精品解析：山东威海市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与是同一象限角的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 3. 在中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台侧面与下底面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥的体积为24，D，E分别是，的中点，点F在棱上，，则三棱锥的体积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在中，，，则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称． C. 在上单调递减 D. 将函数图象上的所有点向右平移个单位，就可得到的图象 10. 已知，，为平面内的单位向量，若，不共线，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知正四面体的棱长为2，P，Q分别为棱，上的点，且，过且平行于的平面记为，则（ ） A. P为的中点 B. 存在 C. 直线与平面所成的最大角的正弦值为 D. 该正四面体的表面被截得的图形周长的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的母线长为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为________． 13. 有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河，小船航行速度的大小为，方向为北偏西，受河水速度的影响，小船实际航行速度为正北方向，则河水速度为向东________． 14. 已知函数的一个零点为，且在上单调递减，则方程在上所有根的和为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面四边形中，，，N为线段上一点，且． （1）用，表示，； （2）若，，，证明：． 16. 如图，在四棱柱中，侧面是矩形，底面是菱形，，M，N分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 17. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求在上的最值； （3）若，且，求的值． 18. 如图，菱形的边长为2，，将沿翻折至，分别为的中点． （1）若． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求直线与所成角的正切值； （2）若三棱锥的各顶点都在球的球面上，球的表面积为，求． 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）已知，，点P在线段上，设，． （ⅰ）若，求； （ⅱ）求为何值时，取得最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与是同一象限角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】是第四象限角. 对于A：，因此是第一象限角； 对于B：，因此是第四象限角； 对于C：是第一象限角； 对于D：，因此是第二象限角. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】， ，， 解得. 3. 在中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理及同角的三角函数关系求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 所以. 4. 已知是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】运用排除法，排除选项A、B、D. 【详解】 取，，，，选项A错误； 取平面，平面，，，， ，选项B错误； 取平面，平面，，， ，，， ，选项D错误. 5. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台侧面与下底面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱台的性质及截面性质，结合三角函数求解即可. 【详解】正四棱台中，易知四边形为等腰梯形，且在底面上的投影在上. 过作交于，则平面. 等腰梯形中，，，，. 则，即正四棱台的高为. 设正四棱台侧面与下底面所成角为，， 因为正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，则， 所以，即该正四棱台侧面与下底面所成角的大小为. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据诱导公式得， 由和二倍角公式，代入得， 分子分母同除以（）得， 代入，可知. 7. 已知三棱锥的体积为24，D，E分别是，的中点，点F在棱上，，则三棱锥的体积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】分别是的中点，因此，相似比为， 面积比为相似比的平方，即. 由得，和都在直线上， 因此两点到平面的高之比等于. 三棱锥即，原三棱锥即， 体积比为. 已知，因此. 8. 在中，，，则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用正切和角公式将条件化简，设未知数利用化简后的正切乘积为3表示面积，最后根据二次函数求出最值. 【详解】在中，，故. 整理得. 结合题设，且，两边约去得： . 设边上的高为，垂足为，令，则（）， 于是，， 代入得， 该二次函数开口向下，对称轴为，当时，，即. 的面积，故面积最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称． C. 在上单调递减 D. 将函数图象上的所有点向右平移个单位，就可得到的图象 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，由周期计算公式计算；对B，通过代入验证；对C，由范围得范围，结合余弦函数单调区间判断；对D，化简平移变换得到的解析式判断. 【详解】对于A：，A正确； 对于B：因为，所以的图象关于直线对称，B正确； 对于C：由，得，因为在单调递减，所以在单调递减，C正确； 对于D：将图象上所有点向右平移个单位，得到，D错误. 10. 已知，，为平面内的单位向量，若，不共线，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】选项A：设，，， 由得，由得； 由得，由得，异号时，二者共线不符合题干要求，因此同号， 若，则，即，A错误； ，D错误. 时，总有， ，则，B正确； ，则，C正确； 11. 已知正四面体的棱长为2，P，Q分别为棱，上的点，且，过且平行于的平面记为，则（ ） A. P为的中点 B. 存在 C. 直线与平面所成的最大角的正弦值为 D. 该正四面体的表面被截得的图形周长的最小值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用参数向量表示点坐标，结合向量垂直的数量积条件判定选项A；再通过向量点积求解满足的参数范围，验证选项B；利用线面角向量公式结合二次函数最值，求得线面角正弦最大值以判断选项C；根据线面平行性质确定截面形状，构造周长函数，通过导数求函数最小值判断选项D. 【详解】以为坐标原点，在平面内过作的垂线为轴，所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 由正四面体棱长为，得，，； 底面的重心为，正四面体的高， 故. 对于A：设，，， 则，，，， 由得， 代入化简得，解得， 即为的中点，故A正确. 对于B：当时，，， 又， 若，则， 解得， 故不存在满足条件的，B错误. 对于C：平面的法向量为，设直线与平面所成角为， 则， 又因为， 当时取得最小值， 故的最大值为，C正确. 对于D：平面，在面内过作交于， 在面内过作交于， 则截面为等腰梯形. 由为中点得为中点，； 由得， 腰长， 故截面周长，. 令， 求导得， 令，即，两边平方整理得， 解得或. 当时，单调递减， 当时，单调递增， 故为极小值点也是最小值点， 代入得. 又端点处，，均大于， 故截面周长的最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的母线长为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为________． 【答案】 【解析】 【详解】设圆锥母线长，半径为，高为， 因为侧面展开图是半径为的半圆，半圆的弧长等于圆锥底面圆周长， 所以，即，得， 所以. 13. 有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河，小船航行速度的大小为，方向为北偏西，受河水速度的影响，小船实际航行速度为正北方向，则河水速度为向东________． 【答案】8 【解析】 【分析】将小船静水速度正交分解，利用实际航向正北、东西向合速度为 的条件，由船速西向分速度直接得到向东的水流速度大小. 【详解】 小船本身航行速度大小为，方向北偏西，将其分解为东西、南北分量, 东西方向的速度分量的大小为，方向向西， 小船实际航行方向为正北，说明东西方向合速度为. 设河水向东的速度为，根据速度合成：,即  所以。 即河水速度向东为. 14. 已知函数的一个零点为，且在上单调递减，则方程在上所有根的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由零点条件求出，再根据单调性锁定；解含绝对值的三角方程时，分和两种情况讨论，得到或，最后在给定区间内找出所有根并求和. 【详解】已知函数的一个零点为， 将代入得，即， 又在单调递减，正弦函数单调区间长度不超过半个周期，则 ， 取，验证单调性，此时，当时，， 该区间是正弦函数单调递减区间的子区间，符合条件， 取，验证单调性，此时，当时，， 该区间不是正弦函数单调递减区间的子区间，不符合条件， 取，不符合条件， 综上，，此时， 令，则， 当时，有，即 当，则，或； 当时，有，即 当，则， 即方程在上所有根的和为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面四边形中，，，N为线段上一点，且． （1）用，表示，； （2）若，，，证明：． 【答案】（1）， （2）因为， 所以， 可得，所以． 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 所以 【小问2详解】 略. 16. 如图，在四棱柱中，侧面是矩形，底面是菱形，，M，N分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 【答案】（1）取的中点，连接，， 因为N，K分别为，的中点， 所以， 因为是四棱柱， 所以， 可得， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为底面ABCD是菱形，所以， 因为M，K分别为CD，AB的中点， 可得，所以四边形为平行四边形， 所以， 可得， 又因为平面平面， 所以平面． （2）因为底面ABCD是菱形，，所以为等边三角形， 因为M为CD的中点，所以， 又因为，所以， 因为侧面是矩形，所以，且， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． 【解析】 【分析】（1）通过证明平行四边形得到线线平行，再由线面平行判定定理证明； （2）先证明线面垂直，再由面面垂直判定定理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求在上的最值； （3）若，且，求的值． 【答案】（1） （2）最大值2；最小值 （3） 【解析】 【分析】（1）首先化简得，再令求单调递增区间即可； （2）利用整体法求最值即可； （3）由题可得，再由，结合正弦和角公式求解． 【小问1详解】 ， 由， 解得， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 因为，所以， 当即时，取最大值2； 当即时，取最小值． 【小问3详解】 由，可得， 因为，所以， 可得， 因此 ． 18. 如图，菱形的边长为2，，将沿翻折至，分别为的中点． （1）若． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求直线与所成角的正切值； （2）若三棱锥的各顶点都在球的球面上，球的表面积为，求． 【答案】（1）（ⅰ）由题意知，和均为等边三角形，且为的中点， 所以，因为菱形的边长为2，所以， 因为，所以，可得， 又因为，所以平面， 因为平面，所以； （ⅱ） （2） 【解析】 【分析】(1)（i）根据线面垂直平面,推导出线线垂直即可. （ii）作出与所成角的平面角，然后利用平面几何的知识求解即可. (2)利用三棱锥外接球的性质作出外接球的球心位置，然后利用平面几何知识找出外接球半径与其他棱长的关系即可求解. 【小问1详解】 （i）略． （ii）取的中点，连接， 因为分别是的中点，所以， 可得与所成角的大小等于与所成角的大小， 由（i）知平面，所以平面， 因为平面，所以， 可得为直角三角形，所以， 因为，Q为EB的中点，所以， 在中，因为，所以， 可得，所以， 因此直线PE与AF所成角的正切值为． 【小问2详解】 设球的半径为，则，解得， 由（1）知平面，所以平面平面，平面平面，因为平面平面，平面平面， 故在平面内，过等边三角形和的中心分别作垂直于和的直线，则平面，平面，可得的交点即为球心， 连接，设的中心为， 则， 因为，解得， 在中，因为，所以， 可得，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以． 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）已知，，点P在线段上，设，． （ⅰ）若，求； （ⅱ）求为何值时，取得最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求； （2）（i）先根据求，再利用正弦定理求； （2）（ii）法一：设，用x表示，再根据与关系表示，代入到所求表达式中利用均值不等式求最值，验证等号成立的条件即可得到x值； 法二：根据与关系将表达式化为关于的函数，利用函数性质求最值，验证等号成立的条件即可得到x值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 所以，因为，所以． 【小问2详解】 （i）因为，所以， 则， 可得， 在和中，由正弦定理可得， 又因为，所以， 可得. （ⅱ）法一：设，由（i）知，所以， 因为，所以， 因此， 由均值不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的最小值为． 法二：因为，所以， 因此 ， 因为，所以， 因为， 所以， 可得，当且仅当时等号成立， 此时由（i）知， 所以当时，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $