3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（8大题型）（讲义+精练）-2027年新高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数的概念、几何意义及运算核心考点，按定义理解、运算规则、切线应用的逻辑层次构建知识体系，通过思维导图梳理、基础知识点拨、方法总结提炼、真题回顾分析、分层题型归纳等教学环节，帮助学生系统掌握导数应用的关键难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以题型分层与方法创新为特色，如通过“以值代参法”“公切线双切点方程”等策略突破切线问题，结合牛顿迭代法新定义题型培养数学思维与创新意识。设置基础到拓展的分层练习，配合真题与模拟题训练，确保学生在有限时间内高效提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰的教学路径。

3.1　导数的概念及其意义、导数的运算 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、导数定义与几何意义 3 知识点二、导数的计算 3 方法总结1：切线问题 4 03 真题回顾 6 04 经典题型归纳总结 14 题型一：导数的运算求解 14 题型二：曲线切线方程的求解 17 题型三：以值代参法解决切线问题 18 题型四：借助切线模型求解距离最值 20 题型五：曲线切线条数的判定 23 题型六：切线背景下的弦长问题 27 题型七：曲线间的公切线问题 30 题型八：切线相关的新定义问题 34 05 课后拓展精练 37 知识点一、导数定义与几何意义 1、①函数从到的平均变化率为：. 变式：. ②函数在处附近的平均变化率为：. ③平均变化率的几何意义：割线的斜率； 平均变化率的物理意义：平均速度（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）. 2、函数在处的瞬时变化率（导数）：. 几何意义：切线的斜率； 物理意义：瞬时速度（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）. 变式：①，②，③ 3、导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线上的点处切线的斜率 即，因此切线方程是：. 知识点二、导数的计算 1、基本初等函数的导数公式：①若，则，简记为为常数) ②若，则，简记为 ③若，则，简记为 ④若，则，简记为 ⑤若，则，简记为 ⑥若，则，简记为 ⑦若，则，简记为 ⑧若，则，简记为 2、和差积商法则：①；②； ③；④． 3、复合函数的求导法则： 复合函数的导数与函数，的导数间的关系是 方法总结1：切线问题 (1)在某点的切线方程 思路：函数在点处的切线方程为：，关键 (2)过某点的切线方程 思路：设切点为，则斜率 过切点的切线方程为，又因为切线方程过点 所以然后解出的值带入切线方程即可．（有几个值，就有几条切线） 过点与在点处的区别 在点处的切线指的是为切点的切线． 过点的切线是指切线过点，点是否切点均可，切线可多条． (3)公切线问题 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，求公切线 思路：设直线与和的切点分别为和， 写切线，， 化斜截：， 斜率相等，截距相等： 两个方程解两个未知数，解出，带入所写切线即可． (4)切线求参 ①已知切线的斜率，则由，可求出切点坐标． ②若在点处的切线过点，则． ③直线与二次函数或二次曲线相切时，用判别式法． 1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 3．（2021年全国新高考I卷数学试题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知. 故选：D. 4．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 【答案】D 【解析】设直线在曲线上的切点为，则， 函数的导数为，则直线的斜率， 设直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则， 两边平方并整理得，解得，（舍）， 则直线的方程为，即. 故选：D. 5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））函数的图像在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，， 因此，所求切线的方程为，即. 故选：B. 6．（2026年高考上海卷数学高考真题（网络 收集版））已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 【答案】 【解析】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4， 又， 所以，解得，故； 已知初速度为0，则，解得， 已知，则， 速度第一次达到4时用时秒，则，即， 此时． 7．（2025年高考全国一卷数学真题）若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 8．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 9．（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】 【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数 导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 10．（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 11．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 【答案】 【解析】由题意，，则， 所以点和点，, 所以， 所以， 所以， 同理, 所以. 故答案为： 12．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】由题，当时，，故点在曲线上． 求导得：，所以． 故切线方程为． 故答案为：． 13．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】 【解析】设切线的切点坐标为， ，所以切点坐标为， 所求的切线方程为，即. 故答案为：. 14．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； (2)求a的取值范围． 【解析】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得； （2），则在点处的切线方程为，整理得， 设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得， 则，整理得， 令，则，令，解得或， 令，解得或，则变化时，的变化情况如下表： 0 1 0 0 0 则的值域为，故的取值范围为. 题型一：导数的运算求解 【典例1-1】（2026·高三·上海·阶段检测）已知，则（     ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【解析】 . 【典例1-2】求下列函数的导函数． (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）因为，所以． （2）因为，所以． （3）因为，所以． 【变式1-1】求下列函数的导数： (1)； (2) (3) (4)； (5)； (6) 【解析】（1）由，得. （2）由为常数，得. （3）由，得. （4）由，得. （5）由，得. （6）由，令，得， 则. 【变式1-2】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，. 选项A，为上的奇函数，且，，符合题意； 选项B，是非奇非偶函数，不合题意； 选项C，是定义在上的偶函数，不合题意； 选项D，是定义在上的奇函数，， ，不合题意. 【变式1-3】（2026·陕西宝鸡·三模）已知函数的图象如图所示，若，则下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得：，所以， 所以， 根据导数的几何意义得， 所以. 【变式1-4】已知函数满足，则在的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以， 即， 解得． 【变式1-5】已知数列中，，若函数的导数为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以.当时，， 所以. 因为也满足，所以.令， 则，，所以. 故选：B. 题型二：曲线切线方程的求解 【典例2-1】（2026·高三·河南驻马店·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，令，则，解得， 则曲线在处的切线的倾斜角为. 【典例2-2】曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于，故， 则处的切线斜率为， 又当时，， 故曲线在处的切线方程为. 【变式2-1】过点与曲线相切的直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设切点为， ，切线斜率，解得：，. 【变式2-2】过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 【答案】D 【解析】因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或． 【变式2-3】（2026·辽宁朝阳·二模）函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数，所以，则在处的切线斜率是， 函数过， 在处的切线方程是，即得. 题型三：以值代参法解决切线问题 【典例3-1】若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，求导得，则，而， 曲线在处的切线方程为，即， 设曲线在处的切线与曲线相切的切点为， 而，则且，于是， 解得，，即． 因此，令函数， 求导得，由，得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以的最大值为. 【典例3-2】已知不等式 在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】恒成立，则说明始终在上方或相切. 设曲线与直线切于点，因为， 则该点处切线斜率， ，且. . 设，则， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 所以. 【变式3-1】函数在处的切线方程为，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】，， 又函数在处的切线方程为， ，解得，则，， 将点代入切线方程得，即，故 【变式3-2】若直线与曲线相切，则（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【解析】由，求导得. 因为直线与曲线相切，设切点为， 则切线斜率，解得. 则切点为，则，解得. 【变式3-3】已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 设切线斜率为，则， 又因为切线与直线垂直， 所以，即，解得. 【变式3-4】（2026·陕西西安·模拟预测）若直线是曲线的切线，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】设，则． 设直线与曲线相切于横坐标为的点． 因为直线的斜率为，所以，即． 因此，解得． 切点同时在直线和曲线上，所以当时，两者的函数值相等，即． 整理得，解得． 题型四：借助切线模型求解距离最值 【典例4-1】点为曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】当过点的切线与直线平行时，点到直线的距离最小， 求导可得，设， 则，解得，代入可得， 点到直线的距离为， 所以点到直线距离的最小值为. 【典例4-2】若实数a、b、c、d满足，则的最小值为（       ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】A 【解析】因为，所以点在函数的图象上，点在直线即上， 当函数的图象过点的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，也即为的最小值， ，由得，， 到直线的距离为，所以， 所以的最小值为2. 【变式4-1】（2026·辽宁大连·一模）已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，进而， 又在上， 故的最小值可以看成是图像上的点离直线的最近距离的平方， ， 所以图像上离直线的最近的点为斜率为2的切线的切点 令， 即得，令，单调递增且， 所以，即切点横坐标为，切点为， 所以的最小值为. 【变式4-2】已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 求导得，直线斜率为， 当直线与曲线的切线平行时，最小，此时，解得， 故切点为， 则的最小值为切点到直线的距离， 即． 【变式4-3】（2026·湖南怀化·模拟预测）已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数得，即， 的反函数为. 由点在曲线上，知点在其反函数上， 相当于上的点到曲线上点的距离，即， 利用反函数性质可得与关于对称， 当与垂直时，取得最小值为2， 因此A，两点到的距离都为1. 过点作切线平行于直线，斜率为1， 由，得，可得， 所以，即， 点到的距离，解得. 当时，与相交，不合题意； 当时，与不相交，符合题意. 综上，. 题型五：曲线切线条数的判定 【典例5-1】已知函数，若过点可作曲线的3条不同切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数，设切点坐标为，求导得， 则切线方程为，由切线过点， 得，化简得， “过点可作曲线的3条不同切线”等价于“关于的方程有3个不同的实根”， 即函数的图象与直线有3个不同的交点， 求导得，当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，， 所以当时，直线与函数的图象有3个交点，对应3条不同的切线． 【典例5-2】若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设切点坐标为， 曲线的切线方程为， 即， 代入，得 ，该方程有三个不同的解，，． 令，， 令，则或， 当和时，，当时，， 知的增区间为，，减区间为， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则． 所以的取值范围是. 【变式5-1】已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（    ） A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】B 【解析】设过原点作函数的切线的切点为， 而，则， 因此切线方程为， 由切线过原点，得， 则或，当时，切线方程为； 由，得或， 当时，切线方程为； 当时，切线方程为， 所以过原点可作函数图象的切线条数为3. 【变式5-2】（2026·高三·山西太原·阶段检测）已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】由，定义域为， 导数，设切点为 ， 切线斜率为​， 则切线方程：，又切线过点 ， 代入整理得： 由题意对任意，方程关于仅有一个解， 即函数在上单调， 求导得： ​ ，又， 符号由分子 决定， 要让单调，需恒正或恒负对所有成立， 当时，恒成立，此时当时，恒正或恒负不成立， 当时，若恒正或恒负对所有成立， 需满足和有相同零点， 有正根​​，，得， 即，解得​； 此时 对所有恒成立， 仅处等号成立，在单调递减，且，， 故对任意，方程仅有一个解，符合要求； 因此. 【变式5-3】若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】对函数求导得，设切点坐标为 ， 则切线方程为 .因为切线经过原点， 将 代入得 ，即 . 而，那么，化简得， 由于曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线， 所以判别式，解得或. 【变式5-4】若过点可以作函数的三条不同的切线，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 代入点可得，即， 令，原题意等价于与有3个交点， 因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则的极小值为，极大值为， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 可得，所以t的取值范围是. 题型六：切线背景下的弦长问题 【典例6-1】（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，，，（点在直线下方），过点作直线，垂足为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，得，直线的方程为，即. 结合二次函数图像可知，当抛物线过点的切线与直线平行时，最大． 已知，则，令，则. 又，故切点坐标，此时. 即的最大值为. 【典例6-2】过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】由题意得，求导得， 设，则直线的斜率为， 所以切线的方程为，即， 代入化简可得，， 同理，切线满足， 所以是方程两个相异的实数根， 所以. 直线的斜率为， 所以直线的方程为，则， 由可得，即直线的方程为， 所以直线在轴上的截距为. 【变式6-1】（2026·高三·重庆·开学考试）已知函数 ，若直线 与 的图象分别交于 两点，则 的最小值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】因为，所以. 设， 对于，在点处的切线斜率为， 则切线方程为，即. 对于，在点处的切线斜率为， 则切线方程为，即. 当两切线平行且斜率相等时，最小，即两切线与直线垂直时，最小. 所以令，则；令，则. 此时. 所以. 故选：A. 【变式6-2】（2026·高三·江苏·开学考试）若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，若，则线段的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，令，得， 由，得曲线在处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，令，得， 所以，消去可得， 令，，则， 令，则， 令，得，即在上单调递减， 令，得，即在上单调递增， 又时，，故，即， 所以函数在上单调递减，且，所以，则， 所以，， 所以线段的长度为. 故选：C. 【变式6-3】（2026·广西南宁·三模）过点的直线l与曲线相切于点B，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】依题意，设，由， 则， 则， 化简得，解得，故， 故． 故选：B． 题型七：曲线间的公切线问题 【典例7-1】若函数的图象在点处的切线恰好与函数的图象切于点，则________________． 【答案】3 【解析】，则过点的切线方程为， 整理得①， ，则过点的切线方程为， 整理得②， 因为①②都是直线的方程，且①在轴上的截距为，②在轴上的截距为， 所以，即. 【典例7-2】若直线 是曲线的切线，也是曲线 的切线，则_____ 【答案】/ 【解析】设直线与曲线切于点， 与曲线切于点， 则有， 从而得到，，，． 所以切线方程，所以． 【变式7-1】已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则a的值为______． 【答案】0或1 【解析】设公共的切点为，则在函数中，当时，， 则在点处的切线方程为：， 在函数中，当时，， 同理可得在P点处的切线方程为：， 又两个函数在公共点处的切线重合，所以， 解方程组可得或，所以a的值为0或1． 【变式7-2】已知曲线：，：，若有且仅有一条直线同时与，都相切，则______． 【答案】 【解析】设直线与曲线相切于点． 因为，所以直线的斜率为． 所以直线的方程为 联立，整理得 所以 所以有唯一解． 设，则有唯一零点． ， 当时， 单调递减， 当时， 单调递增； 在处取得唯一极小值， 则， 解得． 【变式7-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 【答案】 【解析】对，求导得， 设切点为，切线斜率，解得，则切点为，切线方程为，满足条件. 对，求导得. 设切点为，则切线斜率为，所以，故切点坐标为， 代入切线中得，，则. 设另一条公切线与相切于，则切线方程为， 即. 设该公切线与相切于，则切线方程为， 即. 所以，解得或. 当时，对应切线方程为，即已知切线方程； 当时，对应切线方程为. 故另外一条公切线的方程为. 【变式7-4】（2026·河南·模拟预测）已知直线l与曲线和都相切，则直线l的方程为_________． 【答案】 【解析】设，与曲线联立，得，由，得． 直线l与曲线联立，得，显然，由，得． 所以， 化简得，又，所以，从而． 所以直线l的方程为，即． 【变式7-5】若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 【答案】 【解析】函数的定义域为，求导得 ， 当时，导数值 ，即切线斜率为； 由点斜式得切线方程为，整理为， 设直线与相切于点， 对，求导得， 由导数的几何意义，切点处导数值等于切线斜率，即 ，解得， 因此切点坐标为 ，又切点在切线上， 代入得： ，解得. 【变式7-6】（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】设曲线上的切点为，求导得， 则切线方程为，即， 设该切线与曲线切于点，求导得， 则切线方程为，即， ，即①，②， 把①代入②消去得，由得，解得， 令，则，代入①得， 令，问题转化为有2个不同解， 求导，时，，单调递增； 时，，单调递减； 最大值，和时，， ，， ，即． 题型八：切线相关的新定义问题 【典例8-1】牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿迭代法，这种方程求根的方法，在计算机等科学领域被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为的初始近似值.过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的一次近似值；过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的两次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列.这就是所谓的“牛顿迭代法”. （1）当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系：__________；（2）若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算方程正实根的两次近似值为__________（用分数表示）. 【答案】 / 【解析】第一空：由曲线在处的切线方程为：， 令，解得， 又曲线在处的切线方程为：， 令，解得， 由此推理得的次近似值与的次近似值的关系式为：； 第二空：方程正实根为， 设函数，则， 由， 当时，， . 【典例8-2】人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Isaac Newton，1643—1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与轴交于点，并称为的1次近似值；在点处作曲线的切线，设与轴交于点，称为的2次近似值.一般地，在点处作曲线的切线，记与轴交于点，并称为的次近似值.若函数，取作为的初始近似值，则的2次近似值为______. 【答案】 【解析】由得，，又，得， ∴在处的切线的方程为：，令，得到； 所以，得到，所以， ∴在处的切线的方程为：， 令，得到，故的2次近似值为. 【变式8-1】在计算机科学中，闵氏距离是机器学习算法的基础，常用于测量数据点之间的相似性或差异性．设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离为，其中表示阶数．若，，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】由已知可得， 所以可看作平面上的动点与动点之间的距离． 设，，则点在曲线上，点在直线上． 设曲线斜率为1的切线对应的切点为，则，所以，，则切线方程为． 直线与间的距离为，所以的最小值为． 故答案为：. 【变式8-2】（2026·山西·模拟预测）已知点，，定义为的“镜像距离”，若点在曲线上，则的“镜像距离”的最小值为______. 【答案】 【解析】设，， 易知函数的反函数为， 由点在曲线上可知点在函数上， 所以相当于上的点到曲线上点的距离， 又与的图象关于对称，所以的“镜像距离”的最小值为点到的距离的最小值的2倍. 由，得，令，解得， 又点到直线的距离， 所以的“镜像距离”的最小值为. 故答案为： 1．（2026·山西忻州·模拟预测）若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得． 切线与直线平行，所以切线斜率为3． 于是，解得．又． 切线方程为， 即． 2．如图，已知直线l是曲线在处的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知，曲线在处的切线过点和点， 则此切线的斜率为． 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由，得， 在处，，， 所以切线方程为， 即． 该切线经过点，故， 解得． 4．（2026·河北秦皇岛·三模）若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线与切于，与切于. 求导得，，因此公切线斜率， 整理得①. 的切线方程为； 的切线方程为. 同一直线截距相等，消去同类项得②， 将①代入②，得关于的函数. 对求导得，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此时取最小值，即. 5．已知函数，若函数在区间上单调递增，且曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，则， 若函数在区间上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 由，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以若函数在区间上单调递增，则， 若曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2， 即在恒成立，等价于在恒成立， 也即在恒成立， 令，则， 因为，所以恒成立，即函数在上单调递增， 所以， 所以若曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2， 则，所以要满足题意则，即实数的取值范围是. 6．（2026·山西忻州·模拟预测）曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由求导得. 则，. 所以曲线在处的切线方程为. 即. 该切线经过点，则得. 解得. 7．（2026·湖南·模拟预测）已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数，得， 设切点坐标为，则切线的斜率， 所以切线方程为，其中， 即切线方程为. 整理可得， 又因为直线与曲线相切， 所以，. 设，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故函数在时取极小值， 且当时，. 综上所述，函数的值域为，所以实数的取值范围. 8．若曲线在处的切线方程为，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】设，则， 由题意得，解得. 9．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】由函数的定义域为，，得函数的图象关于直线对称， 因此曲线在点处的切线与曲线在点处切线关于直线对称， 其斜率互为相反数，当时，，求导得，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 10．（多选题）设函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．直线是曲线的对称轴 C．直线是曲线的切线 D．有三个零点 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，所以， 当时，恒成立，则在区间上单调递增，故A正确， 对于B，由题意得，， 得到，则直线不是曲线的对称轴，故B错误， 对于C，设切点为，令， 得到，解得，则切点为， 可得切线方程为，化简得， 得到直线是曲线的切线，故C正确， 对于D，令，则， 因式分解得，解得或或， 则有三个零点，故D正确. 11．（多选题）（2026·广东茂名·二模）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，，，，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值．已知函数，则下列说法正确的是（     ） A． B．直线的方程为 C． D．设，，则 【答案】ACD 【解析】对于A，由题意得，， 则，故的切点为， 而，由导数的几何意义得的斜率为， 得到切线的方程为，化简得， 令，解得，故A正确. 对于B，，， 则的方程为，即，故B错误. 对于C， 由题意得在处的切线方程为， 而该方程必过，代入得到， 则，得到，C选项正确. 对于D，， 可得， 由已知得，则单调递增， 而，，得到， 由零点存在性定理得存在作为零点， 初始值，且（牛顿迭代值始终在零点右侧），故， 所以， 所以数列单调递减且无限趋近于， 故 ， 则，得到， 所以，故D正确. 12．（2026·山东聊城·二模）已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________. 【答案】 【解析】由题得，解得， 可得的定义域为. 又因为为偶函数，其定义域关于原点对称， 所以，则， 此时，满足为偶函数. 当时，，则， 所以， 则在处的切线方程为. 13．（2026·湖北襄阳·模拟预测）若函数的图象在处的切线过点，则_____________． 【答案】 【解析】，当时，切点坐标为， 求导得，则， 切线方程为：，即， 代入点得，，解得． 14．（2026·河南南阳·三模）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数_____. 【答案】 【解析】因为，所以，则， 切线斜率，切线方程：为，即， 设与相切于点， 因此，切点在切线上， ， 即. 15．设函数，曲线在处的切线方程为，则的值为______． 【答案】2e 【解析】因为函数，所以， 曲线在处的切线方程为， 所以有，即，解得， 所以． 16．若直线是函数图象的切线，则其切点坐标为________. 【答案】 【解析】设所求切点为，由于, 所以，解得： 则其切点坐标为 17．（2026·云南昭通·模拟预测）曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】由于，则， 故，故，所以， 代入，可得．又．故切线方程为，则． 18．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，设曲线在点处切线的斜率为．若均不相等，且，则的最小值为__________________． 【答案】9 【解析】已知函数，对函数求导得，， 根据导数的几何意义，有，，， 因为，所以， 令，， 则，因此，而，所以， 而，，, 代入，得，， 而由基本不等式得，， 当且仅当时取等， 故的最小值为 19．（2026·安徽·模拟预测）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】2 【解析】由，则，则在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 设切线与曲线的切点为， 又，得， 则切点处的斜率必为1，且切点在切线上， 则，解得， 所以． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1　导数的概念及其意义、导数的运算 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、导数定义与几何意义 3 知识点二、导数的计算 3 方法总结1：切线问题 4 03 真题回顾 6 04 经典题型归纳总结 8 题型一：导数的运算求解 8 题型二：曲线切线方程的求解 9 题型三：以值代参法解决切线问题 10 题型四：借助切线模型求解距离最值 10 题型五：曲线切线条数的判定 11 题型六：切线背景下的弦长问题 12 题型七：曲线间的公切线问题 12 题型八：切线相关的新定义问题 13 05 课后拓展精练 15 知识点一、导数定义与几何意义 1、①函数从到的平均变化率为：. 变式：. ②函数在处附近的平均变化率为：. ③平均变化率的几何意义：割线的斜率； 平均变化率的物理意义：平均速度（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）. 2、函数在处的瞬时变化率（导数）：. 几何意义：切线的斜率； 物理意义：瞬时速度（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）. 变式：①，②，③ 3、导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线上的点处切线的斜率 即，因此切线方程是：. 知识点二、导数的计算 1、基本初等函数的导数公式：①若，则，简记为为常数) ②若，则，简记为 ③若，则，简记为 ④若，则，简记为 ⑤若，则，简记为 ⑥若，则，简记为 ⑦若，则，简记为 ⑧若，则，简记为 2、和差积商法则：①；②； ③；④． 3、复合函数的求导法则： 复合函数的导数与函数，的导数间的关系是 方法总结1：切线问题 (1)在某点的切线方程 思路：函数在点处的切线方程为：，关键 (2)过某点的切线方程 思路：设切点为，则斜率 过切点的切线方程为，又因为切线方程过点 所以然后解出的值带入切线方程即可．（有几个值，就有几条切线） 过点与在点处的区别 在点处的切线指的是为切点的切线． 过点的切线是指切线过点，点是否切点均可，切线可多条． (3)公切线问题 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，求公切线 思路：设直线与和的切点分别为和， 写切线，， 化斜截：， 斜率相等，截距相等： 两个方程解两个未知数，解出，带入所写切线即可． (4)切线求参 ①已知切线的斜率，则由，可求出切点坐标． ②若在点处的切线过点，则． ③直线与二次函数或二次曲线相切时，用判别式法． 1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2021年全国新高考I卷数学试题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 4．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））函数的图像在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2026年高考上海卷数学高考真题（网络 收集版））已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 7．（2025年高考全国一卷数学真题）若直线是曲线的一条切线，则_________. 8．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 9．（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 10．（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 11．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 12．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）曲线在点处的切线方程为__________． 13．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 14．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； (2)求a的取值范围． 题型一：导数的运算求解 【典例1-1】（2026·高三·上海·阶段检测）已知，则（     ） A． B．3 C．6 D．9 【典例1-2】求下列函数的导函数． (1)； (2)； (3)． 【变式1-1】求下列函数的导数： (1)； (2) (3) (4)； (5)； (6) 【变式1-2】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·陕西宝鸡·三模）已知函数的图象如图所示，若，则下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】已知函数满足，则在的导数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】已知数列中，，若函数的导数为，则（    ） A．2 B． C． D． 题型二：曲线切线方程的求解 【典例2-1】（2026·高三·河南驻马店·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】过点与曲线相切的直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 【变式2-3】（2026·辽宁朝阳·二模）函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 题型三：以值代参法解决切线问题 【典例3-1】若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】已知不等式 在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】函数在处的切线方程为，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式3-2】若直线与曲线相切，则（ ） A． B． C．0 D．1 【变式3-3】已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2026·陕西西安·模拟预测）若直线是曲线的切线，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型四：借助切线模型求解距离最值 【典例4-1】点为曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【典例4-2】若实数a、b、c、d满足，则的最小值为（       ） A．2 B． C．4 D．8 【变式4-1】（2026·辽宁大连·一模）已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·湖南怀化·模拟预测）已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 题型五：曲线切线条数的判定 【典例5-1】已知函数，若过点可作曲线的3条不同切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（    ） A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条 【变式5-2】（2026·高三·山西太原·阶段检测）已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式5-3】若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式5-4】若过点可以作函数的三条不同的切线，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：切线背景下的弦长问题 【典例6-1】（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，，，（点在直线下方），过点作直线，垂足为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D．2 【变式6-1】（2026·高三·重庆·开学考试）已知函数 ，若直线 与 的图象分别交于 两点，则 的最小值为（    ） A． B．2 C． D．1 【变式6-2】（2026·高三·江苏·开学考试）若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，若，则线段的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【变式6-3】（2026·广西南宁·三模）过点的直线l与曲线相切于点B，则（   ） A．1 B． C．2 D． 题型七：曲线间的公切线问题 【典例7-1】若函数的图象在点处的切线恰好与函数的图象切于点，则________________． 【典例7-2】若直线 是曲线的切线，也是曲线 的切线，则_____ 【变式7-1】已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则a的值为______． 【变式7-2】已知曲线：，：，若有且仅有一条直线同时与，都相切，则______． 【变式7-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 【变式7-4】（2026·河南·模拟预测）已知直线l与曲线和都相切，则直线l的方程为_________． 【变式7-5】若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 【变式7-6】（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 题型八：切线相关的新定义问题 【典例8-1】牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿迭代法，这种方程求根的方法，在计算机等科学领域被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为的初始近似值.过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的一次近似值；过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的两次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列.这就是所谓的“牛顿迭代法”. （1）当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系：__________；（2）若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算方程正实根的两次近似值为__________（用分数表示）. 【典例8-2】人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Isaac Newton，1643—1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与轴交于点，并称为的1次近似值；在点处作曲线的切线，设与轴交于点，称为的2次近似值.一般地，在点处作曲线的切线，记与轴交于点，并称为的次近似值.若函数，取作为的初始近似值，则的2次近似值为______. 【变式8-1】在计算机科学中，闵氏距离是机器学习算法的基础，常用于测量数据点之间的相似性或差异性．设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离为，其中表示阶数．若，，，则的最小值为______． 【变式8-2】（2026·山西·模拟预测）已知点，，定义为的“镜像距离”，若点在曲线上，则的“镜像距离”的最小值为______. 1．（2026·山西忻州·模拟预测）若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线l是曲线在处的切线，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2026·河北秦皇岛·三模）若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 5．已知函数，若函数在区间上单调递增，且曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·山西忻州·模拟预测）曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·湖南·模拟预测）已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若曲线在处的切线方程为，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 9．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．2 B．1 C． D． 10．（多选题）设函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．直线是曲线的对称轴 C．直线是曲线的切线 D．有三个零点 11．（多选题）（2026·广东茂名·二模）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，，，，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值．已知函数，则下列说法正确的是（     ） A． B．直线的方程为 C． D．设，，则 12．（2026·山东聊城·二模）已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________. 13．（2026·湖北襄阳·模拟预测）若函数的图象在处的切线过点，则_____________． 14．（2026·河南南阳·三模）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数_____. 15．设函数，曲线在处的切线方程为，则的值为______． 16．若直线是函数图象的切线，则其切点坐标为________. 17．（2026·云南昭通·模拟预测）曲线在点处的切线方程为______． 18．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，设曲线在点处切线的斜率为．若均不相等，且，则的最小值为__________________． 19．（2026·安徽·模拟预测）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $