精品解析：四川遂宁市第二中学校2025-2026学年九年级上期第一学月质量检测数学试题

2025-2026学年九年级上期第一学月质量检测 数学试题 一．选择题（共18小题，每小题3分，共54分） 1. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是　　 A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义结合分式有意义的条件得出答案． 【详解】∵代数式有意义，∴x﹣1≥0，且x﹣2≠0， 解得：x≥1且x≠2． 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题的关键． 2. 在下列方程中，一元二次方程是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为一元二次方程． 【详解】解：A、是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； B、当时，原方程无二次项，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意； C、原方程，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、原方程化简后得到，二次项抵消，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的识别，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别化简二次根式判断即可． 【详解】A、无解，故该项错误，不符合题意； B、，故该项错误，不符合题意； C、，故该项正确，符合题意； D、，故该项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式． 【详解】解：A. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意； B. 是最简二次根式，符合题意； C. 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是能够看出被开方数中的能开得尽方的因数或因式． 5. 若与可以合并，则m可以是（　　） A. 0.5 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，把每个选项代入化简，检验化简后被开方数是否相同． 【详解】解：A、把0.5代入化简得：，故选项不符合题意； B、把0.4代入化简得：，故选项不符合题意； C、把0.3代入化简得：，故选项不符合题意； D、把0.2代入化简得：，故选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．需要注意化简前，被开方数不同也可能是同类二次根式． 6. 若x-，则x-y的值为（　　） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质得出y的值，进而得出答案． 【详解】解：∵与都有意义， ∴y=0， ∴x=1， 故选x-y=1-0=1． 故选：B． 【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 7. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据的值计算出的值，再代入原式计算可得． 【详解】解： ， ， ， 则原式． 故选：B． 【点评】本题主要考查二次根式的运算，关键是根据平方差公式进行二次根式的运算，然后进行代值求解即可． 8. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案． 【详解】解：， 移项得， 二次项系数化1的， 配方得， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 9. 三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A. B. 13 C. 11或8 D. 11和13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，三角形三边的关系，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 先解方程求出方程的解，然后利用三角形的三边关系判断解得情况，再计算三角形的周长即可． 【详解】解：， ， 解得，， 当第三边长为2时， ∵， ∴这种情况构不成三角形， 当第三边长为4时， ∵， ∴第三边长为4， ∴三角形的周长是， 故选：B． 10. 如果关于x的方程只有一个实数根，那么方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程只有一个实数根，可得：，或且判别式，从而得到，得到方程，再利用根的判别式解答，即可求解． 【详解】∵关于x的方程只有一个实数根， ，即，或且判别式， ∵判别式，不符合题意舍去， ∴方程可变形为， ∵判别式， ∴一元二次方程有两个相等实数根． 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据题意，得到，或且判别式是解题的关键． 11. 已知关于的一元二次方程有一个根是，则另一个根是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用根与系数之间的关系求解即可． 【详解】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得： ，解得：． 故选：A 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键掌握根与系数关系并能够熟练使用． 12. 已知，则简化的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 先把被开方数分解因式，再化简求值． 【详解】解：∵， ， ， 故选：C． 13. 已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．注意，方程有实数根，判别式大于等于零． 由方程有两个实数根得，根据根与系数的关系得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的两实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍）或； 故选A． 14. 已知，化简二次根式的正确结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．由，可知和异号，由，可得，，然后根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：， 和异号， ∵， ∴，， ∴， 故选：C． 15. 若实数，满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】∵，，且， ∴为方程的两个不同的根， ∴，， ∴， 故选：． 16. 对于有理数、，定义的含义为：当时，，例如：.已知，，且和为两个连续正整数，则的立方根为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据min{a，b}的含义得到：a＜＜b，由a和b为两个连续正整数求得它们的值，然后代入求值． 【详解】解：∵，， ∴a＜＜b， ∵5＜＜6，且a和b为两个连续正整数， ∴a=5，b=6， ∴ab-（）2=5×6-31=-1， ∴ab-（）2的立方根为-1． 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的应用，立方根，实数的运算，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 17. 已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（ ） A. 13 B. 11或13 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】x2-8x+15=0， 分解因式得：（x-3）（x-5）=0， 可得x-3=0或x-5=0， 解得：x1=3，x2=5， 若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5=13； 若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为3+3+5=11， 综上，△ABC的周长为11或13． 故选B 18. 如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了与实数运算相关的规律．先根据题意得到，，进而推出，则，再根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 又； ∴． 故选：D． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 19. 计算的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先把各二次根式化为最减二次根式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键． 20. 若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．由题意得，与最简二次根式是同类二次根式，据此即可求出x的值． 【详解】解：能与最简二次根式合并同类项，， ， 解得：． 故答案为：4． 21. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴可得：， 则 ∴ = = = =2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键． 22. 设是方程的两个根，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 根据根与系数的关系得，根据方程解的定义得，即，代入所求的式子计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， ，，， ， ． 故答案为：9． 23. 若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程必有一根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，结合已知条件得到，求得x即可． 【详解】解：整理得， ∵关于x的一元二次方程的其中一根为， ∴关于x的方程中，， 解得：． 故答案为：． 24. 一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，即可得出关于、的方程组，利用可得出③，将③代入②中可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得到值，进而得出的值，再利用矩形面积公式得出图3摆放位置时未覆盖的面积即可得出答案． 【详解】解:设矩形的长为，宽为， 由题意可得： 得：③， 将③代入②，得：， 整理，得， 解得：，（舍去）， 所以， 所以按图3放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：． 三．解答题（共7小题，满分72分） 25. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 26. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选用适当的方法是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）移项后，提取公因式分解因式解方程即可． 【小问1详解】 解： 移项，得， 配方，得， 即， ∴， 解得，． 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， ∴或， 解得，． 27. 先化简，再求值，其中，． 【答案】a－b，． 【解析】 【分析】先算括号内减法，再把除法变成乘法，然后计算乘法， 最后将代入a、b代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： = = =a－b． 当，时， 原式==． 【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值， 能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键 ． 28. 已知关于x的一元二次方程． （1）若是该方程的一个根，求m的值； （2）若一元二次方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】（1）1 （2）且 【解析】 【分析】（1）把代入方程得到，然后解一次方程即可； （2）根据根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【小问1详解】 解：把代入方程得到， 解得， 即的值为1； 【小问2详解】 根据题意得且， 解得且， 即的取值范围为且． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解． 29. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根恰好构成以3为直角边的直角三角形，求k值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式的符号来证明； （2）先带字母解一元二次方程，得，，，然后根据勾股定理列出方程即可． 【小问1详解】 解：， 无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 ， 解得，，，则， 由勾股定理得，， 解得，． 【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，勾股定理等知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程没有实数根． 30. 阅读下列运算过程，并完成各小题：；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作”分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如： ； 模仿上例完成下列各小题： （1）= ； （2）= ． （3）= ． （4）请根据你得到的规律计算下题：(n为正整数)． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】 【分析】（1）分子分母都乘以，从而可得答案； （2）把的分子分母都乘以 再合并同类二次根式即可得到答案； （3）把的分子分母都乘以，利用二次根式的乘除运算可得答案； （4）由题干的阅读部分得出规律： 利用规律把每个二次根式的分母有理化，再合并同类二次根式即可. 【详解】解：（1）原式==； 故答案为： （2）原式=； 故答案为： （3）原式=； 故答案为： （4）原式=+++…+=． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，除法运算，分母有理化，以及合并同类二次根式，掌握二次根式的分母有理化是解题的关键. 31. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②； （2）已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数，）是“差1方程”，设，求的最大值． 【答案】（1）①不是“差1方程”，理由见解析；②是“差1方程”，理由见解析 （2）或 （3）时，的最大值为9 【解析】 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果． 【小问1详解】 解：①解方程得：， 或， ， 不是“差1方程”； ②解：∵ ∴，， ∴， ， 是“差1方程”； 【小问2详解】 解：方程得：， 或， 方程是常数）是“差1方程”， 或， 或； 【小问3详解】 解：由题可得： ∴解方程得， 关于的方程、是常数，是“差1方程”， ， ， ， ， ， 时，的最大值为9． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上期第一学月质量检测 数学试题 一．选择题（共18小题，每小题3分，共54分） 1. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是　　 A. B. 且 C. 且 D. 2. 在下列方程中，一元二次方程是(　　) A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若与可以合并，则m可以是（　　） A. 0.5 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 6. 若x-，则x-y的值为（　　） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 7. 已知，则（　　） A. B. C. D. 8. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 9. 三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A. B. 13 C. 11或8 D. 11和13 10. 如果关于x的方程只有一个实数根，那么方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 11. 已知关于的一元二次方程有一个根是，则另一个根是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 12. 已知，则简化的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 13. 已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或3 14. 已知，化简二次根式的正确结果是（　　） A. B. C. D. 15. 若实数，满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 16. 对于有理数、，定义的含义为：当时，，例如：.已知，，且和为两个连续正整数，则的立方根为（ ） A. B. C. D. 17. 已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（ ） A. 13 B. 11或13 C. 11 D. 12 18. 如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 19. 计算的结果是_____． 20. 若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为______． 21. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 22. 设是方程的两个根，则______． 23. 若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程必有一根为_______． 24. 一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为________． 三．解答题（共7小题，满分72分） 25. 计算： （1） （2）． 26. 解方程： （1）； （2）． 27. 先化简，再求值，其中，． 28. 已知关于x的一元二次方程． （1）若是该方程的一个根，求m的值； （2）若一元二次方程有实数根，求m的取值范围． 29. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根恰好构成以3为直角边的直角三角形，求k值． 30. 阅读下列运算过程，并完成各小题：；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作”分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如： ； 模仿上例完成下列各小题： （1）= ； （2）= ． （3）= ． （4）请根据你得到的规律计算下题：(n为正整数)． 31. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②； （2）已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数，）是“差1方程”，设，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $