2025-2026学年高二上学期开学模拟测试数学试题（人教A版2019必修第二册）（新高考区通用）

2025-2026学年第一学期高二年级开学模拟测试题数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则在复平面内表示的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量若则的值为（   ） A． B．0 C． D． 3．现有5张卡片，其中有2张印有“立”字，其余3张分别印有“德”、“树”、“人”．将这5张卡片随机排成一行，则恰有连续4张卡片从左往右依次为“立”、“德”、“树”、“人”的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．在中，已知三个内角为满足，则三角形的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．在中，角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是平面内的一个基底，则下列也是平面内一个基底的是（    ） A． B． C． D． 10．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ） A．图（1）的平均数中位数众数 B．图（2）的平均数<众数<中位数 C．图（2）的众数中位数<平均数 D．图（3）的平均数中位数众数 11．在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面截长方体所得截面的面积为 C．直线与所成角为60° D．三棱锥的体积为4 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．一次考试，小明数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是0.6，则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是 ． 13．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若在的中点，则 . 14．在锐角中，角A，，所对边的分别为，，，已知边长，，则A= ；周长的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知复数，且为纯虚数． (1)求复数z；(2)若复数，求以及它的共轭复数． 16．如图，三棱锥中，平面，，为中点，为中点，为中点. (1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．甲、乙两位同学进行跳绳比赛，比赛规则如下：进行两轮跳绳比赛，每人每轮比赛在规定时间内跳绳200次及以上得1分，跳绳不够200次得0分，两轮结束总得分高的为跳绳王，得分相同则进行加赛直至有一方胜出为止.根据以往成绩分析，已知甲在规定时间内跳绳200次及以上的概率为，乙在规定时间内跳绳200次及以上的概率为，且每轮比赛中甲、乙两人跳绳的成绩互不影响. (1)求两轮比赛结束乙得分为1分的概率； (2)求不进行加赛甲就获得跳绳王的概率. 18．某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.    (1)求实数a的值； (2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (3)现在要从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间的概率. 19．设是半径为1的圆O内接正2024边形，M是圆O上的动点．    (1)求的取值范围； (2)试探究是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年第一学期高二年级开学模拟测试题数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则在复平面内表示的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量若则的值为（   ） A． B．0 C． D． 3．现有5张卡片，其中有2张印有“立”字，其余3张分别印有“德”、“树”、“人”．将这5张卡片随机排成一行，则恰有连续4张卡片从左往右依次为“立”、“德”、“树”、“人”的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．在中，已知三个内角为满足，则三角形的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．在中，角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是平面内的一个基底，则下列也是平面内一个基底的是（    ） A． B． C． D． 10．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ） A．图（1）的平均数中位数众数 B．图（2）的平均数<众数<中位数 C．图（2）的众数中位数<平均数 D．图（3）的平均数中位数众数 11．在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面截长方体所得截面的面积为 C．直线与所成角为60° D．三棱锥的体积为4 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．一次考试，小明数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是0.6，则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是 ． 13．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若在的中点，则 . 14．在锐角中，角A，，所对边的分别为，，，已知边长，，则A= ；周长的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知复数，且为纯虚数． (1)求复数z；(2)若复数，求以及它的共轭复数． 16．如图，三棱锥中，平面，，为中点，为中点，为中点. (1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．甲、乙两位同学进行跳绳比赛，比赛规则如下：进行两轮跳绳比赛，每人每轮比赛在规定时间内跳绳200次及以上得1分，跳绳不够200次得0分，两轮结束总得分高的为跳绳王，得分相同则进行加赛直至有一方胜出为止.根据以往成绩分析，已知甲在规定时间内跳绳200次及以上的概率为，乙在规定时间内跳绳200次及以上的概率为，且每轮比赛中甲、乙两人跳绳的成绩互不影响. (1)求两轮比赛结束乙得分为1分的概率； (2)求不进行加赛甲就获得跳绳王的概率. 18．某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.    (1)求实数a的值； (2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (3)现在要从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间的概率. 19．设是半径为1的圆O内接正2024边形，M是圆O上的动点．    (1)求的取值范围； (2)试探究是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$峡考域锦标记 20242025学年第二季期高二年级期末校测校数试恩数学荐题 姓名 年线： 零导 考场： ■■ 主现速必质使用肌5毫来男色菱学笔填写 不斜能可除支被。修正带。 料在甘打分有林。 . 保持卡面清请，要折叠。不授秀破 口 口 单选通40分) 1D四D5四D0可50口四D，DgD :0可动可4刀□用四6刀网四DD同门 二 多选明口分 ，口0网回m▣口间四韩▣口▣四 三，填室题05分 12 网：解答题77分) 1503分) 请在各题里的管道区城内件答超由的诊整案无数第美（共4到 161分1 1门45分 随在条题时的荐想区城内样答超由西模的荐案无效口有男」 清使其卫明笔殖隆法弄速答者选项是考号 ■ 1返07分) 速在条烟理的爷道区城内州答由边模的养案无效中灯果」 41 ■ 1917分1 菌在条粗理的若避区内作答面由西模的萨家见效第4有男) 4 2025-2026学年第一学期高二年级开学模拟测试题数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则在复平面内表示的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】化为的形式，结合复数的几何意义确定所在象限. 【详解】依题意， 复数的对应点在第二象限， 故选：B. 2．已知向量若则的值为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】先利用平面向量的线性运算求出，再利用向量平行的条件列方程求解即可. 【详解】因为向量 所以， 又因为 所以， 解得， 故选：A. 3．现有5张卡片，其中有2张印有“立”字，其余3张分别印有“德”、“树”、“人”．将这5张卡片随机排成一行，则恰有连续4张卡片从左往右依次为“立”、“德”、“树”、“人”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将这5张卡片随机排成一行，共有种方法，恰有连续4张卡片从左往右依次为“立”、“德”、“树”、“人”的情况有2种方法，再由古典概型可得答案. 【详解】将这5张卡片随机排成一行，分两步进行： 首先选两个位置为“立”，共有种方法； 其次另外三个位置，将“德”、“树”、“人”全排列，共有种方法， 所以将这5张卡片随机排成一行，共有种方法， 恰有连续4张卡片从左往右依次为“立”、“德”、“树”、“人”的情况有： “立”、“立”、“德”、“树”、“人”； “立”、“德”、“树”、“人”、“立”，共两种， 所以恰有连续4张卡片从左往右依次为“立”、“德”、“树”、“人”的概率为， 故选：B. 4．已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出，利用投影向量求解公式得到答案. 【详解】平面向量， ， 所以向量在上的投影向量为． 故选：C． 5．在中，已知三个内角为满足，则三角形的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】利用正弦定理角化边，再根据余弦定理计算即可. 【详解】由正弦定理可知， 不妨设，则， 显然，则，所以. 故选：A 6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】试题分析：若，，则或，故A错误；若，，则的关系不确定，故B错误；若，，则或相交，故C错误；故选D． 考点：空间中线面的位置关系． 7．在中，角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用正弦定理求得，再利用余弦定理求得，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 又由余弦定理，可得， 因为，所以. 故选：B. 8．已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相切结合勾股定理可得，即可求解，由圆台和球的体积公式即可求解. 【详解】设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图： 的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6， 则，解得， 故所求体积之比为 故选：B    二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是平面内的一个基底，则下列也是平面内一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据向量是否共线即可结合选项判断. 【详解】对于A，由于，故共线，不能成为基底， 对于B，不共线，可以作为基底， 对于C，由于，所以共线，故不可以作为基底， 对于D，不共线，可以作为基底， 故选：BD 10．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ） A．图（1）的平均数中位数众数 B．图（2）的平均数<众数<中位数 C．图（2）的众数中位数<平均数 D．图（3）的平均数中位数众数 【答案】ACD 【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：ACD. 11．在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面截长方体所得截面的面积为 C．直线与所成角为60° D．三棱锥的体积为4 【答案】ACD 【分析】由，，所以，即可判断选项A；根据可知平面截长方体所得截面为梯形，计算其面积可以判断选项B；取的中点，则，则即为异面直线与所成的角，在中求，即可判断选项C；利用即可计算选项体积，判断选项D. 【详解】 对于选项A：由，，所以，平面， 平面，即可得平面，故选项A正确； 对于选项B：因为平面平面，平面截长方体所得截面为平面，由面面平行的性质定理可得：，故四边形为梯形，又因为，，梯形的高为 ，所以梯形面积为，故选项B不正确； 对于选项C：取的中点，则，则即为异面直线与所成的角，在中，，所以，故选项C正确； 对于选项D： ，故选项D正确， 故选：ACD 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．一次考试，小明数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是0.6，则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是 ． 【答案】/ 【分析】利用概率加法公式直接求解即可. 【详解】因为一次考试中，小明数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是0.6， 所以他的数学和物理至少有一门超过90的概率为. 故答案为：. 13．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若在的中点，则 . 【答案】8 【分析】可分别构造与，分别求得的长度以及、，根据数量积的定义以及运算律即可求得；也可取中点为，构造，求出以及的值.又，根据数量积的定义即可求得. 【详解】方法一： 图3 如图3，取中点为，连结，显然过点. 易知，，， 则，，. 所以，. 图4 如图4，延长交于，易知是的中点，且. 则，， 在中，，. 所以，. 所以，. 故答案为：8. 方法二： 图5 取中点为，连结，显然过点. 易知，，， 如图5，取中点为，显然，，. 在中，，. 又为中点，则. 所以，. 故答案为：8. 14．在锐角中，角A，，所对边的分别为，，，已知边长，，则A= ；周长的取值范围为 ． 【答案】 . 【分析】（1）利用三角函数恒等变形得到，即可求出； （2）利用正弦定理把周长转化为，利用三角函数求出范围. 【详解】因为，所以，所以. 所以可化为，即. 因为为锐角三角形，所以，所以，即. 因为，所以. 因为为锐角三角形，所以，解得：. 由正弦定理得：,即，所以 . 所以周长: 因为，所以，所以， 所以，所以. 即周长的范围为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知复数，且为纯虚数． (1)求复数z； (2)若复数，求以及它的共轭复数． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）化简得到，根据纯虚数，得到方程，求出，得到答案； （2）利用复数除法法则得到，利用模长公式和共轭复数得到答案. 【详解】（1）， 由于为纯虚数，故且， 解得，所以； （2）， 故，. 16．如图，三棱锥中，平面，，为中点，为中点，为中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连，利用三角形中位线性质，线面平行的判定推理即得. （2）根据给定条件，作出三棱锥底面上的高，利用几何法求出线面角的正弦. 【详解】（1）连，由为中点，为中点，得， 又平面，平面， 所以平面. （2）设，由平面，平面， 得，则，取中点，则， 又平面，则平面， 又平面，于是平面平面，又平面面， 过点在平面内作于，于是平面，连，    则为直线与平面所成的角， 在中，，，， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值. 17．甲、乙两位同学进行跳绳比赛，比赛规则如下：进行两轮跳绳比赛，每人每轮比赛在规定时间内跳绳200次及以上得1分，跳绳不够200次得0分，两轮结束总得分高的为跳绳王，得分相同则进行加赛直至有一方胜出为止.根据以往成绩分析，已知甲在规定时间内跳绳200次及以上的概率为，乙在规定时间内跳绳200次及以上的概率为，且每轮比赛中甲、乙两人跳绳的成绩互不影响. (1)求两轮比赛结束乙得分为1分的概率； (2)求不进行加赛甲就获得跳绳王的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互斥事件加法概率公式和相互独立事件乘法概率公式求解即可； （2）根据互斥事件加法概率公式和相互独立事件乘法概率公式求解即可. 【详解】（1）设“甲第轮得一分”，设“乙第i轮得一分”， 设“两轮比赛甲得分”，设“两轮比赛乙得分”， 则 所以两轮比赛结束乙得分为1分的概率为； （2）设“不进行加赛甲就获得跳绳王”.由题意， ， ， 则 =++= 所以不进行加赛甲就获得跳绳王的概率为. 18．某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.    (1)求实数a的值； (2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (3)现在要从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间的概率. 【答案】(1) (2)（万元） (3) 【分析】（1）由频率分布直方图列方程，能求出实数a的值； （2）利用频率分布直方图能求出平均数的估计值； （3）从购车补贴金额的心理预期值在[3，5)间用分层抽样的方法抽取6人，则购车补贴金额的心理预期值在[3，4)间的有4人，记为，购车补贴金额的心理预期值在[4，5）间的有2人，记为A，B，通过列举法求出抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4)间的概率. 【详解】（1）由题意知，， 解得； （2）平均数的估计值为 (万元) （3）从购车补贴金额的心理预期值在[3，5)间用分层抽样的方法抽取6人， 则购车补贴金额的心理预期值在[3，4）间的有4人，记为， 购车补贴金额的心理预期值在[4，5）间的有2人，记为A，B，则基本事件有: 共15种情况， 其中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间有共6种情况， 所以抽到的2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间有6种情况， 所以抽到的2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3 ,4)间的概率为 19．设是半径为1的圆O内接正2024边形，M是圆O上的动点．    (1)求的取值范围； (2)试探究是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，4048 【分析】（1）根据向量加法的多边形法则，化简可得原式.然后根据已知，即可得出答案； （2）根据已知可得出， .根据向量的减法运算可得，代入原式，根据数量积的运算律展开化简，即可得出，进而得出答案. 【详解】（1）由已知可得，. 因为是半径的圆O内接正2024边形，M是圆O上的动点， 所以， 所以，． （2）是定值，定值为4048. 因为是半径为1的圆O内接正2024边形， 所以，， 所以，， 所以 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$