4.2　简单的三角恒等变换（9大题型）讲义-2027年新高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角恒等变换核心考点，涵盖两角和差、二倍角、辅助角等公式及降幂升幂等变换技巧，按“基础公式—方法总结—题型分类”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题回顾、题型训练四环节，帮助学生构建变换思维框架，突破公式应用难点。 讲义创新采用“公式推导—技巧提炼—真题验证”教学模式，如通过“1的代换”“两角互余互补”等方法培养数学思维，设计9类分层题型适配不同难度需求，结合近5年高考真题强化实战应用，助力学生高效掌握变换规律，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支撑。

4.2简单的三角恒等变换 目录 01思维导图与题型归纳， .2 02基础知识点梳理. 3 知识点一、两角和与差公式… 3 知识点二、二倍角公式… 3 知识点三、降幂公式. .3 知识点四、升幂公式 .3 知识点五、辅助角公式 .3 知识点六、和差化积公式. 方法总结1：化简小技巧！ 方法总结2：两角互组，两角互补，两角互余 03真题回顾. .6 04经典题型归纳总结. .6 题型一：和差角三角公式 ..11 题型二：和差公式逆向运用 13 题型三：辅助角公式多场景应用 15 题型四：由值求值问题！ ..18 题型五：由角求值问题 .20 题型六：由值求角问题 .22 题型七：正切恒等式综合运用， .25 题型八：三角式化简. 28 题型九：三角恒等变换综合题型 ..28 05课后拓展精练.… 39 1/49 01 思维导图与题型归纳 CCC®CD■CB ①sin(a±p)=sinacosβ±cosasinB; 两角和与差的正余弦与正切 ②cos(a±β)=cosacosβ千sinasinB; tana±fanβ ③fan(ap)F1千tanatan (①sim2a=2 sinacosa; 二倍角公式 2cos2a=cos'a-sin'a=2cosa-1=1-2sin'a: ③an2a=2iama 1-tam'ai sinacosu-sin2a; 简单的三角 降次（幂）公式 sina=1-cos2u 2 恒等变换 cosa=1+cos2a 2 1-cosa 半角公式 1+cosa oma-1w sina asina+bcosa=a+b'sin(a+) 辅助角公式 (其中sin中=- o6am中-台 b 题型一：和差角三角公式 题型九：三角恒等变换综合题型 题型二：和差公式逆向运用 题型八：三角式化简 题型归纳 题型三：辅助角公式多场景应用 题型七：正切恒等式综合运用 题型四：由值求值问题 题型六：由值求角问题 题型五：由角求值问题 2/49 02 基础知识点梳理 知识点一、两角和与差公式 ①cos(a-B)=cosa cosB+sinasinB；③sin(a-B)=-sinacosB-cosasinB, ②cos(a+B)=cosa cosB-sinasinB；④sin(a+B)=sina cosB+cosasinB； tana+tan B tan(a+B)= ⑤ I--tan a tan B,变形公式：tana+tanB=tan(a+Pl-tana tan B): tan a-tan B tan(a-B)= ⑥ 1+tan a tan B ;变形公式：tana-tanB=tan(a-B)l+tan a tanB) 知识点二、二倍角公式 ①sin2a=2 sina cosa: 2 cos2a=cos2 a-sin2a =2cos2a-1=1-2sin2a 2tan a tan 2a ③ 1-tan a 知识点三、降幂公式 in'a=1-cos2a ① 2 1+cos2a cos'a= ② 1 insin2a ③ 知识点四、升幂公式 ①l-cos2a=2sin2a, ②1+cos2a=2cos2a: 31+sin 2a=(sina+cosa)2 41-sin 2a=(sina-cosa)2 3/49 知识点五、辅助角公式 asinx+bcosx=va2+b2 sin(x+o) ang=b sin= b a cOS=- ①其中辅助角”是由方程 a a2+b2 a2+b. 决定 ②正弦在前，余弦在后（确保系数a,b不会弄反） ③利用系数算出所填角度的正切，正弦（余弦），决定所填角度的确切象限. ④保证A>0,o>0. 知识点六、和差化积公式 1、积化和公式 sina-cosB=-[sin(a+B)+sin(a-B)] ① cosa .cos B=-[cos(a+B)+cos(a-B)] ② asin B=cos(a-B)-cos(a+ ③ 2、和化积公式 -COS- ① sina+sin B=2sin aBcosa-B 2 2 sina-sin B=2cosBsina-B ② 2 2 cosa+cosB=2cos a-B -coS- ③ 2 2 cosa-cosB=-2sin aBsin a-B -sin ④ 2 2 方法总结1：化简小技巧 1=tan sin2 a+cos2 a ①1的代换： 4 tan+tanx cosx+sinx 1+tanx 4 -=tan(-+x) cosx-sinx 1-tanx 1-tan tanx 4 ② 4/49 方法总结2：两角互组，两角互补，两角互余 ①两角互组：C+B=2π sina=-sin B cosa =cos B tan a =-tan B ②两角互补：“+B=π sina=sinβ cosa=-cos B tan a =-tan B a+B= ③两角互余： 2 sina=cos B cosa=sin B 1 tan a = tan B 5/49 03 真题回顾 ■。面■■ 1+sina L.(2026全国二卷高考真题)己知a为第二象限角，3sin2 acosa=8 sinacos2a, 则2-cosa (） A R C. 5 D.12 【答案】C 【解析】由3sin2 cosa=8 sincos2a,得：6 sinos'a=8sina(cos2a-sin'a) 因为a是第二象限角，所以sina>0,cosa<0, 化筒得：3sa42sa-）.即easa号 由于cosa<0解得：c0sa=25 , 因为ina>0所以sina=V-os'a=5 ， 1+sina 51 所以2-cosa 252 2+1 2.(2025全国二卷高考真题)已知0<a<π’ v② B. 2 C 3V2 D.72 10 5 10 10 【答案】D 【解析】cosa=2c0s2g-1=2× 2 因为 <a<π 则<a<,则sa=i-ora-,-(- π 则sina- =sin a cos-cosa sin 4 4 故选：D 3.(2024新课标I卷高考真题)已知cos(a+B)=m,tan a tan B=2,则cos(a-B)=() 6/49 A.-3m c号 D.3m 【答案】A 【解析】因为cos(a+B)=m,所以cosa cosB--sinasinB=m, 而tan a tan B=2,所以sinasinB=2 cosacosB, 故cosa cosB-2 cosa cosB=m即cosccosB=-m, 从而sinasin B=-2m,故cos(a-B)=-3m, 故选：A 4.(2024全国甲卷高考真题)己知 cosa-sina A.23+1 B.2-1 c. D.1-3 【答案】B cos=5， 【解析】因为cosa-sina 1 所以1-tan =V5,→tama=l- 3 所以tana+交 tana+1 =23-1. 4 1-tan o 故选：B 5(2023新课标1卷高考真题)已知im(a-)-写cos=名，则cos2a+2)=（) 1 3 1 7 A.9 B.9 D.- 9 【答案】B 【解析】因为sin(a-B)=sin a cos B-cosa sin B= 3:而-石，因sincos=月 2 sin(sina cos+ossi Γ3 所om2a+2A0=6c24a+0=1-2na+=1-2x-号 故选：B 1+5 6.(2023新课标Ⅱ卷高考真题)已知，为锐角，cosa= y ,则m号=() 2 7/49 A35 8 B.1+V5 C.3-5 D.-1+V5 8 4 4 【答案】D 【解折】因为cosa=1-2sin2g=1+5 24厂，而。为锐角， 解得：sin 3-V5 5-5-1 21 8 16 4 故选：D 。(2022新高考全国I卷高考真思)若sn(a+)+cosa+)=2V2cosa+好 sinB,则() A.tan(a-B)=1 B.tan(a+B)=1 C.tan(a-B)=-1 D.tan(a+B)=-1 【答案】C 【解析】[方法一]：直接法 由已知得：sina cosB+cosasinB+cosa cosB--sinasinB=2(cosa-sina)sinB, sin a cos B-cosa sin B+cosa cos B+sinasinB=0. 即：sin(a-B)+cos(a-B)=0 所以tan(a-B)=-l 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一设B0则sina+cosa=0,取a=- 4,排除A,B: 再取0则mp+co-2n明，取B-年，排除D:迹C [方法三]：三角恒等变换 sina+)+cos(a+)=2sin(a+B+子-V2sin(a+牙+月 4 -in(+c()sin/-2/c0s+i 所以2sin(a+T)cosB=V2cos(a+)sinB sin(a+孕cos月-cos(a+号snB-0即sim(a+-=0 4 4 8/49 sin(a-sin(a-pcoscos a-sinsin(a)+cos(a-B)-0 4 4 42 2 ∴.sin(a-B)=-cos(a-B)即tana-B)=1, 故选：C 8.(2026:上海高考真题)已知sina =5,则cos2a= 3 【答案】25 【解析】cos2a=1-2sin2a=1-2× 5 25 9(22上海商考题)已如mu=则a+到} 【答案】0 〔解折】由maAs,=1可得nCFc0s, cosa π 所以cosa+ -cosacossina sin 4 42 -(cosa-sina)=0, 4 故答案为：0 l0.(2024新课标Ⅱ卷高考真题)己知a为第一象限角，B为第三象限角，tana+tanB=4, tan a tan B=√2+l,则sin(a+B)= 22 【答案】 3 【解析】法一：由思意得an(a+月=ana+amB、一 4 -2√2 1-tanatanB 1-(2+1) 因为ae22a+引B2+2m+》kme2 则a+B∈(2m+2k)π+元，(2m+2k)π+2r),k,m∈Z, 又因为tan(a+B)=-2W2<0. 则a+B（2m+2)+2m+2)+2n,kmeZ则sin(a+)<0: sin（c+p）-22联立sim2(a+B+cos(a+B=1,解得sin(a+B)=2V2 则cos(a+B) 3 法二：因为a为第一象限角，B为第三象限角，则cosa>0,cosB<0, 9/49 cosa cos B -1 coSa = cos B=- sin2a+cos2 a v1+tan2a sin2B+cos2B 1+tan2B' sin(a+B)=sin a cos B+cos a sin B=cosa cos B(tana+tan B) -4 -4 -42W2 =4cosa cos B=- 1+tan2a1+tan2B (tana+tan B)2+(tan a tan B-1)2 42+2 3 2√2 故答案为： 3 11.(2023·上海高考真题)已知tana=3,则tan2a= 3 【答案】4-0.75 2tana2×33 【解析】已知ana=3则an2a-am公3- 4 3 故答案为： 12.(202上海商考真题)已知ma-3则ama+到}月 【答案】-2 tan a tan 【解析】tana+ 43+1 4)1-tana.tan 4 =-2, π1-3 4 故答案为：-2 13.(2022浙江高考真题)若3ina-smB=i0,a+月=，则ma -,c0s2f= 3W10 【答案】 10 5 【解析】[方法一]：利用辅助角公式处理 π :a+B=2,∴sinB=cosa,即3sina-cosa=0, 即v1o √10 10 10 cosa Fio,令sin6=o 10 cos0=310 10 则10sn(a-9)=0,a-0=5+2k,keZ,即a=0++2kr, 2 .sina=sin2kz=cos0=310 2 10· 10/49 cos 2B=2c0sB-1-2sin'a-1-4 3V104 故答案为： 10；5 [方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程 π :a+B=2,∴sinB=cosa,即3sina-cosa=N10, 又sina+cos'a=将cosa=3sina-10代入得10sina-6N10sna+9=0'解得Snas/ 10 cos28=2cos2 B-1=2sin'a-1= 3W104 故答案为：10；5 11/49 04 经典题型归纳总结 。。■ 题型一：和差角三角公式 3 【典例1-1】已知sina=,cOsa=4 4V3-3 A. B 4V3+3 o C.4-3V5 D 4+3V5 10 10 10 【答案】C 3 2 10 【典例1-2】已知sina=3 3π -13ae 2,Be 则cos(a-B)的值是() 63 63 33 33 A. 65 B 65 C.65 D.65 【答案】D 【保行1已知maom0=吕a行小B红 则cosr=-1-sina=-手sinA=--cosp 13 cos(a-B)=cosacosB+sinasinB ()副器 【变式1-1】(2026安徽：三模)如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系x0少.设时针长为 1,若某时刻时针指向g点到12点之间，且针尖所在点的纵坐标为3，则在经过4小时后，时针针尖所在点 的横坐标为() 8 4 12/49 A. 2 B V5+2V5 c.5-2 6 6 D.- 3 【答案】B 【解析】由题意可知，针尖所在点初始位置在第二象限内，设为A点，且在单位圆上， 2 如图所示，A点的纵坐标为3，设AB⊥x轴，垂足为B,单位圆交x轴正半轴于点D’ 2π 设经过4小时后，时针针尖所在点的坐标为C,则∠A0C-元×4-3 6 3· 在直角三角形AB0中，S加∠40B-子因为子兰，所以0<∠40B<行 2V3 又因为∠40C=2 ,所以点C在第一象限内，设∠COD=日：则点c坐标为(cos0,sin0) 设点r<0,由+号1，解得=-5或 2 3或x 3舍去， √5 2 设∠A0D=a'则cosa=-3,sina=5, 2π 所以cosB=cosa- 2红+ss20=-5×-）+2x5_5+2g 3 =cosacos3 3=-3×2+ 3 2 6 A C B D 【变式1-2】若cosa= 则sina+4等于() √2 B. 7W2 D.- √2 A. 10 C.-72 10 10 10 【答案】B 【解析】由cosa= a0引得如u=-w 5 所以sina+ -sinacostcosasin -X- 4 4 “4525210 【变式l3（206山东模拟预已知a+骨引-2，则ma《) 13/49 A司 1 B.3 C.3 D.-3 【答案】A tana tan 【解析】由 得 an a+ 4 2 4=2,所以tana+1=2' 1-tanatan I 4 1-tang 1 所以tana+l=2-2tana:所以3tana=1,解得ana= 3 【变式1-4】(2026高三浙江开学考试)若an(a+B)=1,tamB=3,则ana的值为（) 1 A.-2 B.2 C.Z D.-2 【答案】C 【解折】因为am(a+)=1am乃-写 tan(a+β)-tanB 1 3 1 所以tana=tan(a+B-B)= 1+tan(a+B)tanB1+1× 1 2 3 题型二：和差公式逆向运用 【典例2-1】 cos18cos42°-sinl8c0s48°的值为() A-3 B 2 2 C.2 D.2 【答案】D 【解析】c0s18cos42°-sinl8°c0s48°=cos18°c0s42°-sin18°sin42°=cos(18°+429)=cos60°= 【典例2-2】已知a=2cos248°-1，b=cos47°cos48°-sin47°sin48°， c=tanl5°-tan75°+√3tan75°tanl5°，则() A.b>c>a B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a 【答案】C 【解析】a=2cos248°-1=cos96°<0，b=c0s47°cos48°-sin47°sin48°=cos(47°+48)=cos95°<0， tanl5°-tan75o 由1+tan7591anl5=tan(-60)=-V5, 14/49 则tanl5°-tan75°=-V5(1+tan75tanl5）, 故c=tanl5°-tan75°+V3tan75tanl5°=-V51+tan75tanl5)+V3tan75o.tanl5°=-√5， 显然-V3<-1<cos96°<cos95°，即b>a>c. 【变式2-1】已知a-B= 6,tana-tanB=2,则cos(a+B)的值是() A.5+1 B.13 C.3+1 V3-1 D. 2 2 4 4 【答案】B 【解折】因为ama-amB=2,Q-B-及 6 sina sinB sina cosB-sin Bcosa sin(a-B) 所以cosa cos阝 cosa cos B cosa cos B Sin 6 cosa cos B 2,所以= cosB)-cosacosB+sinasin 2, 所以sinasin=5_1 24: 所以cosa+川=co-sinsi=5_-15 42422 【度式2】若a+月-经且aa+受，B=m+号akeZ.则0-mo0-m-() A.-2W2 B.√5 C.1 D.2 【答案】D 【解折】因为a+月-还，由两角和的正切公式可有m(a+)-儡0 tana+tan B 整理可得tana+tanB=tan a tan B-l, (1-tana)(1-tan B)=1-(tana+tan B)+tanatanB =1-(tan a tan B-1)+tan a tan B=2. 【变式2-3】(+v5tan80)-v5an20）=（) A.1 B.25 C.32 D.4 【答案】D 15/49 【解析】因为an(80°-20)=tan80-an20 1+tan80°tan20°， 所以tan80-tan20°=tan60'(1+tan80°tan20）=V5(1+tan80°tan20）, 故1+V5tan80)1-V5tan20）=1-V3tan20°+V3tan80-3tan20°tan80° =1+V3(tan80°-tan20）-3tan20°tan80° =1+V5×√3(1+tan80°tan20）-3tan20°tan80 =1+3+3tan80°tan20°-3tan20°tan80°=4. 【变式2-4】(2026高三河南南阳期中)an25°+tan35°+V5an25°tan35°-1+an75 1-tan75=() A.0 B.25 C.2 D.-25 【答案】B 【解析】由tan25°+tan35°+√3tan25°tan35=tan(25°+35)1-tan25tan35)+V5tan25tan35°=V3, 1+tan75° 1-tan75 tan45+am75=tan(45+75')=-5, 1-tan45°tan75° 所以，原式=3-（√5）=25 故选：B 题型三：辅助角公式多场景应用 【典例3-1】已知函数f(x)=sin(or+p)+cos2x,其中@，P是常数 ①若0=1，p=0,则f(x)的最大值是 一； ②若0=2且f(x)的最大值是2，则P的一个取值为」 9 【答案】 8 2 (答案不唯一) 【解析】①当w=1,p=0时，f(x)=sinx+cos2x=-2sin2x+sinx+1, 令t=sinx,因为x∈R,所以t∈[-l,,函数转化为二次函数y=-2r2+t+1, 该二次函数开口向下，对称轴为1=4∈[1，， 效当1-时取得最大位：=-2×个+好1号 121 ②当w=2时，fx)=sin(2x+p)+cos2x=sin2 xcosp-+cos2 xsin+cos2x 16/49 cos.sin 2x+(sin +1).cos 2x 由题知f(x)的最大值为2，所以Vcos2p+(sinp+)2=2 化简：cosp+sinp+2sinp+1=4→2+2sinp=4, 解得sinp=1,即p= +2k元，k∈Z,取k-0得0 2为其中一个符合要求的取值。 sin 2x π5π 【典例3-2】函数y= 的值域为 sinx cosx 12'12 √6√2 【答案】 6 2 【解析】令(=sinx+cosx' 由辅助角公式得1=5如+星)】 因为t2=sin2x+2 sinxcosx+cos2x=1+2 sinxcosx,所以sin2x=t2-1, 因为x∈ π5π 12'12 所所u+引[ 代入的表达式得 a. 所以原函数可化为y= -l=t-1,t∈ 圆为与y=,的 上单调递增，所以y=1在2，② 上单调递增， t 时，6 所以1=V6 : ② t=V2时，ym= 2 62 综上所述，函数的值域为 62 【变式3-1】已知sinx+cosx= 2,则的值为 5π 【答案】12 +2km或12 +2kn,kEZ 42 17/49 所以x+子子2陵x+号径2版，kez 43 解得x=合+2证或= 5π+2km,keZ 【变式3-2】(2026北京大兴三模)函数f(w)=3sinx-4cosx的最大值是 f(x)取最大值 时，sinx= 3 【答案】 50.6 3 4 【解析】由f)=3sinr-4cosx=5sin(x-p),cosp=5,sinp= 5 又sin(x-p)∈[-l,,所以函数fx)的最大值是5， 北时s(k-p)=1,则x-9=2版+受，keZ 即x=2a++p,keZ 【变式33】函数f()=sinx+simx+ +-sinxsin+的最大值为.一 【答案】1 【解析】 ()=sinsinco -cosx-sinx 1 cosx二sinx2sinx+2&。s 2-cosx sinx+3 3 "2-COsx- Isin'-5 sin xcos-13simcos2x v3 sin2 2 2 4 =n+m2+引子-+85m引 m1ss.回r-f4g- 2. 因此当1= +引号 coSx 【变式3-4】(2026河北雄安·三模)函数y=2-$im的最大值为 【路1停5 18/49 coSx 【解折】由y=2二sinr,则2y-ysinx=cosx,即ysinx+cosx=2y 即Vy2+1sin(x+p)=2y,则Vy2+1≥|2y,即y2+1≥4y2, 3 解得- 3,故函数y三之cx的最大值为3 【变式3-5】已知函数f()=3sinr-4cosx,若f(2)=5,则tano的值为. 【答案】3 4 【解析】f(y)=3 ssinox-4 COS@X=5sin(ox-p),其中sing=;'cos0= 2sin29 所以an Sin p 2 2-1-cos9-1 2 cos 2sin cos sing 2 2 2 2 因为f(2)=5sin(2w-p)=5,所以sin(2w-p)=1, 所以20-p=+2,keZ,所以o=元+号+kmk∈乙， 2 42 π++km 1+tan 所以tanw=tan 2=3 42 42 1-tan2 题型四：由值求值问题 【典例4-1】(2026海南三亚·一模)已 cosa-sina2,则sin2a+ sina 1 4 =() A. 2 7N2 B. D.、7V2 10 10 10 10 【答案】B sina 1 【解析】因为cosa-sina2:所以1-tana2’整理得anas 3 2×」 3 所以 2sinacosa 2tana 1)2 3 1+ sin 2a =2sina cosa cos2a+sin2 a 1+tan'a 3 5 19/49 cos2a-sin2 a 1-tan2a 4 cos2a =cos2a-sin2a cos2a+sin2a 1+tan2a 所以snm2a+-sin2aos子os2asin-3×5+1x-75 十 4 “4525210 【典例4-2】(2026-河南周口·模拟预测)已知a,B均为锐角，且满足sin(a-P)+3cos(a-P)=V10, cos(@+B)=-V10 0,则sinasin的值为() A把 10 B 5 c.3v0 10 D 【答案】B 【解析】已知sin(a-)+3cos(a-P),由辅助角公式得： sin(a-B)+3cos(a-B)=V12+3sin (a-B)+o]=/1Osin[(a-B)+o, 其中c0sp=- 已知等式左边等于0，因此sin[a-P)+p]-1,得(a-p)+0-及， 即a-B-子p.因tcsa-)=oa[任-p上sp- 2 10 所以eoa-)saog+nasn6.3,又os(a+A)-oacA-mSg- 10 所以sinasinB= 1310 (1o)l141o_o 210 10 2105 【变式41】己已知snB=写coa+卧=-l,则nla+2m=() A.1 B.1 c. 【答案】D 【解析】由cos(a+B)=-l,得sin(a+B)=0, 又nB-S,所以sina+20)=sina+B+月=sna+月-cosB+coa+月-simB=-号 20/49 π)2 【变式42】(2026湖南长沙模拟预测)已知sm0+4了，则cos2 +20=() B.9 D. 【答案】D 【解析】因为sin0+ 则429-m年+0小1-2m+0小-12×) 【变式4-3】(2026甘肃模拟预测)已知sima+sinB=3y5 ，cosa+cosB=6V2 ’a’B都是锐角，则 cosa-B 2 =() A.-310 B.、1o 10 c.vio D 3V10 10 10 10 【答案】D 【解析】由sina+sing=32 ，cosa+cosB=6W2 得sna+smA+25nusnB-2,casa+cosB+2cosacosp-7 251 两式相加得，2+2cos(a-B)=18, 5 则osa-p月-手p2cas2a,-1 2 5,则cos20-E、9 210 因为a'B都是锐角，所以受a-B< πa-Bπ 则- 424,即cosa-B_310 210 π）3 【变式44】(2026陕西咸阳模拟预测)已知cosC- 45,则sin2a=（） 7 9 B.25 c.-25 7 D.25 【答案】B 21/49 题型五：由角求值问题 【典例5-1】(2026高三江苏准安·期中)4sin40°-tan40°=() A.1 B.√2 C.2 D.3 【答案】D 【解析】原式=4si40°-_sin40° 4sin40°cos40°-sin40°_2sin80°-sin40° c0s40° cos40° c0s40° 2cos10° os10°+V in109 2cos10°-sin40°2cos10°-sin(30°+10) 2 2 c0s409 c0s40° cos40° 2c0s1005 2 sin100 c0s10°- -sin 10 2 2 V3cos40° c0s40° c0s40° cos40°=V5 V3-4sin20°+8sin320° 【典例5-2】 2sin20°sin480 =() A. 2V3 B 3 c D.2 3 3 【答案】A 【解析】 √5-4sin20°+8sin320°V5-4sin20°1-2sin220°） 2sin20°sin480° 2sin20°sin60° 2sin60°-4sin20°cos40°_2sin40°cos20°-2sin20°cos40°_2sin20°_25 √3sin20° V3sin20° V3sin20°3 故选：A 1 3) 1 【变式5-1】 (c0s280°cos210c0s20°=(） A.16 B.32 C.-16 D.-32 【答案】B 3 【解析】由 1 1 3 1=c0s210-3sin210.1 cos280°cos210cos20 sin210°cos210cos20°sin210°cos210°cos20 =4x1-4sin210 1 1-2(1-cos20) 2cos20°-1 =16× sin220° c0s20=8 sin20°·sin40 cos(20°-40)-cos20+40) =16x2c020-1-32x2c0s20-1 32 cos20°- 2cos20°-1 2 故选：B 22/49 6/E 0Is00 uis t个 OI usA OIU!s EA-OISO 。0Is03 =年【4越】 0IUIS A-I a【嵩品】 忆`a E a I'V ()=0zs00-I小 到半（腿4洁姐诉本平重.三里.90）【bs年延】 OIueEA-I a:梁碑 业2S soous 乙 7-= b --=-0 2Is乙 s S SoOsoo-uIs -SOoL-s03Z 乙 s ySs03乙+业5so0-zso5 -= -屈【4揭】 业-S00 乙 q【嵩品】 乙- 10 tV s00乙 ()b 葛1（腿4符以.华H.三是.90乙）【￡s年每】 1L-S00 I 乙 V:职诨 o0zg=01,g-_01,e-1601,g1-1 Oluet oOIue+I (0lue+D) 0I ue-I oOIue1-I 0I2uIs-o0I2so3 oOlue-I 0Iue+I Olue]+I 0IuIs+o0I2So3 OIue+I 07SO OIue-I 0ZS03.0uIs 0lue-I Ou!s oOLEue-I 【4搏】 o0Iue]+I 0 uIs OIue+I OLSO3 06Iue+I V【若易】 o0L ue-' o0ue-o o0Lue 'g o0zue,‘ (）=o0bs_o0LEue1-【 【7-s年每】 OLSOZ 06Iue+I 2c0s10°+60°）_22c0s70°_25c0s(90°-209）_22sim20°-22 √ sin20° sin20° sin20° sin20° 2 故选：D 题型六：由值求角问题 【奥例61】己知0ca<受0<B受且sm2a+)-0,ma 5,则a+B的值为() 5π B.6 D.3 【答案】A 【解析】因为sin(2a+)=4sinP,所以si[(a+B)+a]=4sin[(a+B)-a], sin(+B)cosa+cos(a+B)sin a=4sin(a+B)cosa-4cos(a+B)sina, 5 化简得5cos(a+B)sina=3sin(a+B)cosa,所以tan(a+B)-,tana. 3 又由于tana= 5,所以an(a+p) -tana-5 又0<a<5,0<B<: 所以0<a+B<,所以a+B-刀 6 【典例6-2】在△ABC中，已知tanA,tanB是关于x的方程x+p(x+l)+l=0的两个实根，则C=() A君 π 2π 3π B.4 C.3 D.4 【答案】D 【解析】因为tanA,tanB是关于x的方程x+px+p+1=0的两个实根， 所以tanA+tanB=-p,tan Atan B=p+l, 所以anC=tan[π-(A+B]=-tan(4+B)=-an4+tanB -P 1-an4anB1-p+1-, 因为C∈(0，，所以C=3 4 故选：D 【变式61)已知a∈0，Fe0,x:sina+)=2cosa-A,tama+am月=手 3,则a+B=() 24/49 A πn5π 5π 7π3π B.4或4 C.4 D.4或4 【答案】C 【解析】由sin(a+B)=2cos(a-B),得sina cosB+cosasinB=2(cosa cosB+-sinasinp), 则ma+月=2+2am&anB,而细a+mB-,解得nam分=， 因此tan(a+)= 把-，由ue0Be0曲a地Ae0 得ae0,受Be经或ae受，Be0孕，则a+月e经受， 所以a+p=n 4 故选：C 【变式6-2】已知4，B均为钝角，s$inB=而 TD-且sin21+ π_5-V15 3 0,则4+B（） A 5π 7π 7π B.4 C.4 D.6 【答案】C 即-5sinA5-V5 2 0.得sinA 等，南如B= 10,且AB均为钝角， 所以ca1--mA=-25,os8-小-ng。-3 0 cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B. 3W10 5o-2 510 2 由C之A,B<π，所以元<A+B<2π'所以A+B=T 4 故选：C 【变式63】卫知角a,Aea,tma+例=分mA= 1 10,则2a+B=() 9π B.3 c. D.4 25/49 【答案】A 【w1角ae0小由cA-治得=vn= 10 则如分=品分-子，又状为，m:在写到上单调路，则心引 nme9外c器 11 2×7 同避有aeo引。 1,1 所以mea+例=o+)+aC月a&之 =1, 得2u+B-号 故选：A 【变式64已知a(B-a)-分，mg=7,a,p∈0，则2B-a的值是(） 1 A 3π B.4 D.4 【答案】D 【解折】因为am(B-a)-=分，ama= 70,a,Be(0, 11 则anB=a[(B-a)+a]=27, ∈(0,0. 3 则2B-a∈(-元，0) 2× 又因为an2B= 2tan B 3 370 1-tan2B 4 可得am(2B-aan2ga23-】 26/49 所以2B-a=-3n 41 故选：D 【变式6-5】(2026高三·福建莆田·阶段检测)设“∈ T3π.E∈|42，且sina+cosa=V2cose,@ 2'4 () Aa+B=号 B.a-B=年 c.a+B-号 D.a-月=4 【答案】B 【解折1因为ma+coa=ina+》-cas,所以(a+到}=cosg=s如[任-P小】 因为e[及[任引所以a+[经是-A, 所以a+经+月=，则a-= 4 故选：B。 题型七：正切恒等式综合运用 【典例7-1】tan200°+tan40°+V3tan(-160)tan40°= 【答案】V3 【解析】tan200°=tan(180°+20)=tan20°」 tan(-160)=tan(-180°+20）=tan20° m6w-m(e40-o-5, 所以tan20°+tan40°=V3-√3tan20°.tan40°， 所以tan200°+tan40°+V3tan(-160)tan40° =tan20°+tan40°+√3tan20°tan40° =√3-√3tan20°.tan40°+√3tan20°.tan40°=√3 【典例7-2】求值：tan12°+tan48°+V3tanl2°tan48°= 【答案】V5 【解折】由an60=an02°+48)=an12+am482=5. 1-tan12°tan48° 27/49 得V3-V5tanl2tan48°=tanl2°+tan48°， 所以tanl2°+tan48°+√3tanl2°tan48°=√3. 【变式7-1】(2026湖南长沙模拟预测)tan25°+tan50°+(2+V5)tan25°tan50°= 【答案】2+V3/W5+2 tan30°+tan45°_3+V3 【解折】am75三tan30+45)月am30an4s352+日 tan25°+tan50=2+5, 又tan75°=tan(25°+50)=1-tan25tan50 所以tan25°+tan50°=2+V5-(2+V3)tan25tan50. 所以tan25+tan50+(2+V5)tan25tan50=2+V5 【变式7-2】使得(sin11-cos11)ian0=sinl1+cos11成立的0的一个值为. 【答案】-56（答案不唯一，满足0=-56+k.180,k∈Z即可） 【解析】：(sinl1°-cos11)tan0=sinl1°+cos11。 ÷tan0=sn11+cos1Ⅱ_lan11+1。-1+-tanI' sinl1°-cosl1°tanl1°-11-tanl1 tan45°+tanl1° 1-tan45°.tanl1 =-tan(45+11)=-tan56=tan(-56), ∴.0=-56°+k180,k∈Z 故答案为：-56°（答案不唯一，满足0=-56+k180,k∈Z即可） 【变式7-3】已知a,B满足(1+tana1-tanf)=2,则tan(B-a)= 【答案】-1 【解析】由(l+ana)1-tanB)=2, 可得：1-tanB+tana--tanatan=2, tana -tanB=1+tanatanB. 所以m(-a）=tan-tanc-l, 1+tanatanB 故答案为：-1 【变式7-4】在△ABC中，内角AB,C所对的边分别为a,b,C且满足 @A+anB+amCm4amB,若。是2则，+2的取值范国是 28/49 【答案】(4,16+8V3 【解折】根据题意，an(A+B）=an4牛anB=-amC, 1-tan A+tan B tan 4+tan B+tan C-tan Atan BtanC= 3 -tan Atan B, 且an4tamB≠0'得ancW】 3 因为0<C<'所以C=石 6 因为c2=a2+b2-2 abcosC,c=2, 所以4=a2+b-2 abcos-2+B2-5ab≥a2+b-V5 6 所以a2+b2≤16+8V5, 当且仅当a=b时取等号， 又a2+b2>4, 所以a2+b的取值范围是(4,16+8V5 故答案为： (4,16+85 asin-bcos 11π 【变式7-5】设a,b是非零实数，且满足 5=tan +bsin π 30,则b a cos 5 5 a 【答案】一 55 3 3 tan交b 11π 【解析】由题意可得， “5a=tan 30 tanπ tan 5 11π 令b tan =tan0 1+tan tan 30 a 5 即tamξ0=iam2 11π 30 所以号0=标+ +30,即0=-a-元keZ 6 29/49 做名ano=tam-亿 ）- 63 3 故答案为： 3 【变式7-6】计算：(1+tan1)1+tan2)(1+tan3）…(1+tan44)= 【答案】22 【1周为如=mo-6-明-， 整理得an0tan(45°-0)+[tan6+tan(45°-0)]-1， 则(1+tan0)儿1+tan(45°-0)]=tan0tan(45°-0)+[tan0+tan(45°-0)]+1=2， 所以(1+tan1)(1+tan2）(1+tan44o)=[(1+tan1)1+tan44)]-[1+tan22)(1+tan23)] =2×…×2=22, 即(1+tan1)(1+tan2）…(1+tan44)=22 故答案为：22 【变式7-7】在△ABC中，若tanA:tanB:tanC=1:2:3,则A= 【容案】日 【解析】因为tanA:tanB:tanC=l:2:3, 所以设tanA=x,tanB=2x,tanC=3x, 则anA=tam[元-(B+C]=-tan(B+C）)=-anB+amC-2x+3x-x 1-tan BtanC 1-2x.3x 解得x2=1,即tanA=±l, 由题意可知A<B<C,所以tanA=l, 则4=圣 放答案为：牙 题型八：三角式化简 【典例8-1】在A1BC中，cosA+cosB+cosC=1+2 2sin sin月 B 2 2 30/49 (1)当A=B时，求3cosA+cosC的值： (2)求C: ()③若tanA+tanB+anC=2 tan BtanC,AC-2+V5,求△ABC的外接圆半径. 附：cosa+cosB=2cosa+Pco-E】 2 “22；snam月-cosa-)-osu+p]. 【解析】(1)当A=B时， 由已知得2os4+cmC=1+2m分2--2m到2-cm4, 可得3c0sA+cosC=2 2)由参考公式及已知条件，可得2c0s)c0s 24cosC=1+cos428-cos8 2①， 因为4+B=-C,所以cs1行B C sin 2 2 C。A-B 2 cos +cosC=1+cos 4-B_ C 代入①得2sin --sin 2 2 2 整 2am-小s4+ocm-1=0, 2 2 利用cosC=1-2sin2C 2 2 所-g即c- 若2sin9-1=0,则simS=}. 3 若0s4B=simS-cos4+B. 2 2 2，则A=0或B=0:构不成三角形，舍去， 故C=π 3 (3)tan 4=tan(n-B-C)=-tan(B+C)=tan B+tanC tan Btan C-1' 可得tan Atan Btan C=tanA+tanB+tanC, 又由tanA+tanB+tanC=2 tan B tan C,得tanA=2, 可得sinA=2V5 5,cosA=5 31/49 是如8=4+4：s425 2 10 记△ABC的外接圆半径为R, AC 2+V5 R= 2sin B 5(2+3) 5 由正弦定理得 2× 10 【奥例82】己知向量i=(5sim,cos)6=((co).xe2 (1)若a仍，求x的值： (②)若f(x)=ab,求函数y=f()的最小值 【解析】(1)若a/i,则有V3sinx(-cosx)=cos2x, 由于*经：osr0所以5a=1mx= 5,所以x=5π 6 (②）f=a-b=V5 sincos-cos'x=5 in2x-1+cos2x 2 2 因为e写：所以2x君管g） 根据正弦通数的质。当2x一名经即=爱时，2君)取得城小值 62 此时f6m=-1-1三-3 22 【安式】设m为实数已知通数)=+}e-引-时兰meR的最小值为2 (1)求m的值： +π=7V2 ②若fa+6等2，mB- =3'a'B均为锐角，求a+B 【解标】（山f)=5n sinco 2 =3sinx-cosx+m-2 32/49 =2sm-}m-2, 因为x∈R’所以snx一6)的最小值为 故函数f(x)的最小值为m-4. 又因为f(x)的最小值为-2， 所以m-4=-2 解得m=2. (②因为f()=2simx- 6 所以fa+=2sina=7 6 ,从而sina=7V2 10 又因为a为锐角， 所以cosa=V1-sin2a=,1- 98√2 V10010, 72 故tama=加g=0=7, cosa √2 10 7x4 amla+）-tncnp1-7 tana+tan B 3 4-1 又a,B均为锐角，所以a+B∈(0，π) 3π 从而a+B=4: 【变式82】f()-=2aos0r+25 sinrin+}-(o>0),其最小正周期为x ()求ω的值及函数f(x)的单调减区间： (2)已知f ,求cosa 【解析】(1) 化简数：f)-2cas2ar+25 sin x sin+}- =2cos2 @x+2v3 sin @x cos @x-1 =cos2ox+√3sin2ox 33/49 =2sn2ar+8) 白最小正周期75名=，得。1网=22x+若)】 200 由子+2r≤2x+名经2k,那得后+5x≤号k,e2 62 3 故单两随区同为[任+红行+材依e五 ②)-2m如)片即me*别 4 所以cosa= e+引周ma+mme+m后年5}15 42428 【变式8-3】己知函数/(=2si3-x小snx+cos2x-sin2x」 π 求任)的值及f)的最小正尉期： (2)求f(x)的单调递减区间. 【解析】(1)由题意，f(x)=2 cos xsinx+cos2x sin 2x+cos 2x =v5sm2+到 2 该函数的最小正周期为T=20=元 2 (2由为/)-5s2x+) 由2+于≤2x+叠≤2版+证keZ,得m+≤x≤m+keZ. 2 4 2 8 所以和的单遥读区铜为a+号红哥低e刀 34/49 【变式8已知函数/()-2sin2x-cos2x+写到 (①)求(x)的最小正周期： ②求了)在区间0引上的最小值 【解折】f)=2sn2x-cos2x+写1-cos2x-cos2 sin2xsn 3 2sin2r-3。 os2x+1-5sm2r-}1, 所以f(x)的最小正周期T= 2sπ (2)因为0≤x≤受，所以 -s2x-元s2π 339 当2x-卫、 3=3,即x=0时， 1 f(x)取得最小值为2 【变式85】己知函数f()=sin'or+V5 sin0r-(o>0)的最小正周期为元· (1)求f(x)的解析式： ②若ae0受，且a=,求n2a的值. 【解折14f-0-o2ow)小-5sn2asm2君引 因为最水正调期为：所以无=，解得1则四=如2x-君) a因为a引所似2a君( 因为@)=ma}-,所以2a君（名0】 mma}o.故ma引-2. 则n2a=m[2a-2a-君}m+m2a}m8 35/49 =-x5+22x1-25-5 3232 6 【变式80】(2026宁爱模拟预测)已知函数f()-5sn%cosg+cosg- 2 “2~2(0>0)的图象的相邻两 个对称中心之间的距离为2 四求得 的值： (2)求f(x)在区间-20 0上的最大值和最小值. 【解折】)f)=5sm受os受 +cos2@x 1 2 22 1+cos@x 1 2 2 1 sin wx+二coS@x=sin @x+ 2 6 Tπ π 根据题意方2，解得T=元'即 因为o>0所以o=2则f=sn2r+ (2)据题意2≤x≤0，-元≤2x≤0,6 π≤2x+πs 66 当2x+名-云即x0时，)=如（后）2所以问的袋大位为号 当2x+=- 6 至甲=音时。国=如（》-，所以了问的最小值为 题型九：三角恒等变换综合题型 【典例9-1】(2026上海模拟预测)已知f(x)=c0s2x+ 3 +sin2x」 ()求函数y=f()的最小正周期和最大值： 36/49 【解折】（山f(e)=cos2x+写+sin2x=cos2xos胥-sin2xsn 1-cos2x.-5sin2x+ 32 2 V3+1 故函数y=(~)的最小正周期为元'最大值为2 ,11 (2)由 sinC+ 2 2 T24解得sinC=5 2 又cosB= 3 从而sinB=2V2 3 2、√ 因为3 2,所以c为锐角，C= 3 sin4=sin(B+C)=sinBeosC+sinccos 6 【典例9-2】(2026-河北秦皇岛模拟预测)已知函数f(x)=2sin(ox+p)八 >0,0<p< 2 若f0)=2, f(x)在(0，π)上有最大值，且无最小值. (1)求P的值及0的取值范围： 回法0Z求函数(=f(/x- 图象的对称中心 【解折】（山因为f)=2sn(or+:f0=V2:所以np= 2, 由于0<0<，则p-景，即f()=2snor+日 元 由0<x<元可得4<or+ <π0+ 4 4: 又因f(x)在(0，π)上有最大值，且无最小值， 根据正弦函数的图象可知子<0+子≤织。 42 解得4s 15 ,故w的取值范国为4？4 (②由0ez结合1)可知0=1则f)=2n+写到)： 所议&=)-牙到-4n+}m=4nr个5nc+ -cosx 2 37/49 -2wmx+ncnm-2g2+n2 =2(6in2x-co2x)+5-2n2x-4到}+5 令2x-=k,kZ'解得r)7 28:k∈Z 则函数g(x)图象的对称中心为 keZ 【变式9-1】已知角a,B∈ 且cosa= 5 )若anm5=3,求a-B的值， 7 (②若sin(B-a)=25,求sin(a+B)的值 【解析】(1)~cosa= .a.) 5)2 sina v1-cos2a 5 .∴.tan= =2 cosa cosa 5 5 tan(a-P)）=ana-tanp- 2、1 3 s1 1+tan a tan阝1+2× 3 *ae0 a-例司引a-= 5 (2)'.'cosa= .'.cos2a =2cos2a-1=2 a.)sin(-a 38/49 (a-e(引放m(8-a)-m(0B-a--3-斧 ..sin(a+B)=sin(B-a+2a)=sin(B-a)cos2a+cos(B-a)sin2a 【变式2】已知=o2x+得-2in-引w+若锐角u满足f)-9求n26的 值 【折1由影意相)-m2x+君}25m-引em(r+ =w2x+gj25m到}mx） =2x+8}2n}ax到 、 -cos 2x+sin 2x+3 cos 2x 2 2 cos2x-sin 依题意，0<u0<2a<<2a+背 33 3 =2 所以2x+号不是领角，放2a+骨侣 所以cos 引-a引图-9 所um2am[2如+引-引 39/49 V3+3V2 2323 6 【变式9-3】(2026高三福建莆田期中)己知函数f(x)=sin'x-cos2x+2W3sinx·cosx 5π 四求八12的值： ②若0ca<号，f(a)-25 ,求cos2a的值 【解析】(1)由题意可知：f(x)=-cos2x+V3sin2x=2 2 π 所以八2 2m2-2g-5 ©因为r-2引-29用a引9。 所以owsa=oam[2a-君}8-oar2a-mgs2a君引amg 2W55512W5-V5 5 252 10 【变式9-4】(2026高三山东临沂阶段检测)(1)化简：sin40(tan10°-V⑤)： (2)已知sin0+cos0= g,求sin20的值： (3)已知sina-cosa= a0,求m2a-星到的值 【解折】(1)sin40(tan10°-V5)=sin40r.sin10°-v5cos10 cos10° 2sin40°.sin(10°-60)-2sin40°cos40°-sin80° cos10° cos10° sin80° =-1 (②)由sin0+cos'0-号，得(sin20+cos20=sin0+cos0+2sin20cos20=5+5im220=l, 92 解得sin220 9,则sim20=±2v2 3 (3)因为sina-cosa=50,所以(sina-cosa}= 25 40/49 即l-2 sinacosa= 25,所以sinacos= 12 25 (sina+cosa)'=sina+cosa+2sina cosa= 49 25 因为a∈(0，π)，所以sina>0, 又因为sina cosa= 12 >0,所以cosa>0 2 所以sina+cosa>0, 所以sinu+cosa=5②， sina= 由①②解得 , cosa= 所以n2a=2 ina=2×等m2acsg-ma-(得月-(-名， 5525 故sm2a日}=sn2aco年-co2asm骨-2装x5-（5)k5-30 425×2252=50 41/49 05 课后拓展精练 面了■F面■C 1.(2026陕西西安模拟预测)己知T为函数f(x)=V3sin2x-2cos2x+1的最小正周期，则f(T)= () 3 A.-2 B. 2 C.-1 D.0 【答案】C 【解析】f)=V5sin2x-2cos2x+1=V5sin2x-2×1+cos2+l 2 in2x-c0s2x-2in 7-=，f0=f)=2sm2= 2 1V3 2.(2026广西模拟预测)角的终边与单位圆的交点坐标为 22 则oa-(）. A号 5 B. C.1 D.0 2 【答案】C 15 【解析】因为角的终边与单位圆的交点坐标为 2’2 可得cosu= 2,sina= 2 则cosa- =cosacos+sin asin -X -=1 3 32222 3. (2a026山东那键二)已如子a<+到-m2a,则ma+引-() B 7 D. 5 【答案】B 【解析】设B=a+ 4 因为-于<a<骨，则0<B<受，且a=B-牙 可得4em9=-am0-引-m29-引an20 42/49 则4tanB=1-tan2p 2tanB·解得tanB=± 且tnB>0,则a0-号所以ama+）月 (0+43 1 4.(2026湖北襄阳·模拟预测)已知cosa 3’a∈(0，)，则sin6a等于() A.1-26 1+2W6 B c.5-22 D V3+2√2 6 6 6 6 【答案】A 【解析】因为cosa 3'a∈(0，)所以sina=22 ,所以mmsa-mna-16 6 6 6 1+sin=(） 5.已知a为第二象限角，3sin2 xcosa=8 sin2a,则2-cosa 3 3 5 A.4 B. 5 C. D.12 【答案】C 【解析】由3sin2 coa=8 sinacos2a,得：6 sincos2a=8sina(cos2a-sin2a) 因为a是第二象限角，所以sina>0,cosa<0, 化简得：3cos2a=42cos2a-）,即cos2a=1 5 由 cosa<0'解得：cosa=-2 5, 因为in>0'所以sina=V-os'a=5 1+sina 51 所以2-cosa 2W52 2+1 5 6（2026山西析州模拟预测)已知0<a<分，且sina-cosa 3,则sin2a=（） 1 A.9 B. 7 C. 8 D. 【答案】D 【解折】sina-cosa=兮(sina-oca-)→sna+cosa-2 in 9 43/49 →1-sin2a=g →sin2a= 7.(2026云南玉溪模拟预测)若tanc= 2则cos2a=（） 1 A.5 B.5 c.5 D.5 【答案】A 3 【解析】cos2a=cos2a-sin2a=cosa-sin2a_1-tan2a 2 3 cos2a+sin2 a 1+tan2a 5 2 8.(2026福建泉州模拟预测)已知0<B<a<π'且咖a+月)~V5 4，tanatanB=3,则a-B= () 4,君 c π B.3 D.6 【答案】B 【解析】因为0<B<a<π： si咖(a+p月)= 4,所以0<a+B<元 又tanatanB= sinasinB=3 cosacosB sina>0'sinB>0:所以cosa与cosB同正或同负， 当cosa与cosB同负时，a,B为第二象限角，a+B>兀，与O<a+B<π矛盾，舍去 当sa与cosB同正时，a,B为第一象限角，满足条件，所以0<B<a<至，则0<a-B<号 cos(a+B)=cosa cosB-sinasin B=-2cosa cosB. cos(a-B)=cosa cos B+sin asin B=4cosa cos B. 所以cos(a-P)=-2cos(a+B). 由sin(a+P) 4,0<a+B<得cos(a+B)=±1-sim(a+)=±号 若osa+)=,则eus(g-)=2×子（合去，因为0<a-B< 若os(a+)=4,则osa-月=-2x日- 44/49 因为0<a-B<受，所以Q-B=号 5 9.(多选题)(2026~陕西西安·模拟预测)下列各式中，值为2的是（） A.sin81cos21°+cos261°sin21 B.cos275°-cos215 2cos10°-sin20 2c0s20 D.sin50'1+V5tanl0） 【答案】AC 【解析】A.cos261°=c0s(180°+81)=-cos81°，所以 sin81cos+co6 sin2sin cos2c sin21-sin(sin60 ,AE B.cos'75-os15=sin215-c0s215=-eos215°-sin215)=-c0s30=- 2,B错误 c2cos10-sin20_2cos(30-20）-sin20_V5c0s20°+sin20°-sin20°-V5 2cos20° 2c0s20° 2cos20° D.sin 50(1+3 tan10)-sin50sin-sins0csin10 cos10° cos10 2c0s10°+ 因为cos10°+V5sin10°=21c0 2 sin10 =2sin(30°+10)=2sin40°， 所以原式=sin50° 2sin40°2cos40°sin40°sin80 cos10 cos10 sin 80 =1,D错误 10.(多选题)(2026辽宁模拟预测)下列等式恒成立的是() A.sin- cosa sina B.tan元= 2 1-cosa C.sin3a+sina=2sin2a.cosa D.cos3a.cosa= lcos2a+cosa] 【答案】AC 经-asm2+-m-oma,A正确。 5π 【解析】对于A,由三角函数的诱导公式得sin a sina 2sin cos2 2sin cos2 对于B,1-cosa °2= 1 1-1-2sin2 2sin2a a,故B错误； 2 tan 2 对于C,ma+n-2nm2=2n2aa,数c 45/49 对于D,cos3a·cosa= [cos(6a+a)+cos(3a-a]=(eos4a+cos2a）,显然 cos4au+cos2a=cos2a+cos不恒成立，故D错误 11.(多选题)(2026广东佛山模拟预测)已知tan日=2，则() .0V5-1 A.tan= 2 2 Rm0=号 3 C.cos20= 5 D.2sin0cos0+cos20=3 【答案】BC 【解析】选项A:设1=an则tan0= 代入9-，得2产地理1-10解： 2t 2， tan 2有两个可能取值，故A错误 选项B:tan20=2×2_4 -2=3故B正确 cos0+sim20i+am分代入得c0s20=1-4-3 选项C:cos20=cos0-sin20_1-tan2g 1+45故C正确 D:2sin0cos0+cos0=2sincos+cos202tan+1 sin20+cos0an79+i,f代入得4+ 14+1=1≠3，故D错误 12,已知0<a<B<受若osa-P)=5 ，c0s2a=10 10,则a+B=一 π 【答案】4 【解折】0<a<P<登受<a-B<0,0<2a<x cos(a-月)= 5,cos2a=10 10 in(a)(p)2 sin2ac 10 cos(a+p)-cos[2a-(a-)]-co2acos(a-)+sin2osin(a-)-o2 -X -XI 105105 2 又0<a+B<π， a+B=3n 4 46/49 2026河北秦皇岛·一模)已知s0+三cos6,则a 6 【答案】V3 【解析】已知sin0+交 。π 6 o0,展开得n0ce子+co0sng=s0,即9n0+s0=0s0, 6 则5sin0=cos日：由于sin20+cos29=1所以cos0≠0'所以 os03,即tana=3 sin0 3 2tan0 2x3 由二倍角的正切公式，可得an20= 3 =V3 1-tan20 √3 3 14.A=4cos559c0s25c0s10°+sim40 sin80 ，则(4-1)°= 【答案】243 【解析】A=-4c0s559cos25eos10°+sin40°_2(cos80°+c0s30°)e0s10°+c0s50° sin80° cosl0° 2cos80°cosl0°+2c0s30°cosl0°+cos50°cos90°+cos70°+cos40°+cos20°+c0s50° cosl0° cosl0° =c0s40°+c0s20°+c0s70°+c0s50° cosl0° 2cos30cosl0°+2cos60°cosl0° cosl0° 2cosl0°(cos30°+cos60) cosl0° =2(cos30°+c0s60)=√3+1 ∴(A-1)°=35=243 a_5 15.(2026山西析州模拟预测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c-已知b=6,c7, 19 cosB= 35 (1)求a,c; (2)求sinA; (3)求cos(A-C). 解折】()由8-)，设a=5,c=7i>0曲62=a+c2-2 Dacsos2,可 47/49 36=65+(0-2.579-36d,得，=11=所以a=5,c=7 35 (2)由c0sB=19 ，得snB--esB=人 361 86412W6 1225 V1225 35 由正弦定理a=b。,得sinA=asinB 5x12V6 35 60√610W62√6 sin A sin B b 6 35×635 7 （3)a=5b=6.c=7c0sA-+c2-d.36+49-25_605 2be 2×6×7847 cosC=2+62-c25+36-49121 2ab 2×5×6605 24_2√6 cos(4-C)=cos4cosc+sindsinc=5.29 757535 16.己知fw)=sin(2x+ 61 (1)求最小正周期； π元 ②若x612求f的最大值和最小值： 9若ae03,咖a= 3,求fa): 【解析】(1)T 2元2=： 回2 _ππ 由正弦函数性质可知，当2x +石石即x=石时，雨数有最小值，即f(以=f()3 当2+名子即=后时.数有疑大佰：即以=（侣）-9 63 1 所以函数女的最大值为)最小值为 (3)若a0,2 sina= 3,所以cosa=V-sin'a=y6 则sin2a=2 sina cosa= 2 3，cos2a=1-2sin2a 1 3 48/49 (a)-sinsin2aooos2a sin 6 632326 17.已知6a+osB=,sna+s如B 3,求cos(a-B)的值。 【解析】由题意，(cosa+cosB)'=cos2a+2 cosacosB+cos2B=} 4① a+sin B)=sin a+2sinasin B+sinB- @时②得2+2 (cos+sinsin)=2+2cose-月4+，38 所以cos(a-p)=3. 49/49 4.2　简单的三角恒等变换 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、两角和与差公式 3 知识点二、二倍角公式 3 知识点三、降幂公式 3 知识点四、升幂公式 3 知识点五、辅助角公式 3 知识点六、和差化积公式 4 方法总结1：化简小技巧 4 方法总结2：两角互组，两角互补，两角互余 4 03 真题回顾 6 04 经典题型归纳总结 6 题型一：和差角三角公式 8 题型二：和差公式逆向运用 9 题型三：辅助角公式多场景应用 9 题型四：由值求值问题 10 题型五：由角求值问题 10 题型六：由值求角问题 11 题型七：正切恒等式综合运用 12 题型八：三角式化简 12 题型九：三角恒等变换综合题型 12 05 课后拓展精练 17 知识点一、两角和与差公式 ①；③； ②；④； ⑤；变形公式：； ⑥；变形公式：． 知识点二、二倍角公式 ①； ②； ③ 知识点三、降幂公式 ①； ②； ③． 知识点四、升幂公式 ①， ②； ③， ④． 知识点五、辅助角公式 ． ①其中辅助角是由方程，，．决定 ②正弦在前，余弦在后（确保系数，不会弄反） ③利用系数算出所填角度的正切，正弦（余弦），决定所填角度的确切象限. ④保证，． 知识点六、和差化积公式 1、积化和公式 ① ② ③ 2、和化积公式 ① ② ③ ④ 方法总结1：化简小技巧 ①1的代换：； ②． 方法总结2：两角互组，两角互补，两角互余 ①两角互组： ②两角互补： ③两角互余： 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知为第二象限角，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·上海·高考真题）已知，则__________． 9．（2025·上海·高考真题）已知，则__________． 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 11．（2023·上海·高考真题）已知，则=__________. 12．（2022·上海·高考真题）已知，则_________. 13．（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________． 题型一：和差角三角公式 【典例1-1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·安徽·三模）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系．设时针长为，若某时刻时针指向点到点之间，且针尖所在点的纵坐标为，则在经过小时后，时针针尖所在点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若，且，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·山东·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．3 D．-3 【变式1-4】（2026·高三·浙江·开学考试）若，，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 题型二：和差公式逆向运用 【典例2-1】 的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】若且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】 （    ） A．1 B． C． D．4 【变式2-4】（2026·高三·河南南阳·期中）tan（    ） A．0 B． C．2 D． 题型三：辅助角公式多场景应用 【典例3-1】已知函数，其中是常数. ①若，则的最大值是___________； ②若且的最大值是，则的一个取值为___________. 【典例3-2】函数，的值域为_________． 【变式3-1】已知，则的值为______． 【变式3-2】（2026·北京大兴·三模）函数的最大值是_____________，取最大值时，____________． 【变式3-3】函数的最大值为_____. 【变式3-4】（2026·河北雄安·三模）函数的最大值为________． 【变式3-5】已知函数，若，则的值为___________． 题型四：由值求值问题 【典例4-1】（2026·海南三亚·一模）已知，则（     ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·河南周口·模拟预测）已知，均为锐角，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，则（   ） A．1 B． C． D． 【变式4-2】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·甘肃·模拟预测）已知，，，都是锐角，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型五：由角求值问题 【典例5-1】（2026·高三·江苏淮安·期中）（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】 （   ） A． B． C． D．2 【变式5-1】 =（    ） A．16 B．32 C． D． 【变式5-2】 （    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高三·甘肃·阶段检测）计算（   ） A．2 B． C． D． 【变式5-4】（2026·高三·重庆沙坪坝·阶段检测）求值：（    ） A．1 B． C． D． 题型六：由值求角问题 【典例6-1】已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】在中，已知，是关于的方程的两个实根，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 【变式6-2】已知均为钝角，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知角，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】已知，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式6-5】（2026·高三·福建莆田·阶段检测）设，且，则（    ） A． B． C． D． 题型七：正切恒等式综合运用 【典例7-1】 _____. 【典例7-2】求值：______. 【变式7-1】（2026·湖南长沙·模拟预测）___________． 【变式7-2】使得成立的的一个值为______________． 【变式7-3】已知满足，则______． 【变式7-4】在△ABC中，内角所对的边分别为且满足，若，则的取值范围是____. 【变式7-5】设a，b是非零实数，且满足，则______. 【变式7-6】计算：________． 【变式7-7】在△ABC中，若，则_____________． 题型八：三角式化简 【典例8-1】在中，． (1)当时，求的值； (2)求C； (3)若，，求的外接圆半径． 附：；． 【典例8-2】已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求函数的最小值. 【变式8-1】设为实数，已知函数的最小值为． (1)求的值； (2)若，，，均为锐角，求． 【变式8-2】 ，其最小正周期为． (1)求的值及函数的单调减区间； (2)已知，求． 【变式8-3】已知函数． (1)求的值及的最小正周期； (2)求的单调递减区间． 【变式8-4】已知函数. (1)求的最小正周期： (2)求在区间上的最小值. 【变式8-5】已知函数的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)若，且，求的值． 【变式8-6】（2026·宁夏·模拟预测）已知函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 题型九：三角恒等变换综合题型 【典例9-1】（2026·上海·模拟预测）已知. (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)在中，若，，求. 【典例9-2】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 【变式9-1】已知角且. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【变式9-2】已知.若锐角满足，求的值. 【变式9-3】（2026·高三·福建莆田·期中）已知函数 (1)求的值； (2)若，，求的值. 【变式9-4】（2026·高三·山东临沂·阶段检测）（1）化简：； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值． 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 为函数 的最小正周期，则 （    ） A． B． C． D．0 2．（2026·广西·模拟预测）角的终边与单位圆的交点坐标为，则（    ）． A． B． C．1 D．0 3．（2026·山东聊城·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 5．已知为第二象限角，，则（     ） A． B． C． D． 6．（2026·山西忻州·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·云南玉溪·模拟预测）若，则（     ） A． B． C． D． 8．（2026·福建泉州·模拟预测）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·陕西西安·模拟预测）下列各式中，值为的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·辽宁·模拟预测）下列等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·广东佛山·模拟预测）已知，则（     ） A． B． C． D． 12．已知，若，，则_____． 13．（2026·河北秦皇岛·一模）已知 ，则 __________. 14． ，则_________． 15．（2026·山西忻州·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，. (1)求a，c； (2)求； (3)求. 16．已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 17．已知，，求的值． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $