2026年暑假专题作业：二次根式-2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 二次根式暑假专题作业（八年级下册人教版），以概念辨析为基础，运算规律为核心，分层设计从基础到综合应用，渗透抽象、推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-4、6-7|最简二次根式判断、二次根式有意义条件|从定义（抽象）到性质（√a²=|a|）的逻辑推导| |运算求解|单选2-3、填空11-13|加减乘除法则、同类二次根式合并|运算律与整式运算的迁移应用（推理意识）| |化简求值|解答18-20|分母有理化、公式法（平方差/完全平方）|“先化简再求值”的优化策略（运算能力）| |综合应用|填空15、22，解答21-22|规律探究、几何模型构建|二次根式与面积、最值问题的结合（模型意识）|

暑假专题作业：二次根式-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．下列二次根式中，最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 2．（     ） A．6 B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则x应满足的条件为（　　） A． B． C． D． 5．如图，数轴上有五个点，根据图中各点表示的数，表示数的点会落在（     ） A．点和之间 B．点和之间 C．点和之间 D．点和之间 6．若，则的取值范围为，那么□中的符号为（   ） A．< B．≤ C．> D．≥ 7．实数在数轴上的位置如图所示，化简（     ）． A． B． C． D． 8．如果最简二次根式和能合并，则的值为（    ） A．5 B． C． D．2 9．已知 ，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．15 二、填空题 10．写出一个小于3的最简二次根式________．（写出一个即可） 11．化简：________； 12．已知，，则的值为______． 13．当时，的值为__________． 14．观察下列等式：①；②；③；…；根据以上规律， （1）第5个等式是______；（2）第n个等式可表示为：______（n为正整数）． 15．如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，这两个小正方形面积为和，则留下阴影部分的面积为_________． 16．对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且，那么称这个数为“递进数”，将一个“递进数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以；那么_____；如果m，n都是“递进数”，其中，a，b都是正整数），规定：，则的最小正整数值为_____． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中． 19．已知，． (1)求代数式，的值； (2)求代数式，的值． 20．代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟蹊径，事半功倍．阅读下列短文： 已知，求的值． 分析与解答： ， ， ，即， ， ． 请你根据上面的分析过程，解决如下问题： (1)计算________；________； (2)若，求值． 21．若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“12相关代数式”，则______； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值； (3)若两个含有二次根式的代数式，与互为“32相关代数式”，求x的值． 22．我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时， ； ，当且仅当时取等号 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______； (2)当时，求当______时，有最小值，最小值为______； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为3和12，求四边形的面积的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专题作业：二次根式-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A A B A C B C D B 1．A 【分析】根据最简二次根式的定义，即满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，逐个判断选项即可得到答案． 【详解】解：对于选项A，满足上述两个条件， 是最简二次根式； 对于选项B，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式 对于选项C，，被开方数能开得尽方，不是最简二次根式， 对于选项D，，原根式分母含二次根式，不是最简二次根式． 2．A 【详解】解：． 3．B 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能直接合并，故A错误； 选项B：，计算正确，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D错误． 4．A 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得：， ∴． 5．C 【详解】解： 即 ∴， ∴表示数的点会落在点和之间． 6．B 【详解】解：根据二次根式的性质可得 ∵题目给出 ∴ 根据绝对值的性质，当一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为非正数 ∴ 即 因此□中的符号为． 7．C 【分析】本题考查数轴上实数的大小关系，不等式的性质，绝对值的化简和二次根式的性质． 根据实数在数轴上的位置得到的取值范围，根据不等式的性质得到，进而根据绝对值和二次根式的运算法则计算后得到答案． 【详解】解：由实数在数轴上的位置可知，，，， ， 原式． 8．D 【分析】能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可. 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴最简二次根式和是同类二次根式， ∴， 解得. 9．B 【分析】设，得，通过平方差公式展开化简，再代入即可求出结果； 【详解】解：设， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， ∴ 解得， 故 10．（答案不唯一） 【详解】解：满足条件的最简二次根式可以为. 11．/ 【详解】解：根据二次根式的除法性质可得， 故答案为． 12． 【详解】解：． 13．1 【分析】根据，化简求解即可； 【详解】解： 当时，原式． 14． 【分析】直接根据示例找出规律即可． 【详解】解：①； ②； ③； ④； ⑤； …； 则第n个等式可表示为：． 15． 【分析】通过两个小正方形的面积，分别求出正方形的边长，进而可求阴影部分的面积. 【详解】解：∵两个小正方形面积为和， ∴两个小正方形的边长为， ∴． 16． 9 【分析】根据题干中的计算过程计算即可；由求出，，则，再根据递进数的定义得到，，根据或时分情况讨论，确定的值即可． 【详解】解：，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到， ∴这三个新三位数的和为，， ∴； ∵，a，b都是正整数）， ∴， 同理可得， ∴， ∵满足各个数位上的数字互不相同，且，那么称这个数为“递进数”， m，n都是“递进数”，其中，a，b都是正整数）， ∴，， ∴或， ∴当时，，在中找不到正整数使为整数； 当时，，在中，只有当时，为正整数； ∴的最小正整数值为． 17．(1) (2)5 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．， 【详解】解： ， 当时，原式． 19．(1)， (2)3，14 【详解】（1）∵，， ∴，； （2）∵，， ∴，． 20．(1)； (2)5 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，平方差公式和完全平方公式的运用． （1）利用平方差公式对分母进行有理化，将分母中的根号去掉； （2）先对进行分母有理化，再通过变形求出的值，进而得到的值，最后代入式子求值． 【详解】（1）解：； ； 故答案为；； （2）解：， ， ，即， ， ． 21．(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用二次根式的除法进行计算； （2）利用二次根式的乘法法则以及有理数的定义进行求解即可． （3）由新定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：∵M与N是互为“t相关代数式”， ∴， 整理得，， ∵t是有理数， ∴，， 解得，． （3）解：∵两个含有二次根式的代数式，与互为“32相关代数式”， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，不符合题意； ∴． 22．(1) (2)， (3) 【分析】（1）当时，直接根据公式计算即可； （2）将原式化为：，再利用公式计算的形式，计算即可； （3）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴的最小值为2； （2）解：∵， 当，即时等号成立， ∴当时，有最小值为． （3）解：设， ∵与等高，与等高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵，当且仅当即时取等号， ∴， ∴四边形面积的最小值为27． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $