暑假提优作业：综合复习2025-2026学年数学八年级下册人教版

**基本信息** 聚焦八年级下册核心知识，通过区域期末真题构建“定义-性质-应用”解题体系，强化统计直观、代数推理与几何转化能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计与概率|3题（含箱线图分析）|众数定义直接应用、合格率计算|从数据收集到统计量分析的完整逻辑链| |代数运算|5题（含二次根式化简）|分母有理化分步操作、分式化简求值步骤|二次根式性质到代数式运算的递进| |几何综合|7题（含平行四边形证明）|角平分线+平行四边形性质转化、菱形中构造全等|从基本图形性质到复杂推理的迁移| |函数应用|5题（含一次函数图像）|函数图像交点与不等式解集互化|函数表达式与图像特征的对应关系|

暑假提优作业：综合复习-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．（25-26八年级下·广东珠海·期末）《黄河大合唱》中有部分简谱的旋律如图所示，当中出现音符的众数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．（25-26八年级下·广东珠海·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东汕头·期末）已知八年级班和班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．班和班成绩的中位数不相同 B．班成绩的上四分位数是90分 C．班同学的成绩没有120分的 D．班成绩最低分是45分 4．（25-26八年级下·广东汕头·期末）下列各组数中，属于勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（25-26八年级下·广东汕头·期末）如图，在中，过点的直线，垂足为，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图，对角线和相交于点．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 7．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，，，根据尺规作图的痕迹作射线，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·广东广州·期末）实数，在数轴上的位置如图所示，化简（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，平行四边形的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）如图，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断正确的是（    ） A．关于的不等式的解集是 B．关于的不等式的解集是 C．关于的方程组的解是 D．关于的方程组的解是 二、填空题 11．（25-26八年级下·广东珠海·期末）请写出一个只过第二、四象限的正比例函数_____________． 12．（25-26八年级下·广东珠海·期末）若是整数，正整数的最小值是_______． 13．（25-26八年级下·广东汕头·期末）点，在直线上，则，的大小关系是________． 14．（25-26八年级下·广东汕头·期末）如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为________． 15．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知点，，若直线与线段有公共点，则的范围为_______． 16．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 三、解答题 17．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期末）计算： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 18．（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图，在平行四边形中，平分，已知，，． (1)求的长； (2)若，求的度数（结果用表示） 19．（25-26八年级下·广东珠海·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 20．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）已知：如图，一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积； (3)结合图象，直接写出时，x的取值范围． 21．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球选修课程．学校需购进一批篮球、足球．若购买足球数量是篮球数量的2倍，购买足球用了6000元，购买篮球用了2000元，足球单价比篮球单价贵40元． (1)求足球、篮球的单价分别是多少元． (2)学校计划采购足球、篮球共60个，并要求足球不少于25个，且总费用不多于6000元．有几种购买方案？并求出购买资金最少为多少元？ 22．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）综合与实践 (1)如图1，正方形的对角线相交于点，又是正方形的一个顶点，已知正方形的面积为4，求两个正方形重叠部分的面积（阴影部分面积）． (2)如图2，连接，若正方形的顶点B在线段上，则线段，，满足关系，请你给出证明． (3)如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，请判断与的数量关系，并说明理由． 23．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期末）4月 24 日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）．数据整理如图表： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 7.55 7.55 中位数 8 c 众数 a 7 合格率 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)写出统计表中a、b、c的值； (2)若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数． 24．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点，直线与轴交于点，与直线交于点，且直线是由直线平移而得到的． (1)求点，点的坐标； (2)当时，求点的坐标； (3)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，求的取值范围． 25．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）【教材再现】如图1，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证．（提示：取的中点G，连接．） (1)请你根据提示，完成证明． 【类比分析】 (2)如图2，四边形是正方形，点E是边上的一点，连接，作，且，连接，则_______． 【学以致用】 (3)如图3，四边形是菱形，，点E是边上的一点，且，，交边于点P，连接，若，，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假提优作业：综合复习-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C B C D D C A 1．D 【分析】根据众数的定义求解即可． 【详解】解：简谱中音符5出现的次数最多为4次，所以众数是5． 2．C 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，被开方数是能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式； B、，被开方数含有分母，因此不是最简二次根式； C、满足最简二次根式的两个条件，因此是最简二次根式； D、，被开方数含有分母，因此不是最简二次根式． 3．A 【详解】解：A、由箱线图可得，班和班成绩的中位数相同，都为75，故A错误； B、班成绩的上四分位数是90分，故B正确； C、班同学的成绩都小于120分，没有120分的，故C正确； D、班成绩最低分是45分，故D正确． 4．C 【分析】勾股数是满足较小两个数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，三个数为，，，，，，不是勾股数，不符合题意； 选项B，，，，不是勾股数，不符合题意； 选项C，三个数都是正整数，，，，满足勾股数定义，符合题意； 选项D，，，不是正整数，不符合勾股数定义，不符合题意． 5．B 【分析】根据平行四边形的性质和三角形内角和定理，即可求解答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 6．C 【详解】解：A. ∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； B. ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； C.∵， ∴， 加上条件，不能得出四边形是平行四边形，符合题意；     D. ，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 7．D 【分析】先由勾股定理求解，然后证明，再通过设未知数，结合面积法得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 过点作于点，则， 由作图可得平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则 ∵ ∴ 解得 ∴． 8．D 【分析】根据数轴判断、的大小关系，确定的符号，利用二次根式的性质及绝对值的性质进行化简． 【详解】解：由数轴可知． ∴ ∴． 9．C 【分析】由平行四边形性质及角平分线可得为等边三角形，结合可得为中点，进而判定①；由三角形内角和可得，从而判定②；由中线性质判定③；由中位线定理及直角三角形边角关系判定④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，； 平分，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴，即点是的中点， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴ ∴是直角三角形，且， ∴， ∴，故②正确； ∵是的中点， ∴，，故③正确； ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上，正确的结论有①②③，共3个． 10．A 【分析】根据函数图象交点坐标即为对应方程组的解，以及函数图象的上下位置关系确定不等式的解集，逐一判断即可． 【详解】解：由图可得，当时，的图象在的图象上方， 关于的不等式的解集是， 故A选项判断正确，B选项判断错误； 两个函数图象相交于点， 关于的方程组的解是， 故C，D选项判断错误． 11．（答案不唯一） 【分析】根据正比例函数的定义和图象性质，正比例函数的一般形式为．确定比例系数的取值范围，即可写出符合要求的函数． 【详解】解：根据正比例函数的图象性质，若正比例函数图象只经过第二，四象限，则比例系数． 任意取满足的值，例如取，即可得到符合条件的正比例函数． 故答案为（答案不唯一） 12．2 【分析】先化简二次根式，根据二次根式的性质，若二次根式的结果为整数，则被开方数需为完全平方数，据此找出满足条件的最小正整数． 【详解】解：， 是整数，是正整数， 必须是完全平方数， ∴最小的正整数为． 13． 【分析】先根据一次函数解析式的一次项系数判断函数的增减性，再比较两个点的横坐标大小，即可得到纵坐标的大小关系. 【详解】解：对于一次函数 ，其一次项系数 ， 根据一次函数的性质，当 时， 随 的增大而减小， ∵点 ， 在该直线上，两个点的横坐标分别为 和 ， ∵ ， ∴. 14． 【分析】连接、，由直角三角形的性质可得，过点作于点，则，由勾股定理可得，再由垂线段最短即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵，是对角线的中点，， ∴，， ∴， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴由垂线段最短可得，当时，有最小值为． 15． 【分析】计算可得点在直线上方，只要使得点在直线上或者下方即可． 【详解】解：当时，， ∴要使得直线与线段有公共点，则． 16． 【分析】根据勾股定理可得，则有，然后根据割补法可进行求解． 【详解】解：在中，， ∴由勾股定理得：， ∵以的三边为边作正方形，正方形，正方形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 17．(1) (2) (3)化简结果为，值为 【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）利用完全平方公式展开计算，再算二次根式除法，最后合并； （3）先通分计算括号内的分式运算，将除法转化为乘法约分化简，再代入数值计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 当时，原式 18．(1) (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，结合角平分线的性质和等角对等边即可解答； （2）先根据勾股定理逆定理得是直角三角形，再结合角平分线的性质，三角形内角的相关计算即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形 ， 又平分 （2）解： ，即， 是直角三角形 ． 19．(1) (2) 【分析】（1）（2）根据分母有理化的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）联立两个函数的解析式，即可求出交点坐标； （2）分别求出点和点的坐标，再求出的面积即可； （3）根据的图象不高于的图象部分的自变量取值求解即可． 【详解】（1）解：联立一次函数与， 则，解得：， 点A的坐标为； （2）解：将代入，得，解得：， ， 将代入，得，解得：， ， 的面积； （3）解：由图象可知，在点以及点的左侧，的图象不高于的图象， ∴当时，的取值范围为． 21．(1)篮球的单价是80元，足球的单价是120元； (2)有6种购买方案，购买资金最少元 【分析】（1）设篮球的单价是元，则足球的单价是元，根据“购买足球数量是篮球数量的2倍，购买足球用了6000元，购买篮球用了2000元”列分式方程求解即可； （2）设采购篮球个，则采购足球为个，根据“足球不少于25个，且总费用不多于6000元”列不等式组求出的取值范围，进而得到购买方案；设购买资金为，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设篮球的单价是元，则足球的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价是80元，足球的单价是120元； （2）解：设采购篮球个，则采购足球为个， 由题意得：， 解得：， 又∵为整数， ∴的值可为30，31，32，33，34，35， ∴共有6种购买方案： ①采购篮球30个，足球30个； ②采购篮球31个，足球29个； ③采购篮球32个，足球28个； ④采购篮球33个，足球27个； ⑤采购篮球34个，足球26个； ⑥采购篮球35个，足球25个； 设购买资金为， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴时，购买资金最少，为（元）． 22．(1)1 (2)证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 根据正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； (3)解：，理由： 如图所示，连接，过点作于点，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴. 【分析】（1）证明，得出，进而可得，即可求解； （2）连接，证明得出相等的角，得出是直角三角形，然后利用勾股定理证明； （3）连接，过点作于点，过点作于点，由角平分线的性质得，根据角的和差得到，再证明，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，，， ， ， 四边形是正方形， ． ， ， ， ， ， ， ， ； （2）略； （3）略． 23．(1)8；；7.5 (2)510人 【分析】（1）根据七年级扇形统计图中8分占的百分比最大，即可求得a的值；求出不合格率，即可求得合格率b；由八年级学生成绩统计图知，5分、6分、7分的学生共有10人，而中间位置的两个数是按从小到大排列后的第10、11两个分数的平均数，由此可求得c；　 （2）600乘合格率即可； 【详解】（1）解：由七年级扇形统计图中8分占的百分比最大，即8分出现的次数最多， 故； 6分及6分以上的合格率； 由八年级学生成绩统计图知，5分、6分、7分的学生分别为3人、2人、5人，共有10人，而中间位置的两个数是按从小到大排列后的第10、11两个分数，分别是7分、8分， 故； （2）解：（人）； 答：估计该校八年级学生成绩合格的人数是510人； 24．(1)点的坐标为，点的坐标为； (2)点的坐标为或； (3)b的取值范围是． 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）根据题意求得点的坐标为或，再分情况讨论，联立求解即可； （3）根据题意列式求解即可． 【详解】（1）解：令，则，解得， 令，则， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：∵直线是由直线平移而得到的， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为或，即点的坐标为或， 当点的坐标为时，则， 解得， ∴， 联立得，解得， ∴点的坐标为； 当点的坐标为时，则，解得， ∴， 联立得，解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）解：当时，， 当时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值， 且直线随x的增大而减小，直线随x的增大而增大， ∴直线在处的函数值必须大于或等于直线在处的函数值， ∴， 解得． 25．(1)证明：如图，取的中点G，连接， 四边形为正方形， ，， 点E，G分别是边，的中点， ，， ， ， 又， ， ， 平分的外角， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）取中点G，由正方形性质得到，推出，再利用同角的余角相等通过证，证得； （2）在上截取，利用同角的余角相等通过证得到，由得是等腰直角三角形，利用勾股定理得出，从而可推出的值； （3）在上截取，通过证得到​，设，则，，通过证得到，在中利用勾股定理列式解出的值，得到，再根据菱形条件知为等边三角形算出、，最后在中由勾股定理算出． 【详解】（1）略 （2）解：如图，取，连接， 四边形为正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ，即， 在中，， 由勾股定理得， ， ； （3）解：如图，在边上截取，连接，过点A作于点M，连接，过点B作于点N， 在和中， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ，即， 四边形是菱形，， ， ∴，， ，，， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，解得，（舍去）， ，， ∵在菱形中，，， 是等边三角形，， ， ， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形， ， 在中，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $