精品解析：山东青岛市即墨区2025-2026学年度第二学期期末教学质量检测高一数学试题

2025—2026学年度第二学期教学质量检测 高一数学试题 2026.07 本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】，对应点在第一象限. 2. 对于非零向量，，下列说法错误的是（ ） A. 若与平行，与平行，则与平行 B. 若与共线，则（） C. 若，则 D. 若，则，的夹角为90° 【答案】C 【解析】 【详解】A：平行的传递性对非零向量成立，中间向量是非零向量，所以，可推出，正确， B：根据共线向量基本定理，两个非零向量共线，则一定存在实数使得，正确， C：由变形可得，仅说明与垂直，不能推出， 举反例：设，，，满足，但，错误， D：对非零向量且，若，则，又，故夹角，正确. 3. 在中，为的中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作图，结合向量的运算，可得答案. 【详解】 ， 故选：A. 4. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 5. 已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【详解】因为与对立，且，所以， 因为与互斥，且，所以 6. 已知，，，是平面内四个点，满足，，则下列式子一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量数量积公式，结合已知的相邻向量的模长和数量积，计算出相邻向量的夹角；以为坐标原点建立平面直角坐标系，分别对，，，各点赋值坐标，得到各向量的坐标表示形式；根据每个选项，将向量的坐标代入对应等式，判断等式是否存在成立的可能. 【详解】，， ； 向量与向量的夹角为，向量与向量的夹角为. 以为坐标原点，沿轴正方向建立平面直角坐标系，则，. ，向量与向量的夹角为， 或. ，向量与向量的夹角为， 或. 对于A，当取，取或取， 取时，，，得，故A成立； 对于B，当取时，， 若取时，，得；若取时，，得. 当取时，，若取时，，得； 若取时，，得；故B不成立； 对于C，当取，取时，此时，，得； 当取，取时，，，得；故C成立； 对于D，当取，取或取， 取时，，，得，故D成立. 7. 如图，为了测量河对岸的塔高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，，，在点测得塔顶的仰角，则塔的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求得，在直角三角形中，结合，，即可求解塔的高. 【详解】如图所示，在中，因为，且， 可得， 由正弦定理得， 所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以，所以. 8. 已知正四面体的各顶点都在球的球面上，该正四面体内有一球，球与该正四面体的四个面都相切，则球与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正四面体外接球与内切球同心的性质推导二者半径比，再结合球的表面积公式计算比值即可. 【详解】正四面体的外接球与内切球为同心球，球心均为正四面体的中心，即球心在正四面体的高线上. 设正四面体外接球半径为，内切球半径为，正四面体一个面的面积为，正四面体的高为， 则，所以，又， 所以，设外接球的表面积为，内切球的表面积为， 则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某科技公司推出了，型两款智能商用服务器，公司统计了某地区2025年前6个月这两款服务器月销售量（单位：万台），得到了下面的销售量的折线图，分析这6个月的销售数据，下列说法正确的是（ ） A. 型号服务器月销售量的极差比型号服务器月销售量的极差大 B. 型号服务器月平均销售量比型号服务器月平均销售量大 C. 型号服务器月销售量的上四分位数比型号服务器销售量的上四分位数大 D. 型号服务器月销售量的方差比型号服务器月销售量的方差小 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项A，，型服务器的月销售数据为 型号：25，28，27，42，38，50， 型号：22，25，30，37，40，45， 型号的极差：， 型号的极差：， ，A正确. 选项B： 型号平均数为， 型号平均数为， ，B正确. 选项C，先排序： 型号：25， 27，28，38，42，50， 型号：22，25，30，37，40，45， 上四分位数（第75百分位数）位置：，取第5个数， 型号的上四分位数：42，型号的上四分位数：40，，C正确. 选项D，型号数据：25，28，27，42，38，50， 平均数， ， 型号数据：22，25，30，37，40，45， 平均数 ， ， ，所以型号方差比型号大，D选项错误. 10. 在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则（ ） A. B. 面 C. 二面角的平面角的正切值为2 D. 动点是正方体表面上一点，若面，则动点的轨迹所围成区域的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A：根据线面垂直的性质以及判断即可求解;选项B：由线线平行以及线面平行的性质得选项C：就是二面角的平面角，计算得;选项D：根据面面平行可得的轨迹是等边三角形即可求解. 【详解】棱长为的正方体 ， 分别为  中点，逐一分析各选项： 选项A：在正方体中， 平面 ， 面，故 ； 又，故， 又 ， 平面 ，故  平面 ，而  平面 ，因此 ， A正确. 选项B：连接 ，由正方体性质知  且 ，故四边形  是平行四边形，因此 ； 由于 与 平面 相交于点,故 与平面 不平行, B错误. 选项C：由  分别为  中点，得  且 ，故四边形  是平行四边形，因此 ； 又  平面 ，故  平面 ，因此 ，，故  就是二面角  的平面角； 在  中，，，，故 , C正确 选项D：由正方体性质，取 中点 、 中点 、 中点 ； ，连接,则,，故平面，平面，故平面，同理可得 平面，平面，故平面平面， 若 面 ，则  在平面  上，故点的轨迹为三角形， 由于三角形正三角形且边长为 ，故面积 , D错误 11. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，为的边上的高，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正弦定理边化角及和差角的正弦、二倍角公式逐项分析判断. 【详解】对于选项A：， 根据正弦定理得：， 又因为， 所以都在的同一个单调区间内， 所以，，所以选项A成立， 对于选项B：据正弦定理得：， 因为， 所以，所以选项B不成立. 对于选项C：如图所示： 在中，，所以选项C成立. 对于选项D： 又因为锐角中，， 所以，. 所以选项D不成立. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知其中，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数相等求得参数，再直接求复数的模即可. 【详解】由，得， 所以， 所以. 13. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是________ 【答案】 【解析】 【分析】两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率的求法求解即可. 【详解】设事件分别表示甲两轮猜对1个，2个成语，事件分别表示乙两轮猜对1个，2个成语，则 ，， ，， 设事件为““星队”在两轮活动中猜对3个成语”， 则，且与互斥，与，与分别相互独立， 所以 ， 故答案为： 14. 在正三棱锥中，，为的中点，为上靠近点的三等分点，且，则三棱锥的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设点是的外心，设，利用余弦定理和勾股定理得出，再利用等体积计算. 【详解】由题意得，， 设点是的外心，连接，则平面， 因为平面，所以， 设， 则在中利用余弦定理得， 在中利用余弦定理得， 在中利用余弦定理得， 因为，所以， 即，得， 则在中利用余弦定理得，则， 则在中利用正弦定理得，得， 则在中， 则. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点． （1）证明：平面平面； （2）若，分别为线段，中点，求证：面． 【答案】（1）因为底面，平面，所以， 又底面为正方形，所以, 平面，，所以平面. 又平面，所以. 因为，为线段的中点，所以, 平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）如图， 连接，交于点，连接. 因为底面为正方形，，分别为线段，中点， 所以四边形为矩形，所以为中点， 又因为为线段的中点，所以. 平面，平面，所以平面. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. （2）构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明线面平行. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 某交管部门在某路段通过交通摄像系统随机拍摄了100辆正在行驶的汽车，并测算这些汽车的速度数据，整理测算数据得到如下频率分布直方图． （1）请估计这100个样本数据的方差；（每组数据的平均数可用矩形底边中点的横坐标代替） （2）为进一步了解车速较高的车辆的信息，已经从，两组数据中采用分层随机抽样的方法共抽取8个数据，现从这8个数据中随机抽取2个数据，求这两个数据是同一组的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方差公式求解； （2）根据古典概型概率公式计算求解. 【小问1详解】 ：频率，组中值， ：频率，组中值， ：频率，组中值， ：频率，组中值， ， . 【小问2详解】 与的频率之比为，一共抽取个数据， 所以组抽取个，记为； 组抽取个，记为， 总基本事件： ， ， ， 一共个基本事件， ①都来自： ， 共个， ②都来自：，共个， 满足条件的事件合计个， 则这两个数据是同一组的概率为. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，的角平分线交于点，，点在线段上，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合三角形内角和公式可求角. （2）结合余弦定理和三角形面积公式，可确定的形状，再求的面积即可. 【小问1详解】 由正弦定理， 可得，所以. 因为，，为三角形内角，所以，且， 所以，所以. 【小问2详解】 如图， 在中，由余弦定理，， 所以①. 又，所以， 又，所以②. 由①②得，或（舍去）. 因为，当且仅当时取等号. 所以此时为等腰三角形，且为中点. 所以. 又点在线段上，，所以. 所以， 所以. 18. 如图，三棱台中，，，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，，，设与相交于点，，且平面； ①求三棱锥的体积； ②求与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）∵平面平面，且平面平面，，平面ABC， ∴平面，∵平面， ∴，又，，平面ABC， ∴平面， （2）①三棱锥的体积； ②与平面所成角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，根据线线垂直判定定理求证平面， （2）①由条件结合线面平行性质定理可得，由此可得，根据锥体体积公式求结论； ②方法一：利用等体积法求点到平面的距离，结合直线与平面夹角的定义求结论. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ①连接， ∵平面，平面，平面平面， ∴，∵， ∴，∴，， ∴三棱锥底面的面积， 由（1）平面，又平面平面，， 所以点到平面的距离为，结合， 可得点到平面的距离， 所以三棱锥的体积 ②方法一：由已知结合①可得，，， 又，， 所以. 