精品解析：河北省承德市2024-2025学年高二下学期期末调研数学试题

承德市2024－2025学年高二下学期期末调研试题 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数四则运算求解即可. 【详解】. 故选：C. 2. 已知随机变量服从分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，结合题目条件得到方程，求出答案. 【详解】且，解得. 故选：D 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 280 B. 35 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由二项式定理求解即可. 【详解】的展开式中的系数为. 故选：D. 4. 一个不透明的箱子中装有9本书，其中有《三国演义》3本，《西游记》6本，每次从该箱子中任取1本书，记录下书名后放回，共取4次，记取出《三国演义》的次数为，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由题设易知，再应用二项分布的期望公式求期望. 【详解】由题设，每次抽取到《三国演义》的概率为，则，所以. 故选：C 5. 某班选派6名同学到学校的这3个活动场地做志愿者工作，每个场地至少去1名同学，每名同学只能去1个场地，且3个场地去的同学人数互不相同，则不同的选派方法种数为（ ） A. 90 B. 360 C. 450 D. 990 【答案】B 【解析】 【分析】先分三组，再进行全排列即可求解. 【详解】先分组有种方式，然后对这三组进行全排列有种方式， 由分步乘法计数原理可知，所求为. 故选：B. 6. 若函数在处有极值4，且的所有极值点的符号相同，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知函数在处有极值4，得出且，建立方程组求解a和b的关系；根据的所有极值点的符号相同，即分析导数的极值点符号相同，通过二次方程根与系数的关系判断a的取值范围，联立筛选出符合条件的a值. 【详解】求导得：， 函数在处有极值4， 且，即 ， 解得：或. 因为的所有极值点的符号相同，代入得： ，根据韦达定理，根的积： 或，此时需满足根的和. 当时：满足，根的积为，根的和为，满足两根均为正，符合条件， 当时：根的积为，两根符号相反，不符合条件， 所以，唯一符合条件的解为. 故选：A. 7. 为推动中小学人工智能通识教育的普及与发展，某大学计划招收一批10～15岁的青少年参加暑期夏令营，共有20000名学生参加选拔测试，其测试成绩（满分120分），成绩为100分及以上者可以参加夏令营．已知参加选拔测试的学生中80分及以上的人数为3173，则估计参加夏令营的人数约为（ ） 附：，，． A. 18 B. 27 C. 34 D. 55 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，根据正态分布对称性可得，据此估计出，然后利用对称性估计参加夏令营的人数即可. 【详解】， 则，， ， 则参加夏令营的人数约为人. 故选：B. 8. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知，对变量进行分情况讨论，把恒成立问题转化为函数最值性问题，利用导数处理函数最值即可解得的取值范围. 【详解】，， ①时，成立，； ②时，，令，， 所以在单调递减，在单调递减，在单调递增， 所以时，，则， 又在单调递增，所以得解为； ③时，，又在单调递减，此时， 所以； 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】AB选项，利用排列和组合的性质得到BC正确；C选项，可举出反例；D选项，利用组合数公式得到. 【详解】A选项，由组合数性质得，A正确； B选项，由组合数计算公式得，B正确； C选项，不妨设，则， 显然，C错误； D选项，，D正确 故选：ABD 10. 某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B. 顾客最终获得6张优惠券的概率是 C. 第二次抽到红球的概率是 D. 若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 【答案】AD 【解析】 【分析】在第一次抽到黄球条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄色的球为1个，利用古典概率可对A判断；顾客最终获得6张优惠券顾客需要抽到2个绿球，从而可对B判断；利用全概率公式可对C判断求解；结合C项利用贝叶斯公式即可对D判断求解. 【详解】A：在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄色的球为1个，所以抽到黄球的概率为，故A正确； B：顾客最终获得6张优惠券顾客需要抽到2个绿球，则第一次抽到绿球的概率为，第二次在绿盒中抽到绿球的概率为，所以顾客最终获得6张优惠券的概率为，故B错误； C：设第一次从红盒中抽到红球为事件，第一次从红盒中抽到黄球为事件，第一次从红盒中抽到绿球为事件， 第二次从红盒抽到红球为事件，第二次从黄盒抽到红球为事件，第二次从绿盒抽到红球为事件，设第二次抽到红球为事件， 则，，，，，， 所以，故C错误； D：第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为奇函数得，赋值即可判断A；由为偶函数得，结合可得，求导可得即可判断B；由得，求导可得，继而得到的周期性，即可判断CD. 【详解】因为为奇函数， 所以， 则，即，故A正确； ，即 又为偶函数，所以， 两边求导，即，故B错误； 又，即，则， 即，， 又，所以，即，故C正确； 由，，所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于0，且虚部小于0，解不等式求解. 【详解】在复平面内对应的点位于第四象限， 故答案为： 13. 有6张卡片，分别标有数字．现从这6张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和比剩余的3张卡片上的数字之和小3的概率为______． 【答案】##0.15 【解析】 【分析】利用古典概型求法，结合列举即可得到概率. 【详解】由， 因为抽出的3张卡片上的数字之和比剩余的3张卡片上的数字之和小3， 所以抽出的3张卡片上的数字之和应该为， 由得， 抽出的3张卡片上的数字之和比剩余的3张卡片上的数字之和小3的概率为， 故答案为：. 14. 已知且，若，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】构造函数，对原方程变形得出函数与m的关系，利用函数的单调性和奇偶性，得出变量和间的关系，即，从而计算求解. 【详解】设函数，则变形为：. 对于方程，化简，两边乘2得： ，变形为： 函数关于原点对称，且，故是奇函数. 求导：，关于原点对称， 为偶函数，开口向上为最小值，，即在上严格单调递增. 又在上严格单调递增，故自变量相等：，即. 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. DeepSeek是一种基于人工智能的大型语言模型，它是人们学习、工作与生活的得力助手，但也有部分人认为DeepSeek将在未来取代一部分人的工作．现对300家企业开展调查，统计DeepSeek的应用程度与一年内招聘人数是增加还是减少，得到统计数据如下表所示． DeepSeek的应用程度 招聘人数减少的企业数 招聘人数增加的企业数 合计 广泛应用 90 70 m 未广泛应用 80 140 合计 150 150 300 （1）求； （2）记广泛应用DeepSeek的企业招聘人数减少的概率为，求的估计值； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度有关？ 附：． 0.1 0.05 001 2.706 3.841 6.635 【答案】（1），； （2）； （3）认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度无关，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据列联表数据计算出，； （2）用频率估计概率，估计； （3）零假设，计算出卡方，与6.635比较后得到结论. 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 根据统计数据，广泛应用DeepSeek的企业有160家，其中招聘人数减少的有90家， 因此用频率估计概率，估计． 【小问3详解】 零假设：企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度无关． 因为， 所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度无关． 16. 作为低空经济的主导产业，我国无人机产业近年来呈现出高速发展的态势．某无人机生产厂家的某批次的20件产品中含有件次品，从中一次性随机抽取10件，设这10件产品中的次品数为． （1）若，求的概率； （2）当为何值时，的概率最大？ 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布概率公式求解即可； （2）由题意先把的表达式写出来，利用函数以及不等式分析求解即可. 【小问1详解】 记“抽取的产品中次品数不超过1”为事件， 则 ， 即的概率为． 【小问2详解】 由题可知， 设， 则． 令， 得， 解得． 故当时，， 当时，， 又，故当时，取得最大值． 所以当时，的概率最大． 17. 已知函数． （1）求的极值； （2）若对任意的，都有，求的最大整数值． 参考数据：，． 【答案】（1）极小值为，无极大值． （2）4 【解析】 【分析】（1）对求导得，令，得，再利用极值的定义，即可求解； （2）构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而求出最小值，再结合题设条件，即可求解. 【小问1详解】 由题可知的定义域为，， 令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值． 【小问2详解】 令，则， 由（1）知在上单调递增， 且，， 则在内存在唯一的，使得，即． 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则， 于是， 所以的最大整数值为． 18. 2025年4月，中国新能源汽车零售渗透率突破，进入“以电为主”的新阶段，充电桩的使用率也成为关注焦点．经调查，某市今年月份的充电桩日均使用时长（时）与新能源汽车保有量（万辆）及充电桩日均使用率（，为常数）的数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 新能源汽车保有量（万辆） 8 13 15 18 23 25 充电桩日均使用时长（时） 5 7 10 12 15 17 充电桩日均使用率 0.15 0.21 0.3 0.36 0.45 0.51 （1）若用充电桩日均使用率近似估计一个充电桩一天内被使用的概率，设该市某个充电桩在3月份的某3天中被使用的天数为，求的分布列； （2）求关于的样本相关系数，并说明线性相关程度的强弱；（精确到0.01） （3）若关于的经验回归方程为，求的值（精确到0.1），并预测当该市某月的新能源汽车保有量为36万辆时，充电桩的日均使用率为多少． 参考数据：，． 参考公式：相关系数． 【答案】（1）分布列见解析 （2）0.99，与的线性相关程度较强． （3），0.72． 【解析】 【分析】（1）由题可知充电桩在3月份使用的概率为0.3，故，根据二项分布写出分布列即可； （2）根据题意先求，利用相关系数公式，代入数据求值与1比较即可； （3）由过回归方程可求，根据回归方程进行预测即可. 【小问1详解】 由题可知的所有可能取值为，且， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 【小问2详解】由题可知，， 则， 因为接近于1，所以与的线性相关程度较强． 【小问3详解】 由题可知， 解得， 所以关于经验回归方程为． 将代入经验回归方程，得， 又因为，所以当时，， 故预测当该市某月的新能源汽车保有量为36万辆时，充电桩的日均使用率为0.72． 19. 已知函数，． （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若，且不等式对任意恒成立，证明：． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对已知函数求导得到，求出函数在处的导数值即为切线斜率，再根据点在切线上，得到切线方程；（2）求导得到，令得到，根据导函数的定义域结合符号讨论，得出的单调区间；（3）把已知函数代入不等式，根据的函数性质可知函数在单调递增，由得出关于m的不等式，利用函数性质和导数判断函数的单调性，得到，由解不等式，最终证明结论. 【小问1详解】 由题可知，则， 又，所以的图象在点处的切线方程为． 【小问2详解】 由题可知，令，可得， 当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问3详解】 由题可知不等式即． 因为在上单调递增， ，， 所以，使得． 当时，，即． 设，则在上，， 所以上单调递减， 所以当时，． 当时，，即． 设，， 则． 令，，则． 令，， 则，得在上单调递增， 所以， 得在上单调递增，所以， 则，在上单调递增， 则． 由题可知，解得． 又，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 承德市2024－2025学年高二下学期期末调研试题 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从分布，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数为（ ） A 280 B. 35 C. D. 4. 一个不透明的箱子中装有9本书，其中有《三国演义》3本，《西游记》6本，每次从该箱子中任取1本书，记录下书名后放回，共取4次，记取出《三国演义》的次数为，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 5. 某班选派6名同学到学校的这3个活动场地做志愿者工作，每个场地至少去1名同学，每名同学只能去1个场地，且3个场地去的同学人数互不相同，则不同的选派方法种数为（ ） A. 90 B. 360 C. 450 D. 990 6. 若函数在处有极值4，且的所有极值点的符号相同，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. D. 7. 为推动中小学人工智能通识教育的普及与发展，某大学计划招收一批10～15岁的青少年参加暑期夏令营，共有20000名学生参加选拔测试，其测试成绩（满分120分），成绩为100分及以上者可以参加夏令营．已知参加选拔测试的学生中80分及以上的人数为3173，则估计参加夏令营的人数约为（ ） 附：，，． A. 18 B. 27 C. 34 D. 55 8. 若不等式对任意恒成立，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B. 顾客最终获得6张优惠券的概率是 C. 第二次抽到红球的概率是 D. 若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是______． 13. 有6张卡片，分别标有数字．现从这6张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和比剩余的3张卡片上的数字之和小3的概率为______． 14. 已知且，若，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. DeepSeek是一种基于人工智能的大型语言模型，它是人们学习、工作与生活的得力助手，但也有部分人认为DeepSeek将在未来取代一部分人的工作．现对300家企业开展调查，统计DeepSeek的应用程度与一年内招聘人数是增加还是减少，得到统计数据如下表所示． DeepSeek的应用程度 招聘人数减少的企业数 招聘人数增加的企业数 合计 广泛应用 90 70 m 未广泛应用 80 140 合计 150 150 300 （1）求； （2）记广泛应用DeepSeek企业招聘人数减少的概率为，求的估计值； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 作为低空经济的主导产业，我国无人机产业近年来呈现出高速发展的态势．某无人机生产厂家的某批次的20件产品中含有件次品，从中一次性随机抽取10件，设这10件产品中的次品数为． （1）若，求的概率； （2）当为何值时，概率最大？ 17. 已知函数． （1）求的极值； （2）若对任意的，都有，求的最大整数值． 参考数据：，． 18. 2025年4月，中国新能源汽车零售渗透率突破，进入“以电为主”的新阶段，充电桩的使用率也成为关注焦点．经调查，某市今年月份的充电桩日均使用时长（时）与新能源汽车保有量（万辆）及充电桩日均使用率（，为常数）的数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 新能源汽车保有量（万辆） 8 13 15 18 23 25 充电桩日均使用时长（时） 5 7 10 12 15 17 充电桩日均使用率 0.15 0.21 0.3 0.36 0.45 0.51 （1）若用充电桩日均使用率近似估计一个充电桩一天内被使用的概率，设该市某个充电桩在3月份的某3天中被使用的天数为，求的分布列； （2）求关于样本相关系数，并说明线性相关程度的强弱；（精确到0.01） （3）若关于的经验回归方程为，求的值（精确到0.1），并预测当该市某月的新能源汽车保有量为36万辆时，充电桩的日均使用率为多少． 参考数据：，． 参考公式：相关系数． 19. 已知函数，． （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若，且不等式对任意恒成立，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$