8.4 用因式分解法解一元二次方程-【练测考】2025-2026学年八年级下册数学（鲁教版五四制）

练测考八年级数学下册LJ 4用因式分解法解一元二次方程 (教材P68一P70内容) ~基础夯实 8.用适当的方法解下列方程： 知识点一用因式分解法解一元二次方程 (1)(x-3)2-4=0; 1.一元二次方程x2=2x的解为 ( A.x=-2 B.x=2 C.x=0或x=-2 D.x=0或x=2 2.(2024·聊城东昌府区期末)方程x(x十 1)=x的解是 () (2)[教材P69例(1)变式]5x2=2x: A.x=-1 B.x=1 C.x=0 D.x=1或x=0 3.一元二次方程x2=2024x的解是 4.若x,y是互不相等的两个实数，且x2一 (3)x2-3x+1=0; y2-3(x-y)=0,则x十y的值等于 5.用因式分解法解下列方程： (1)4x2-121=0; (4)2(t-1)2+t=1. (2)x(x-1)=2(1-x). 易错点悟在方程两边同时除以含有未知数 的式子，导致失根 9.解方程：(x+2)(x-3)=x十2. 解：将方程两边约去(x十2)，得x一3=1.① 所以x=4.② 以上解答错在第 步，正确的答案是 知识点二：选择合适的方法解一元二次方程 能力提升 6.解方程4(3x+2)2=3x十2，较恰当的解法是 10.当2≤x≤5时，一次函数y=(m+1)x+ ( m2+1有最大值6，则实数m的值为() A.直接开方法 B.因式分解法 A.-3或0 B.0或1 C.配方法 D.公式法 C.-5或-3 D.-5或1 7.下列一元二次方程最适合用因式分解法来 11.已知菱形ABCD的两条对角线长是方程 解的是 ( x2一7x十12=0的两个根，则菱形ABCD A.(x-2)(x+5)=1B.3(x-2)2=x2-4 的面积为 () C.x2-3x+1=0 D.9(x-1)2=5 A.6 B.7.5 C.10 D.12.5 64 故园风光雨中新（打一数学家名）—陈景润 第八章一元二次方程 12.[新定义]规定：在实数范围内定义一种运 ☑素养培优 算“◎”，其规则为a©b=a(a十b),方程 16.由多项式乘法：(x+a)(x+b)=x2+(a十 (x一2)◎7=0的根为 b)x+ab,将该式从右到左使用，即可得到 13.已知方程2x2+bx十c=0的两根为2和一2， “十字相乘法”进行因式分解的公式：x2十 分解因式2x2+bx+c= (a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 14.用适当的方法解下列方程： 示例： (1)(x-1)(x+3)=12; 因式分解：x2+5x+6=x2+(2+3)x+ 2X3=（x+2)(x+3). 尝试： (1)因式分解：x2+6x+8=(x+ ）· (x+ 应用： (2)(2x+3)2=(3x十2)2： (2)请用上述方法解方程：x2一3x一4=0. (3)3(x-2)2=x2-4. 15.[运算能力]已知关于y的一元二次方程 (m+1)y2一3my一9=0的根都是整数，且 m满足等式√(1-m)=(√/1一m)2,求满 足条件的所有整数m的和， 两牛打架（打一数学名词）一对顶角 653 x=1王Y5,.x3=2x4=-1. 2×2 小方程ax2+x十c=0的根为1=1+3 ,x2= 2 上或=号=1 3 2 12.解：3x2-5x十1=0的根为x=5±3 6 即-5+13 5-V13 6x2=6 3x2-5x+1=3(x-5+3)(x-53) 6 第2课时一元二次方程根的判别式 1.A2.D 3.2解析：，一次函数y=kx十b(k≠0)(k,b为常数)的图 象经过第一、二、四象限， k<0,b>0, .kb0, ∴.△=(-2)2-4kb=4一4kb>0, ∴.方程bx2一2x十k=0有两个不相等的实数根 4.D5.B6.47.D8.C 1 9A解析：画数y=x一2hx十C的自变量x的取值范因 是一切实数， 分母一定不等于0， .x2-2bx十c2=0无解， 即△=4b2-4c2=4(b+c)(b-c)<0, 解得c<b-c或一c<b<c, .当0bc时，一定满足要求.故选A 10.C 11.1(答案不唯一)解析：：方程☐x2-4x十2=0有两个不 相等的实数根，.△=b2-4ac=(-4)2-8X☐>0，且 ☐≠0，解得☐2，且☐≠0.故添加的数字可以是1. 12.7 13.解：(1)，x1,x2是关于x的方程x2一2kx十k2一k十1=0 的两个不相等的实数根， ∴.△>0， 即△=(-2k)2一4×1×(k2一k十1)=4k2一4k2+4k- 4=4k一4>0， 解得k>1. (2).k<5,由(1)，得k>1,∴.1k<5, ∴.整数k的值有2,3,4. 当k=2时，方程为x2一4x十3=0， 解得x1=1,x2=3(都是整数，此情况符合题意)； 当k=3时，方程为x2一6x+7=0, 解得x=3士√2（不是整数，此情况不符合题意）； 当k=4时，方程为x2一8x十13=0， 解得x=4士√3（不是整数，此情况不符合题意）. 综上所述，k的值为2. 14.解：当腰长为4时， 把x=4代入x2-(m十3)x十3m=0, 得16-4m-12+3m=0,解得m=4. 当m=4时，方程为x2-7x十12=0，解得x1=4,x2=3, 此时三边长为4,4,3，能构成等腰三角形. 2 .m=4成立. 当底长为4时， 则方程x2一(m十3)x+3m=0有两个相等的实数根， ∴.△=0，即(m-3)2=0,∴.m=3. 当m=3时，方程为x2一6.x十9=0，解得x1=x2=3. 此时三边长为3,3,4，能构成等腰三角形 ∴.m=3成立. 综上所述，m的值为4或3. 15.解：(1)“快乐方程”x2一2x一3=0的“快乐数为F(1, -2,-3)=4X1×(-3)-(-2)2 -4. 4×1 答案：一4 (2)一元二次方程x2-(2m-1)x十m2-21-3=0, ∴.△=b2-4ac=4m+13. .1<m<6,.17<4m+13<37 又方程x2一(2m一1)x十m2-2m一3=0是“快乐方程”， 且m为整数. ∴4m+13=25或36∴m=3或m=孕（含去）. ∴.方程为x2一5x=0, 则F(1,-5,0)=4X1X0-（-52=-25 4×1 故其“快乐数”数是一25 4 (3),关于x的一元二次方程x2-m.x十m十1=0， .△=(-m)2-4(m+1)=(1-2)2-8. 设△=a2,则(m-2+a)(m-2-a)=8. 又m一2十a与m-2-a同奇偶， jm-2+a=4, m-2+a=2, 或 或m-2+a=-4, 或 m-2-a=2 m-2-a=4 m-2-a=-2 1m-2十a=一2解得m=5或-1， m-2-a=-4, .方程为x2-5.x十6=0或x2+x=0: ,关于x的一元二次方程x2-(n十2)x+2m=0, ∴.4=(n-2)2, ∴.“快乐数”为F(1,一n一2,2)= 4×1×21-(-1-2)2__(n-2)2 4×1 4 当m=5时，x2-m.x十m十1=0的“快乐数”为F(1,-5, 6)=4X1×6-(-5)2 4×1 、1 4 ,两方程的“快乐数”互为“开心数”， -×-6x _(n-2)27 4 =0,解得n=3或号 当m=一1时，x2一mx+m十1=0的“快乐数”为F(1,1, 0)=4X1×0-12 1 4×1 4 :两方程的“快乐数”互为“开心数”， 1 「_(n-2)27 4 ×2m-0X =0,解得n=0, 4 综上，m的值为0或3或号 4用因式分解法解一元二次方程 1.D 2.C解析：.x(x十1)=x, .x(x十1)-x=0, ∴.x(x+1-1)=0, ∴.x2=0,解得x=0.故选C. 3.x1=0,x2=20244.3 5.解：(1)(2x)2-112=0. (2x+11)(2x-11)=0, .2x+11=0或2x-11=0. ,=-1=11 -2x2=2 (2)x(x-1)+2(x-1)=0. (x-1)(x+2)=0, ∴.x-1=0或x+2=0, ∴x1=1,x2=-2. 6.B7.B 8.解：(1)(x-3)2=4. .x-3=2或x-3=-2, .x1=5,x2=1. (2)5.x2-2x=0. x(5.x-2)=0, ..x=0或5x一2=0， 2 x1=0,x2= (3)x2-3x十1=0中a=1,b=-3,c=1, ∴.△=b2-4ac=5, 3535 x1=2+2x=2-2 (4)2(t-1)2+t-1=0, (t-1)[2(t-1)+1]=0, t-1=0或2(t-1)十1=0中t1=1,t2=2: 9.①x1=-2,x2=4 10.A解析：当m十1>0即m>一1时，一次函数y随x的 增大而增大， .当x=5时，y=6, 2即5(m+1)+m2+1=6, 整理，得m2十5m=0, 解得m=0或m=一5（舍去）： 当m十1<0即m一1时，一次函数y随x的增大而 减小， .当x=2时，y=6, 即2(m+1)十m2+1=6, 整理，得m2+2m-3=0, 解得m=一3或m=1(舍去)， 综上，m=0或m=-3. 故选A. 11.A 12.x1=2,x2=一5解析：由题意，得(x一2)(x一2十7)=0， 即(x-2)(.x十5)=0，则x-2=0或x+5=0,解得x1= 2,x2=-5. 13.2(x+2)(x-2) 14.解：(1)x2+2x-15=0. (x十5)(x-3)=0, .x十5=0或x一3=0， .x1=一5，x2=3. (2)2x十3=3x十2或2x十3=-3x-2, .x1=1,x2=-1. (3)3(x-2)2-(x+2)(x-2)=0. (x-2)[3(x-2)-(x十2)]=0， ∴.x-2=0或3(x-2)-(x+2)=0, x1=2,x2=4. 15.解：m满足等式√(1-m)=(√1-m)2, .1-m≥0，解得m≤1. .(m+1)y2-3my-9=0,..(y-3)[(m+1)y+3]=0, 3 解得y1=3,y2=一m十1 ,关于y的一元二次方程(m十1)y2一3my-9=0的根都 是整数，且m≤1，…m=0,一2，一4，.满足条件的所有整 数m的和是0一2一4=一6. 16.解：(1)x2十6x十8=x2+(2+4)x十2×4=(x十2)(x十4). 答案：24 (2)x2-3x-4=0, ∴.(x+1)(x-4)=0, .x十1=0或x-4=0, ∴.x1=-1,x2=4. 微专题六一元二次方程的解法 1.解：(1)由题意，得x2=9, x1=3,x2=-3. (2)由题意，得(3x-1)2=4, .3x-1=士2， =1e=- 2.解：(1)由题意，得2x2十4x=4, .x2+2x=2, ∴.(x+1)2=2+1, x+1=土3， x1=-1十3，x2=-1-3. (2由题意，得-2x=号 -1》-号+1. -1=土⑤ 3 1计④，1 3 3解：(1)由题意，得3.x2-4x-1=0, ∴.a=3,b=-4,c=-1, ∴.△=b2-4ac=28, x=-b±6-4ac=2±7 2a 3 x1= 2+72-7 2= 3 3 (2)由题意，得x2+6.x十2=0. ∴.a=1,b=6,c=2, .△=b2-4ac=28, x= -6士√/28 2 x1=-3+√7，x2=-3-√7. (3)由题意，得x2-9x十2=0， ∴.a=1,b=-9,c=2, .∴.△=b2-4ac=73, 6