好有两个不同的零点，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，且． （1）求的最小值； （2）若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 16. 某农业科研课题组探究土壤有机物含量对某蔬菜单株产量的影响，收集到了5组观测数据： 1 4 6.25 9 16 5.5 4 4 3.5 3 （1）通过散点图分析，选用模型拟合与的相关关系，请利用最小二乘法求和； （2）为进一步探究与之间的关联性，课题组扩大了样本量，整理得到下面列联表． 产量 有机质 合计 达标 不达标 高产 18 低产 23 合计 30 30 60 （i）补全上述列联表； （ii）依据小概率值的独立性检验，能否认为土壤有机质达标与该蔬菜高产有关联？ 附1：对于一组数据，，⋯，，其经验回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别是，，，，． 附2：，其中． 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 17. 某生物实验室做真菌培育试验，每次试验投放6个真菌，假设每个真菌存活率均为． （1）记单次试验中恰好存活3个真菌的概率为，若当时，取得最大值，求的值； （2）以（1）中的作为的值，连续独立做5次培育试验，记这5次培育试验中菌种存活数大于等于4的试验次数为，求的期望和方差． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在上单调递增（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 19. 已知集合共有个元素． （1）当时，求集合的子集中不含有3的子集个数； （2）当时，从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个，记为所取的非空子集的元素最大值，求的分布列和数学期望； （3）从集合中随机取一个数记为，再从，，，⋯，中随机取一数记为，求的数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $