第2章实数的初步认识能力提升卷2026-2027学年数学八年级上册苏科版

**基本信息** 苏科版八年级上册实数单元能力提升卷，通过10道单选、6道填空、6道解答题，覆盖无理数识别、平方根性质、数轴应用等核心知识，结合图形拼接（如小正方形拼成大正方形）、幻方文化、贺卡信封实际情境，培养抽象能力与几何直观。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|无理数判断、绝对值、数轴上实数对应|第7题通过直角三角形拼大正方形估算边长，体现几何直观| |填空题|6|无理数个数、平方根性质、新定义运算|第16题以三阶幻方为背景求平方根，渗透文化传承| |解答题|6|方程求解、平方根应用、阅读理解|第21题探究无理数整数与小数部分，培养推理意识；第22题结合《几何原本》面积推导代数公式，体现数形结合|

第2章实数的初步认识能力提升卷-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（新教材） 一、单选题 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．3.1415926 D． 2．的绝对值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在数轴上最接近数对应的点是（     ） A． B． C． D． 4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 5．已知一个数的两个不同的平方根是和，则这个数是（     ） A． B． C． D． 6．若实数，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线（图中虚线）剪开，得到4个完全一样的直角三角形，将这4个直角三角形拼成一个大正方形，估计这个大正方形的边长应在（     ） A．0和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和1.5之间 D．1.5和2之间 8．下列命题是假命题的是（     ） A．对顶角相等 B．无限不循环小数叫作无理数 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 9．图1是10个边长为1的正方形组成的图形纸，沿图2所示的虚线剪开，再拼成图3所示的大正方形，则大正方形的边长是（     ） A．3 B．3.5 C．10 D． 10．有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．数，，，－，，，0.301300130001…（3和1之间依次多一个0）中，无理数的个数为______． 12．计算：______． 13．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为________，________． 14．如图，在边长为的正方形中央裁剪边长为的小正方形，再将其余部分裁成四个完全相同的梯形，若两个正方形的边长和为，面积和为，则每个梯形的面积为_______． 15．若规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定：____． 16．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则的平方根为_________． 三、解答题 17．解下列方程： (1) (2) 18．若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． 19．已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 20．小明制作了一张面积为的正方形贺卡，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)正方形贺卡的边长为___________ (2)求长方形信封的长和宽； (3)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请说明理由． 21．阅读下面的文字，解答问题 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即 ， 的整数部分为，小数部分为 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果 的小数部分为， 的整数部分为，求的值． (3)已知： 其中是整数，且，求的相反数． 22．【数学溯源】《几何原本》作为古希腊经典数学著作，以平面图形面积解释代数恒等式是其核心思想之一，通过数形结合可以直观理解乘法公式． 【提出问题】 (1)观察下列图形，找出可以推出的代数公式（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）： 公式①：；公式②：； 公式③：；公式④：． 图1对应公式__________，图3对应公式__________； 【解决问题】 (2)利用所学的乘法公式，解决以下问题：已知，，则的值为__________； 【能力拓展】 (3)如图5，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为42，则图中阴影部分的面积为__________（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第2章实数的初步认识能力提升卷-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C B A D C C D C 1．D 【分析】根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，化简各选项后即可判断． 【详解】解：A．，2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数，故本选项符合题意． 2．B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．C 【分析】先估算，再根据数轴找出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴在数轴上最接近数对应的点是M． 4．B 【分析】由数轴得出，的取值范围及大小关系，再结合不等式的基本性质判断即可． 【详解】由数轴可知：，， ，且， A、，，故A选项错误； B、， ， ，，故B选项正确； C、，，故C选项错误； D、，，故D选项错误． 5．A 【分析】平方根的基本性质，一个正数的两个不同平方根互为相反数，先根据该性质列方程求出的值，再计算得到原数即可. 【详解】解：∵ 一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， 将代入其中一个平方根，得 ， ∴ 这个数为 . 6．D 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得，则， 代入，得， ． 7．C 【分析】计算出大正方形的面积，从而得出大正方形的边长，再进一步估算即可． 【详解】解：∵两个小正方形的面积都为1， ∴大正方形的面积为2， ∴大正方形的边长为， ∵， ∴． 8．C 【分析】根据对顶角性质，无理数定义，平行线性质，垂线的基本性质，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、对顶角相等，该命题是真命题，本选项不符合题意； B、根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，该命题是真命题，本选项不符合题意； C、两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，命题中未说明两条直线平行，故该命题是假命题，本选项符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题，本选项不符合题意． 9．D 【分析】根据剪拼前后图形的面积不变，先求出原图形的面积，再根据正方形面积公式求出边长即可． 【详解】解：∵图形由10个边长为1的小正方形组成 ∴原图形的总面积为 ∵剪拼前后图形的面积不变，且拼成的是一个大正方形 ∴大正方形的面积为10 设大正方形的边长为，则 ∵ ∴． 10．C 【分析】根据若，则是的平方根，其中非负的平方根是的算术平方根，负数没有平方根，逐一判断各说法即可得出正确结论． 【详解】解：① ，， 是的一个平方根，①正确； ② ，49的算术平方根是， 不是的算术平方根，②错误； ③ ， 的平方根是，③正确； ④ 负数没有平方根，， 没有平方根，④错误； ⑤ 的算术平方根是，⑤错误； ⑥ ，，的平方根为，⑥正确； ⑦ 的平方根是，只有0的平方根等于本身，⑦错误； 综上，正确的说法共3个． 11．3 【分析】根据无理数的定义，逐个判断各数即可得到无理数的个数． 【详解】解：，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 故无理数有：，，（3和1之间依次多一个0），共个． 12． 【详解】解：． 13． 【分析】只需找到满足命题条件，但不满足命题结论的一组实数即可． 【详解】解：当，时，，满足条件， ∵，， ∴，不满足结论． 14． 【分析】根据题意得到，，进而根据完全平方公式求出，根据得到，根据梯形的裁剪方法并结合平方差公式求解即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， 即， ∴， ∴， ∵，即， ∴ 所以每个梯形的面积为． 15． 【分析】先估算出的取值范围，再推导的取值范围，最后根据题目规定的的定义求出结果． 【详解】解：，， ， 不等式两边同时减，得 ， 根据表示实数的整数部分的定义，可得． 16． 【分析】设定幻和为，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，求解出字母、的值，进而即可得到的平方根． 【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为）， 设三阶幻方的9个数字分别为： y 0 4 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为”，可得： ， 解①得， 解②得，则， 再代入①得， ∴， ∴的平方根为． 17．(1) (2)或 【详解】（1）解：， 移项得， 开立方得； （2）解：， 移项整理得， 开平方得或， 解得或． 18． 【分析】根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0，求出m值，再求出一个平方根，进而就可以得到这个正数． 【详解】解：根据题意，得            这个正数的其中一个平方根为，   这个正数为． 19．(1)，， (2) 【分析】（1）一个正数的两个不同的平方根的和为0，可求出的值，把的值代入或，得到的一个平方根，可求出的值；由即，得到，求出的值； （2）将（1）中的值代入，求其平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ， ； ，即， 的整数部分是3， ， 解得， 综上，，，； （2）解：把代入，， 3的平方根是． 20．(1) (2)长为，宽为 (3)能， 理由：正方形贺卡的边长为，信封的宽为 ∵， ∴， ∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【分析】（1）直接运用算术平方根求解即可； （2）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （3）将贺卡的边长和信封的宽进行比较即可解答． 【详解】（1）解：正方形贺卡的边长为； （2）解：∵信封的长、宽之比为， ∴设长方形信封的长为，则宽为， 由题意得，即， ∴（负值舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为． （3）略 21．(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意方法，则，求整数部分和小数部分的方法，即可； （2）根据题意方法，分别求和整数部分和小数部分的方法，进行计算，即可； （3）根据题意方法，求出的取值范围，得到，的值，再进行计算，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是；小数部分是． （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：； ∵， ∴， ∴的整数部分为：； ∴ ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ 整理得：， ∵ 其中是整数，且， ∴， ∴； ∴， ∴的相反数为：． 22．(1)①，④ (2) (3)29 【分析】（1）根据矩形的面积得出公式； （2）利用完全平方公式以及平方根的定义进行求解； （3）设正方形和正方形的边长分别为，利用完全平方公式进行求解． 【详解】（1）解：图1对应公式，图3对应公式； （2）解：∵， ∴； （3）解：设正方形和正方形的边长分别为， 则，， 图中阴影部分面积为， 由得， ， 解得， ∴图中阴影部分的面积为29． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $