第3章 勾股定理 提分练习（基础强化版）-【课时提优计划作业本】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习课时作业（苏科版2024）

提分练习 练习24勾股定理的探索与应用 1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E、F分别是AB、 AC上的动点，∠EDF=90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、 MN,若AC=6,AB=5,则AM一MN的最大值为 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm,AC=6cm,动点P从点B出发沿射线 BC以2cm/s的速度运动，设运动的时间为ts. (1)求边BC的长. (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值. (3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值. 3.在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c.如图1，当∠C=90°时，a2+b2=c2. (1)如图2，当∠C<90时，小明猜想a2+b2>c2,理由如下：过点A作AD⊥BC,垂足为D, 设CD=x,…,完成小明的证明过程. (2)如图3，当∠C>90°时，猜想a2十b与c2的大小关系，并证明你的猜想. C D a C a 图1 图2 图3 24》 八年级上 《 练习25勾股定理的证明 1.如图是由赵爽弦图变化得到的图形，它是由八个全等的直角三角形拼接而 成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为 S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为5，则S1十S2+S3= 2.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图1的空白部分由两个 正方形和两个直角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成.设图 1中空白部分的面积为S1,图2中空白部分的面积为S2: 剪开 右边部分 上下翻转 图1 图2 (1)请用含a、b、c的代数式分别表示S1、S2: (2)请利用达·芬奇的方法证明勾股定理. 3.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E,且CB2= AE2-CE2. (1)求证：∠C=90°. (2)若AC=8,BC=6,求CE的长. 《25 提分练习 练习26勾股定理的逆定理 1.如图，在△ABC中，AC=5,AB=3,边BC上的中线AD=2,则△ABC的面积为 2.清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”.其中有一个法 则是“如果是大于2的偶数，那么、k的一半的平方减1、k的一半的平方加1是一组勾 股数.” (1)按照这个法则，写出两组不同的勾股数： (最大数不超过18). (2)用等式表示这三个勾股数的数量关系并证明. 3.据我国古代某数学著作记载，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果 勾是三，股是四，那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五” (1)观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；….发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没有间 断过，计算2×(9-1D,7×(9+1D与2×(25-1D,2×(25+1D,并根据你发现的规律， 分别写出能用7、24、25中的勾表示股和弦的算式， (2)根据(1)的规律，用含n(n为奇数且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦 猜想它们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明. (3)继续观察4、3、5；6、8、10；8、15、17；·.可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也 没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用含m(m为勾，m为偶数且m≥6)的代数 式来表示它们的股和弦， 26》 八年级 上 练习27勾股定理的简单应用 1.《九章算术》是古代东方数学的代表作，书中记载：“今有开门去阃（读kǔ，门槛的意思）一 尺，不合二寸，问门广几何？”题目大意是：如图1、图2（图2为图1的平面示意图），推开双 门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)，O为 AB的中点，则AB的长是 寸 门槛B 图1 图2 2.为了积极宣传防疫政策，某区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直 公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离为600m,假设广播车P周围1000m 以内能听到广播宣传，广播车P以250m/min的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，若 小明此时在家，则他是否能听到广播宣传？若能，请求出他听到广播宣传的时间；若不能， 请说明理由. M P 3.【项目主题】监控器如何布设才最优 【项目背景】监控器有效监测距离500m,最大旋转角度90°；村落、河流如图1所示，河流南 岸长5000m;监控布设线L距离河流300m,L上任意两个监控(M1、M2、…)之间的距离 相等。 【项目方案】 (1)方案1：如图1所示，从河流南岸边缘点A处起，使AM1=500m,BM1⊥AB,即AB为 监控器M1监测范围；以此类推继续设置监控器，至少需要布设多少监控器？ (2)方案2：如图2所示，AB为监控器M1监测范围，BC为监控器M2监测范围.AM1⊥ BM1,BM2⊥CM2,此时BM1=CM2=375m,至少需要布设多少监控器？ (3)【项目总结】我认为方案 是最优化方案 河流 河流 南岸 B南岸C M 村落 村落 图1 图2 《27 提分练习 练习28勾股定理复习课 1.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”.现有如图所示的“垂美四边形”ABCD,对角线 AC、BD交于点O,若AB=6,CD=10,则AD2+BC2= 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm,BC=6cm,点P从点A出发，以1cm/s的 速度沿折线A一C一B一A运动，设运动时间为ts(t>0), (1)若点P在AC上，且满足PA=PB,求出此时t的值. (2)若点P恰好在∠BAC的平分线上（不与点A重合），求t的值. 3.在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A、B,其中AB=AC,由于某 种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H (A、H、B在一条直线上)，并新修一条路CH,测得CB=l0km,CH=8km,HB=6km. (1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问CH与AB是否垂直？）请通过计算加 以说明」 (2)求原来的路线AC的长」 A H 28》59319<100,.59319是两位数.(2)9解析：只有个整数3次后，结果为2.(3){√m}=3,∴.2<√m≤3， 位上是9的数的立方数的个位上的数依然是9,359319的.4<m≤9，∴满足题意的m的整数值有5、6、7、8、9. 个位上的数是9.(3)3解析：：27<59<64,3<59< 3.移项，得(x2一2y一10)十√5（y一3)=0，，√5是无理 4,∴59319的十位上的数是3.(4)19683= 数，.y-3=0,x2-2y-10=0,解得y=3,x=士4，故x十 27一110592=-48解析：经过分析可得，19683的立 y=4+3=7或x十y=(-4)+3=一1. 方根是两位数，且个位上的数是7，十位上的数是2，故19683 练习22近似值 的立方根是27；同理可得，一110592的立方根是一48. 1.B 练习20实数及其分类 2.(1)4√17-4解析：16<17<25，.4<√17< 1.1一√2解析：根据题意，得BC=√2，OB=1,.BM= 5,.√17的整数部分是4，小数部分是√17-4.(2)：1< BC=√2，点M在原点的左侧，∴.点M表示的数是1一√2 3<4,∴.1<3<2，.4<3+√3<5.3+√3也是夹在相邻两 2.(1):点A、B分别表示12，.AB=√2-1，.OC= 个整数之间的，可以表示为a<3+3<b,.a=4,b=5, √2-1，即c=2-1.(2)c=√2-1，.m=-(w2-1- .a十b=4+5=9,∴.a十b的算术平方根是3. √2)=1，n=|W2-1-3=4-√2，∴.6m+n=6X1+(4-√2)= 3.(1)√8I<√I<√100，.9<√9<10，∴√9I的 10-√2.，1<√2<2，.-2<-√2<-1，.8<10-√2<9， 整数部分为9，∴.√9I的小数部分为√I-9.(2)设√97= ∴6m十n的整数部分是8，.6m十n的整数部分的立方根是2. 10一x,其中0<x<1,则97=(10一x)2,即97=100-20x+ x2..0<x1,∴.0<x2<1,.97≈100-20x,.x≈0.15，即 3.(1)(4,5)(-9,-8)解析：√19在√16和√25之间， √/97的近似值为9.85. 故其“雅区间”是(4,5)；一√/76在一√8I和一√64之间，故其 练习23实数复习课 “雅区间”是(-9，一8).(2)由题意得，n、√n、m均为正整数， 且m一n=1.共有3种情形：①当n=1,√n=1,m=2时，将x= 1.143.5解析：√20610=√2.061×10000=100× 2,y=1代入nx-my=c,得c=1×2-2×1=0;②当n=4, √/2.061，.√/2.061≈1.435，∴.√/20610≈100×1.435= Vm=2,m=5时，将x=5,y=2代入nx-my=c,得c=4×5- 143.5. 2.D 5×2=10;③当n=9,√n=3,m=10时，将x=10,y=3代人 nx-my=c,得c=9×10-10×3=60.综上，c的值为0或10 3.(1).1<√3<2，.3<√3+2<4..√3+2的整数部分 或60.(3)：A、B,C、D均为“雅区间”的边界点，∴A、B、C、D是3，W3+2的小数部分是V3+2-3=√3-1.(2)，2< 均为整数，：A和C互为相反数，且MN的长为√98个单位长√5<3，∴.12<10+5<13,10十5的整数部分是12,10+ 度，根据“雅区间”的定义，∴.BC<√98<AD,且AD-BC=2,√5的小数部分是10十√5-12=5-2，即x=12,y=√5-2， ∴A=-5,B=一4，C=5,D=6.运动ts时，A0=|-5+2t,x-y=12-(5-2)=14-W5,则x-y的相反数是 0D=|6-tl.①当A0=20D时，|-5+2t=2l6-tl,解得5-14. t1 ,此时点A、D在点0同侧，不符合题意，舍去；②当 4.(1)由图可知，图中阴影正方形的面积为4×4一 QD=2A0时，2-5+2红=6-4，解得1】（不符合题 1X3×4=16-6=10,则阴影正方形的边长为V0,即图中阴 2 影正方形的面积是10，边长是√10.(2)√9<√/10< 意，合去)或=号综上所述，当：=号时，原点0恰好是线段 √16，∴.3<√10<4，即边长的值在3与4之间. AD的三等分点， 练习24勾股定理的探索与应用 练习21实数的有关运算 1空解折：如图1，连接DM,DN.由图1可以得到点 1.D解析：min{√30，a}=a,min{√30，b}=√30， M的轨迹是一条线段(AD的垂直平分线的一部分)，且当点 .a<√30，b>√30.又.a、b是两个连续的正整数，.a=5, M在AN上时，AM-MN的值最大（此时AM最大，MN最 b=6,.∴.2a-b=2×5-6=4. 小).当点M在AN上时，如图2，设AM=x,则MN=3一x, 2.(1)3解析：√⑨=3，.{W⑨}=3.(2)3解析： “(V0I}=1,(VT)=4,)=2,对101进行连续求根DM=AM=x,DN=号在R△DMN中，由勾股定理得 《49 DM=DN+MN,即-（停）广+8-，郎得x-8s+58X25= 2.(1)根据题意，得图1中空白部分的面积S1=a2十 ∴3-x= 此时AM一N-贸是-急除上所述，。一X名-。十公十a,图2中室白海分能面积s:- 11 AM-MN的最大值为 c2+2x 2b=c2+ab,(2)由S,=S2,得a2+62+ab= A(E) c2十ab,.a2+b2=c2 M 3.(1)证明：如图，连接BE.:边AB的垂直平分线为 DE,..AE=BE..CB2=AE2-CE2=BE2-CE2,..CB2+ CE=BE2,∠C=90°.(2)设CE=x,则AE=BE=8- 图1 图2 x.在Rt△BCE中，由勾股定理得CE2+BC2=BE2,即x2十 2.(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得BC= √JAB2-AC=√102-62=8(cm).(2)根据题意，可知， 6=8-,解得x=号则C5=子 BP=2tcm.①当∠APB=90°时，点P与点C重合，BP= BC=8cm,∴.t=8÷2=4(s).②当∠BAP=90°时，BP=2t cm,CP=(2t-8)cm,AC=6cm.在Rt△ACP中，由勾股定理 得AP2=AC2+CP2=62+(2t-8)2;在Rt△BAP中，由勾 股定理得AB2+AP2=BP2,即102+[62+(2t一8)2]= (2)解得1-5综上所述，当△ABP为直角三角形时，的 练习26勾股定理的逆定理 值为4或克(3)①当AB=BP时，BP=10em,∴4=10÷ 1.6解析：如图，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE. ,AD是边BC上的中线，.BD=CD.在△ACD和△EBD中， 2=5(s);②当AB=AP时，BP=2BC=16cm,.t=16÷2= (CD-BD, 8(s);③当BP=AP时，AP=BP=2tcm,CP=|2t-8|cm, ∠CDA=∠BDE,.△ACD≌△EBD(SAS),'.BE=CA= AC=6cm,在Rt△ACP中，由勾股定理得AP2=AC2+CP2, AD-ED, 即()=6+(2：-S,解得1-要综上所述，当△ABP为 5,S△MCD=S△EBD,.S△ABC=S△ABE.在△ABE中，AB=3, AE=2AD =2X 2=4,BE =5,.AB2+AE2=BE2, 等极三角形时1的值为5或8或 .△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°，∴S△ABC=S△ABE= 3.(1)设CD=x,AD2=b2-x2,AD2=c2-(a-x)2, 1 2AB·AE=2X3X4=6. 则b2-x2=c2-(a-x)2,.a2+b2=c2+2a.x.a>0,x> 0,.2ax>0,∴.a2+b2>c2.(2)猜想：a2十b2<c2.证明如 下：如图，过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,设 CD=x.AD2=AC2-DC2=62-x2,AD2=AB2-BD2= D c2-(a+x)2,b2-x2=c2-(a+x)2,.a2+b2=c2 E 2ax,a>0,x>0,.2ax>0,.a2+b2<c2. 2.(1)3、4、56、8、10解析：当k=4时，这一组勾股数 是3、4、5；当k=6时，这一组勾股数是6、8、10；当k=8时，这 一组勾股数是8、15、17.以上三组勾股数写出两组即可. 2)当是大于2的偶数时，：+[(2)广-刂° D C B 练习25勾股定理的证明 [(合)+刂证明：左边=+（行2-）=+ 15解折：设正方形MNKT的面积为x,每个直角三六+1-合：=“+：+1，右边=（：+1） 角形的面积为y,则S1=8y十x,S2=4y十x,S3=x,.S1+ 5,+5,=12y+3江=3(4y十z)=35.“S,=5=25,5S+6+22+1,左边=有边，等式成立 50》 3.1:3×(9-1D=4,2×(9+1)=5:号×(25- Rt△AM1N中，由勾股定理得AM=AN2+M1N2=x2十 300,在Rt△ABM1中，由勾股定理得AM=AB2一BM?= 1)=12,2×(25+1D=13,表示7、24,25这一组数的殷与 (225十x)2-3752,.x2十3002=(225+x)2-3752,解得x= 400,∴.AN=400m.在Rt△AM1N中，AM1=500m..监控 弦的算式为：股：×(49-1D=号×(72-1D,弦：2×49+ 1 器有效监测距离500m,∴.符合题意，.AB=AN十BN= 1 1)=2×(72+1).(2)用n(n为奇数，且m≥3)的代数式来 400十225=625(m).村落与河流邻接长度为5000m,5000÷ 625=8(个).答：该水利部门至少需要布设8个监控器.(3)二 表示，股：号×(m2-1),弦：2×(n2+1).猜想它们之间的相 解析：方案二中监控器M1监测范围AB的距离最大，则水 利部门布设的监控器个数少， 等关系：勾+股2=弦，理由如下：n2+[2×(m2-1)] +2+号-[×m+1D](3)用mm为锅数， 且m≥6)的代数式来表示，股：m2-1,弦：4m2+1 练习28勾股定理复习课 练习27勾股定理的简单应用 1.136解析：由题意得，BD⊥AC,.∠COB= 1.101解析：如图，过点D作DE⊥AB于点E,则∠AOB=∠AOD=∠COD=90°.在Rt△COD和 OA=OB=AD=BC.根据题意可知，DE=10寸，CD=2寸，Rt△AOB中，由勾股定理可得DO2十C02=CD2=100, ·0E=2CD=1寸.设0A=OB=AD=BC=r寸，则AB= OB2+0A2=AB2=36,..DO2+CO2+OA2+0B2=136. :AD2=A02+D02,BC2=OC2+OB2,.AD2+BC2=136. 2r寸，AE=(r-1)寸.在Rt△AED中，由勾股定理得AE2+ 2.(1)在△ABC中，∠ACB=90°，AB= A DE2=AD2,即(r-1)2+102=r2,解得r=50.5,∴AB= l0cm,BC=6cm,∴.由勾股定理得AC 2r=101寸. √AB-BC2=√102-62=8(cm).由题意得， D PA=PB=tcm,则PC=(8-t)cm.在 Rt△PCB中，由勾股定理得PC2+BC2=PB2,即(8一t)2+ 6=,部得：-经、(2咖如图，过点P作PELAB-于点E由 2.小明能听到广播宣传，理由如下：：小明家A到公路 题意得，PB=(14-t)cm,PC=(t一8)cm.在△APC和 MN的距离为600m<1000m,∴.小明能听到广播宣传.如 ∠PCA=∠PEA, 图，假设当广播车行驶到点P时小明开始听到广播，行驶到 △APE中，∠PAC=∠PAE,∴.△APC≌△APE(AAS), 点Q时小明恰好听不到广播，则AP=AQ=1000m,AB= AP-AP, 600m,由勾股定理得BP=BQ=√10002-600=800(m), .PE=PC=(t-8)cm,AE=AC=8 cm,.BE=AB- ∴.PQ=BP十BQ=800十800=1600(m),.小明听到广播宣 AE=10一8=2(cm).在Rt△BEP中，由勾股定理得PE2+ 传的时间为1600÷250=6.4(min). BE=PB,即4-8+2=(14-)，解得1=号 3.(1)CH是为从村庄C到河边的最近路.理由如下： 82+62=102,.CH2+BH2=BC2,.△BCH是直角三角 M P O N 形，且∠CHB=90°，.CH⊥AB,.CH是从村庄C到河边的 3.(1)在Rt△ABM1中，BM1=300m,AM1=500m, 最近路.(2)设AC=xkm,则AB=xkm,,.AH=AB一 ∴.AB=√/AM-BM=√5002-300=400(m).村落与河 HB=(x-6)km.在Rt△ACH中，由勾股定理得AC2 流邻接长度为500m,500÷40≈13（个）.答：该水利部门A+CH,即2=(-6)+8，解得x=罗答：原来的路 至少需要布设13个监控器.(2)如图，过点M1作M1N⊥ AB于点N.根据题意可知，M1N=300m.在Rt△M1NB中， 线AC的长为km BM1=375m,∴.BN=√BM-M1N2=√375-3002= 练习29平面直角坐标系中点的坐标 225(m).设AN=xm,则AB=(225+x)m,在 1.(1)①(14,2)解析：'点C(一1,5)的3级亲密点是 《51