因为平面，平面，所以， 因为，，，平面， 得平面， 又，故平面， 因为的面积​， 到平面的距离为， 三棱锥的体积，  因为平面，平面，所以， 又​，，故的面积， ​​ 设到平面的距离为，所以， 因为​，所以，故， 设与平面所成角为， 由线面角定义可得，所以 ，又 ， 所以 . 19. 如图所示，设，是平面内夹角为（）的两条射线，，分别为与，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，、，若，求的值； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角余弦值为，求的值； （3）如图所示，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，点，分别为，中点，且，求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由条件可求，，，借助仿射坐标系，可得向量的线性表示，结合向量垂直的向量表示列方程求； （2）同上利用向量的线性表示求模长和夹角余弦，由此可求，再求出； （3）设，，由条件结合数量积的运算律证明，再结合基本不等式求结论. 【小问1详解】 因为分别为、同向的单位向量，, 所以，，， 由题意得：，，， 所以， 故， 所以； 【小问2详解】 由， 可得，， 则， ， 因为与的夹角余弦值为， ， 解得，即， 所以的值为； 【小问3详解】 因为分别为、同向的单位向量，, 所以，，， 依题意设，， 因为点，分别为，中点，， 所以， ， 所以，， 因为，故， 故，故，即， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期教学质量检测 高一数学试题 2026.07 本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 对于非零向量，，下列说法错误的是（ ） A. 若与平行，与平行，则与平行 B. 若与共线，则（） C. 若，则 D. 若，则，的夹角为90° 3. 在中，为的中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 6. 已知，，，是平面内四个点，满足，，则下列式子一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量河对岸的塔高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，，，在点测得塔顶的仰角，则塔的高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四面体的各顶点都在球的球面上，该正四面体内有一球，球与该正四面体的四个面都相切，则球与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某科技公司推出了，型两款智能商用服务器，公司统计了某地区2025年前6个月这两款服务器月销售量（单位：万台），得到了下面的销售量的折线图，分析这6个月的销售数据，下列说法正确的是（ ） A. 型号服务器月销售量的极差比型号服务器月销售量的极差大 B. 型号服务器月平均销售量比型号服务器月平均销售量大 C. 型号服务器月销售量的上四分位数比型号服务器销售量的上四分位数大 D. 型号服务器月销售量的方差比型号服务器月销售量的方差小 10. 在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则（ ） A. B. 面 C. 二面角的平面角的正切值为2 D. 动点是正方体表面上一点，若面，则动点的轨迹所围成区域的面积为 11. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，为的边上的高，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知其中，，则________． 13. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是________ 14. 在正三棱锥中，，为的中点，为上靠近点的三等分点，且，则三棱锥的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点． （1）证明：平面平面； （2）若，分别为线段，中点，求证：面． 16. 某交管部门在某路段通过交通摄像系统随机拍摄了100辆正在行驶的汽车，并测算这些汽车的速度数据，整理测算数据得到如下频率分布直方图． （1）请估计这100个样本数据的方差；（每组数据的平均数可用矩形底边中点的横坐标代替） （2）为进一步了解车速较高的车辆的信息，已经从，两组数据中采用分层随机抽样的方法共抽取8个数据，现从这8个数据中随机抽取2个数据，求这两个数据是同一组的概率． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，的角平分线交于点，，点在线段上，，求的面积． 18. 如图，三棱台中，，，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，，，设与相交于点，，且平面； ①求三棱锥的体积； ②求与平面所成角的余弦值． 19. 如图所示，设，是平面内夹角为（）的两条射线，，分别为与，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，、，若，求的值； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角余弦值为，求的值； （3）如图所示，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，点，分别为，中点，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $