精品解析：四川南充市高坪中学2025-2026学年九年级上学期第二次学情自测数学试题

2025年秋季初2023级（初三）第二次教学质量监测 数 学 试 卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程；熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可判断． 【详解】解：A．是二元一次方程，故本选项不符合题意； B．是一元三次方程，故本选项不符合题意； C．是一元二次方程，故本选项符合题意； D．是分式方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 若拋物线的开口向上，则m的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴， ∴m的值可能为3． 故选：C． 3. 在中，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数定义，根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【详解】解：已知，，， ∴， ∴A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； A、，故选项正确； 故选：D． 4. 已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的解析式可知，二次函数的对称轴是，，所以二次函数的开口向上，当时，随的增大而增大，因为点关于对称轴的对称点是，则可知． 【详解】解：二次函数的对称轴是，， 二次函数的开口向上，点关于对称轴的对称点是， 当时，随的增大而增大， ， ． 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 6. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京举行．大数据分析显示，2025年阅兵当日全球（不含中国内地）的相关信息量约为27.9万条，已知2015年同期阅兵的相关信息量约为3.1万条，若假设从2015年到2025年，全球相关信息量每五年平均增长率为，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键在于明确增长次数与时间间隔的关系． 根据平均增长率的计算公式来列方程求解即可． 【详解】根据题意，全球相关信息量每五年平均增长率为， 从2015年到2025年共10年，其中有2个5年， ． 故选：B． 7. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形逆时针旋转后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】将绕点逆时针旋转至， ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴点三点共线， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度． 8. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，结合一次函数和二次函数的图象性质，从系数的符号，特殊点、对称轴等方面逐项分析即可． 【详解】解：A、选项一次函数从左到右下降，说明，二次函数：开口向上，说明，的符号矛盾，A选项错误； B、选项一次函数从左到右上升，说明，二次函数对称轴：因为，但图中抛物线对称轴在轴左侧，矛盾，B选项错误； C、选项一次函数从左到右上升，说明，与x轴交点为，符合一次函数的性质，二次函数开口向上，说明，对称轴，与图中抛物线对称轴在轴右侧一致，判别式：，若且抛物线与轴有两个交点，则，，即，是合理的，所有性质均一致，C选项正确； D、选项一次函数从左到右下降，说明，二次函数开口向下，说明，一次函数与轴交点应为，但图中直线与轴交点不是，矛盾，D选项错误． 故选：C． 9. 二次函数的图象如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据其开口方向，对称轴，图象交轴的负半轴，可知，，，，从而可以判断①，②；根据图象过，，可得，，推出，可判断③；由，，可判断④． 【详解】解：根据图像可知，开口向上，对称轴，，图象过，， 图象开口向上， ， ， ， 图象交轴的负半轴， ， ；故①错误； ，， ， ，故②正确； 图象过，， ，， ，， ，故③正确； ， ， ， ，故④正确； 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，，作，，先证明为等边三角形，接着利用，得到，利用抛物线的对称性得到，所以，根据两点之间线段最短得到当、、共线时，的值最小，最小值为的长，然后计算出的长即可． 【详解】解：连接、，，作于，于，如图，当时，，解得，，则， ， 则， ， ， 为等边三角形， ， ． 垂直平分， ， ． 当、、共线时，的值最小，最小值为的长， 在Rt△ABC中，， 即， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，根据轴对称求线段和最小等，根据轴对称确定线段和的最小值是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 二次函数的图象的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答本题的关键． 直接根据二次函数的顶点式即可解答． 【详解】解：∵二次函数为顶点式， ∴其顶点坐标为． 故答案为：． 12. 将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据题意正确得出一般形式，即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程化成一般形式之后，二次项的系数是2， ∴化成的一般形式为， ∴一次项系数为， 故答案为：． 13. 将二次函数的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，平移后的二次函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的顶点坐标是，可知平移后的顶点坐标是，写出平移后二次函数的顶点坐标式解析式即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 二次函数的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， 平移后的顶点坐标是， 平移后的二次函数解析式为． 故答案为：． 14. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故答案为9． 15. 已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解． 【详解】解 （x-3m）（x-m）=0 ∴x-3m=0或x-m=0 解得x1=3m,x2=m， ∴3m-m=2 解得m=1 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用． 16. 如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解． 【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于， ∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D． ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 本题考查了二次根式的运算、零次幂及负指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 19. 化简，再从0；1；；2四个数中选一个合适的代入x求值． 【答案】；3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的分式进行通分计算，然后把括号外面的除法转化成乘法计算，最后再选择合适的值代入求解即可． 【详解】解： ； 当，，0时，分式无意义， 故当时，． 20. 如图，无人机在A点测得飞行物B的仰角和水平地面上的小明同学C的俯角均为，且米，小明在C处测得飞行物B的仰角为．求飞行物B的高度．(结果精确到0.1米)参考数据：，，，，，． 【答案】飞行物B的高度约为36.9米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点A作于点D，过点A作于点E，则四边形是矩形．在中，解直角三角形求得．设，用含x的式子表示出其他线段的长，利用等量关系列方程求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D，过点A作于点E， , 则四边形是矩形． ∴, 由题意可得，． 在中，，， ∴． 设，则，， 在中，， ∵， ∴． 解得， ∴． 答：飞行物B的高度约为36.9米． 21. 定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“和谐方程”．如的“和谐方程”是． （1）写出一元二次方程的“和谐方程” ． （2）已知一元二次方程的两根为，它的“和谐方程”的两根， ．根据以上结论，猜想的两根与其“和谐方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为 ，证明你的结论． （3）已知关于的方程的两根是．请利用（2）中的结论，写出关于的方程的两根． 【答案】（1） （2），互为倒数 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握“和谐方程”的定义是解题的关键． （1）根据给出的定义进行求解即可； （2）根据根与系数的关系求出的解，根据求根公式证明两根的关系即可； （3）对方程式进行整理，根据整体思想和“和谐方程”的两根的数量关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：的“和谐方程”为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴， 则， ∴； ∴与，与互为倒数，证明如下： 当时，根据求根公式得， ，； ，； ， ； ∴原方程的两根与其“和谐方程”的两根互为倒数； 故答案为：，互为倒数； 【小问3详解】 解：， ， ， 根据“和谐方程”的两根的数量关系得出的根为， ∴的两个根为， 解得， 故答案为：． 22. 如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交于点E． （1）求k的值及直线的解析式； （2）在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，求的面积． 【答案】（1），直线的关系式为 （2）点 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，理解一次函数、反比例图象上点的坐标特征以及图形面积之间的和差关系是正确解答的前提． （1）根据矩形的性质可求出点B，点D的坐标，将点D的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值，进而确定点E的坐标，再根据待定系数法求出直线的关系式即可; （2）求出点D关于轴的对称点的坐标，求出直线与x轴的交点即可满足的周长最小; （3）进行计算即可 【小问1详解】 解：1.在矩形中，，， 点， 点D是边的中点， 点， 反比例函数的图象经过点D， ， 反比例函数的关系式为， 当时，即， 解得， 点 ， 设直线的关系式为，则， 解得， 直线的关系式为 【小问2详解】 点关于x轴的对称点的坐标为， 直线与x轴的交点即为所求的点P，此时的周长最小， 设直线的关系式为，则 解得， 直线的关系式为 ， 当时，即， 解得， 直线与x轴的交点， 当的周长最小时，点， 【小问3详解】 如图， 由（1）（2）知 ，，，， ，，，， 1 的面积为． 23. 三星堆文化被誉为“长江文明之源”，极大丰富了中华文明的内涵．青铜面具和青铜神树等文物的问世，再次在世界上引发了广泛关注．近期，三星堆文创馆销售一种纪念品，每个纪念品成本为元，规定销售单价不低于元，且不高于元，销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现三星堆文创馆决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利元； （3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大?最大利润是多少元? 【答案】（1） （2）当每个纪念品的销售单价是元时，商家每天获利元 （3）将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据（售价进价）销售量，列出求解即可，注意规定销售单价不低于元，且不高于元； （3）根据利润（售价进价）销售量，写出与之间的函数关系式，然后化为顶点式，再根据的取值范围和二次函数的增减性，即可求得的最大值． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：当每个纪念品的销售单价是元时，商家每天获利元； 【小问3详解】 解：由题意可得，， ， 当时， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为（元）． 答：将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元． 24. 正方形中，对角线、交于点，为上一点，延长到点，使，连接、． （1）求证：． （2）求证：为直角三角形． （3）若，正方形的边长为，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形，易证得，继而证得． （2）由，，即可证得，则可判定为直角三角形； （3）由，正方形的边长为6，易求得的长，然后由三角形中位线的性质，求得的长，继而求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵正方形的边长为6， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定、三角形中位线定理以及勾股定理等知识．注意利用勾股定理求得各线段的长是关键． 25. 如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； （3）点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定，二次函数的性质等知识点，正确用坐标差表示线段的长是解题的关键． （1）将点代入关系式求得a、b的值即可解答； （2）如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P的横坐标为m，则，求出，再根据二次函数的最值即可； （3）分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质以及二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴相交于两点， 则，解得：， ∴抛物线的关系式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线与y轴相交于点C，即当时，， ∴点． 设直线的关系为， 将点B，点C的坐标分别代入得： ，解得：， ∴． 如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D， 设点P的横坐标为m，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为． 【小问3详解】 解： 如图2，当时，轴， ∴点C与点M关于对称轴直线对称， ∴点． 如图3，当，过点M作轴，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则点， ∴，解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 综上所述，点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季初2023级（初三）第二次教学质量监测 数 学 试 卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若拋物线的开口向上，则m的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 3. 在中，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ） A. B. C. D. 6 6. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京举行．大数据分析显示，2025年阅兵当日全球（不含中国内地）的相关信息量约为27.9万条，已知2015年同期阅兵的相关信息量约为3.1万条，若假设从2015年到2025年，全球相关信息量每五年平均增长率为，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 二次函数的图象的顶点坐标是______． 12. 将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为______． 13. 将二次函数的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，平移后的二次函数解析式为______． 14. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是______． 15. 已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____． 16. 如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为_________． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 18. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 19. 化简，再从0；1；；2四个数中选一个合适的代入x求值． 20. 如图，无人机在A点测得飞行物B的仰角和水平地面上的小明同学C的俯角均为，且米，小明在C处测得飞行物B的仰角为．求飞行物B的高度．(结果精确到0.1米)参考数据：，，，，，． 21. 定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“和谐方程”．如的“和谐方程”是． （1）写出一元二次方程的“和谐方程” ． （2）已知一元二次方程的两根为，它的“和谐方程”的两根， ．根据以上结论，猜想的两根与其“和谐方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为 ，证明你的结论． （3）已知关于的方程的两根是．请利用（2）中的结论，写出关于的方程的两根． 22. 如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交于点E． （1）求k的值及直线的解析式； （2）在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，求的面积． 23. 三星堆文化被誉为“长江文明之源”，极大丰富了中华文明的内涵．青铜面具和青铜神树等文物的问世，再次在世界上引发了广泛关注．近期，三星堆文创馆销售一种纪念品，每个纪念品成本为元，规定销售单价不低于元，且不高于元，销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现三星堆文创馆决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利元； （3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大?最大利润是多少元? 24. 正方形中，对角线、交于点，为上一点，延长到点，使，连接、． （1）求证：． （2）求证：为直角三角形． （3）若，正方形的边长为，求的长． 25. 如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； （3）点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $