专题提优：二次根式-暑假复习专项 2025-2026学年人教版 数学八年级下册

**基本信息** 聚焦二次根式概念-性质-应用逻辑链，通过分层题型系统提炼化简求值、对偶式构造等8类解题方法，渗透抽象与推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选题1/7|定义判断法（最简二次根式两条件）|从概念本质到易错点辨析| |性质应用|填空题11/14|公式变形法（同类根式/数轴化简）|性质推导到符号运算| |运算技巧|解答题17/22|新定义转化法（对偶式/自定义运算）|法则应用到技巧创新| |实际应用|解答题8/19|模型代入法（秦九韶公式/刹车距离）|数学建模到问题解决| |规律探究|解答题20/21|归纳推理法（穿墙现象/最值规律）|特殊到一般的推理过程|

专题提优：二次根式-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）暑假复习专项 一、单选题 1．有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 3．当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 4．估计的值应在（        ）之间 A．7和8 B．8和9 C．9和10 D．10和11 5．若的整数部分是a，小数部分是b，求的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 6．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 7．下列运算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 9．下表是综合实践小组填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量河内小岛B到河边公路的距离 测量目标 示意图    相关数据 米 则小岛B到公路的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 10．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 二、填空题 11．与最简二次根式是同类二次根式，则________． 12．满足的整数是________． 13．若，则的值为______． 14．实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简_________． 15．如图1，土楼是中国传统的夯土民居建筑，图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环．已知大圆和小圆的面积分别为和，则圆环的宽度________ ．（，结果化为最简二次根式） 16．如图，正方形A、B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小，则甲面积______乙面积．（填“大于”、“小于”或“等于”） 三、解答题 17．计算： (1) (2)． 18．先化简，再求值：，其中． 19．根据刹车后车轮的滑动距离可以估计车辆的速度，所用公式是，其中v表示车速（单位：），g表示重力加速度，取，d表示刹车后车轮的滑动距离（单位：m），μ表示摩擦系数．在某次交通事故中，测得，．已知该路段限速，该汽车超速了吗？请说明理由． 20．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： ，等． (1)【猜想】___________，并证明你的猜想； (2)【推理证明】请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． (3)【创新应用】按此规律，若（，为正整数），求的平方根. 21．阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时， ；，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_________； (2)当时，求当取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 22．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效地去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 ， 所以． 请你根据上面材料提供的方法解决下列问题： (1)已知：，求的值； (2)计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题提优：二次根式-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）暑假复习专项》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D B D C B B B 1．B 【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐一判断每个二次根式是否为最简二次根式． 【详解】解：根据最简二次根式的定义分析各根式： ①：​，被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意； ②：被开方数不含分母，且和都不能开得尽方，符合最简二次根式的条件，符合题意； ③：被开方数不含分母，且无法分解出能开得尽方的因式，符合最简二次根式的条件，符合题意； ④：被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意． 综上，是最简二次根式的有②③，共个． 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个核心条件，逐一分析被开方数的形式． 2．C 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是关键．将化为分数形式，利用二次根式的性质进行化简，并结合给定的a和b表示即可． 【详解】解：，， ． 故选：C． 3．C 【分析】此题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键．先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及无理数的估算．先根据二次根式的混合运算进行计算，然后通过平方数估计无理数的范围，从而确定整体值的区间． 【详解】解∶ ∵，， ∴， ∴， ∴． 因此，的值在10和11之间， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，估算出，从而可得，，代入所求式子计算即可得解，正确估算出是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵的整数部分是a，小数部分是b， ∴，， ∴， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查二次根式的运算和分式的化简，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据二次根式的运算和分式的化简法则逐项进行判断，分式化简时，需确保分子和分母有公因式才能约分，否则可能导致错误． 【详解】解：A. ，该选项计算正确，不符合题意； B. ，该选项计算正确，不符合题意； C.当时， ，该选项计算错误，符合题意； D. ，该选项计算正确，不符合题意； 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键． 把的值代入所给公式即可求解． 【详解】解：将代入公式得， ． 故选：B． 9．B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解题关键． 作于点E，作，在上，则，设，表示，，再进一步求解即可． 【详解】解：作于点E，在上取点F，使得，则， 设， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴小岛B到公路的距离为：（米）. 故选：B 10．B 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加减运算．根据定义，分别计算和，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴ ． 故选：B． 11． 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， 二者最简形式的被开方数相同，即， 解得． 12． 【分析】先将变形为，再估算无理数的大小，确定在哪两个相邻整数之间，即可得到整数的值. 【详解】解：， ， ， ，且为整数， . 13．4052 【分析】利用完全平方公式对已知条件变形，化简得到的结果，再进行开方计算即可． 【详解】解：， 设，则，， ∴， ， ． 14． 【详解】解：由数轴得，，， ∴ ． 15． 【分析】根据圆的面积公式分别求出大圆和小圆的半径，再利用圆环宽度等于大圆半径减去小圆半径进行计算． 【详解】解：设大圆的半径为 ，小圆的半径为， 由题意得 ，， 解得，， ． 16．大于 【分析】根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到，然后由进而求解即可． 【详解】解：∵正方形A，B的面积分别为和， ∴正方形A，B的边长分别为和， 根据题意得，矩形甲的面积为：； 矩形乙的面积为：； ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴矩形甲的面积大于矩形乙的面积． 17．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18． 结果为，值为 【详解】解： ， 当时，原式． 19．该汽车超速了，理由如下： 当，时，， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴该汽车超速了． 【分析】求出该汽车的速度，比较即可得出结果． 【详解】略． 20．(1)解：， 证明如下： . (2)解：， 证明如下： （，为正整数）； (3) 【分析】（1）根据题中“穿墙”的定义，猜想符合定义的结果并证明即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示，再证明即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值，进一步求解平方根． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴， ∴． 21．(1)2 (2)当时，最小值为4 (3)25 【分析】（1）利用不等式结论，当，时，，当且仅当时取等号，将和分别对应和，即可得出最小值． （2）先对表达式进行化简，得到，运用不等式结论，再根据条件，得出最小值． （3）根据已知条件，设的面积为，找出、、、四个三角形的面积关系，得出的面积，再运用不等式结论，即可求出四边形面积的最小值． 【详解】（1）解：当时，当且仅当时，即时取等号， ． （2）解：， ，   而， 当时， ，   解得：或， ， 当时，有最小值为4． （3）解：四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9， 设， 与同高，与同高， ，   由题知，， ， ，   ， ， ， 四边形面积的最小值为25． 22．(1) (2) 【分析】（1）根据材料中对偶式的方法，利用平方差公式计算两个对偶式的乘积，再除以已知的和，即可求出结果； （2）对每个分式进行分母有理化，即可得到结果． 【详解】（1）解：设，， 则 即， 已知， 所以， 即； （2）解：原式 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $