精品解析：山东省青岛市即墨区2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

2023-2024学年度第二学期教学质量检测 高一数学试题 2024.07 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回． 注意事项： 1．答第I卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．选出每小题答案前，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效． 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 若，则（ ） A B. C. D. 2. 已知，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 3. 某校高一、高二、高三的人数之比为，从中随机抽取400名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是，则该校高二年级的人数为（ ） A. 1000 B. 900 C. 800 D. 700 4. 如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（ ） A. 数据中可能存在极端大的值 B. 这组数据是不对称的 C. 数据中众数一定不等于中位数 D. 数据的平均数大于中位数 5. 已知直线与平面，能使的充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 是的一个零点 D. 是的一个单调减区间 7. 投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象如图所示，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 10. 已知向量，满足，，则下列说法正确是（ ） A. 若则 B. 最大值为3 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量坐标为 11. 如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（ ） A. 该几何体的体积为 B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 异面直线与的夹角余弦值为 D. 存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10众数为，第三四分位数为，则______； 13. 从四棱锥八条棱中随机选取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是______. 14. 已知正四面体的棱长为，球与正四面体六条棱相切，球与正四面体四个面相切，则两个球的体积比______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，），设，. （1）若，，，求与的夹角. （2）若 ①与夹角余弦值； ②判断四边形的形状，并说明理由. 16. 某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组． （1）求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？ （2）由频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替） （3）在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积. 18. 记的内角，，对边分别为，，，已知，，边上的中线． （1）求； （2）求； （3）若，分别为边，上的动点，现沿线段折叠三角形，使顶点恰好落在边上点，求长度最小值． 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数” （1）判断，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由； （2）若，是，的“3重覆盖函数”，求的范围； （3）若，，是，的“9重覆盖函数”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期教学质量检测 高一数学试题 2024.07 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回． 注意事项： 1．答第I卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．选出每小题答案前，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效． 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法以及共轭复数的概念直接求解. 【详解】由题意知， 所以. 故选：B 2. 已知，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，由此列方程可求出. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故选：A 3. 某校高一、高二、高三的人数之比为，从中随机抽取400名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是，则该校高二年级的人数为（ ） A. 1000 B. 900 C. 800 D. 700 【答案】D 【解析】 【分析】先根据学校中每人被抽中的概率都是，求出全校的总人数，然后利用各年级人数所占的比例可求出该校高二年级的人数. 【详解】因为从全校学生中随机抽取400名学生组成志愿者，且每人被抽中概率都是， 所以全校总人数为人， 因为高一、高二、高三的人数之比为， 所以该校高二年级的人数为人. 故选：D 4. 如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（ ） A. 数据中可能存在极端大的值 B. 这组数据是不对称的 C. 数据中众数一定不等于中位数 D. 数据的平均数大于中位数 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质结合样本的数字特征即可判断. 【详解】数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则其图单峰不对称，故B正确；其大致图如下： 由图可知数据中可能存在极端大的值，故A正确； 由于“右拖尾”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，可能与众数相等，故C错误； 平均数靠近中点处，平均数容易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，故D正确； 故选：C 5. 已知直线与平面，能使的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，则也可能平行，故A错误； 若，则，故B正确； 若，则可能垂直，也可能平行，故C错误； 若，由线面垂直判定定理可知，与不一定垂直， 所以可能相交，不一定垂直，故D错误； 故选：B 6. 将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 是的一个零点 D. 是的一个单调减区间 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角函数图象变换规律求出的解析式，然后逐个分析判断即可. 【详解】将的图象向左平移个单位得, ， 所以， 对于A，的最小正周期为，所以A错误， 对于B，因为， 所以为图象的一条对称轴，即的图象关于对称，所以B正确， 对于C，因为， 所以不是的零点，所以C错误， 对于D，由，得，得， 因为在上单调递增，所以是的一个单调增区间，所以D错误. 故选：B 7. 投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将所求事件的概率转化为求对立事件的概率，再利用公式相减即可. 【详解】由题意得事件，中至少有一个发生的对立事件是事件，都不发生， 而事件不发生的概率为，事件不发生的概率为， 所以事件，都不发生的概率为， 故事件，中至少有一个发生的概率是，故D正确. 故选：D 8. 函数的图象如图所示，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可得，结合周期可得，再根据时取得最值，可求得，代入，即可求得. 【详解】根据图象可得，， 所以，可求得，， 解之可得 ，又因，所以， 则，所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简可得，即可结合选项逐一求解. 【详解】由可得， 对于A，，故A错误， 对于B，的虚部为，故B正确， 对于C, ，故C正确， 对于D，在复平面内对应的点为，它在第一象限，故D正确， 故选：BCD. 10. 已知向量，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若则 B. 最大值为3 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量坐标为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A,验证数量积是否为0即可判断；对于B，求模先求平方，再开方即可求解；对于C,移项之后在平方求解即可；对于D,在向量上的投影向量为,据此求解即可. 【详解】对于A,因为，所以与不垂直，故A错误； 对于B,因为，所以， 所以 当共线时，有最大值为1，所以，故B正确； 对于C,因为，所以，即， 所以，所以，解得，故C错误； 对于D,因为，所以，即， 所以在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 11. 如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（ ） A. 该几何体的体积为 B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 异面直线与的夹角余弦值为 D. 存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据长方体和棱锥的体积公式求解判断，对于B，连接交于，连接，则可得为直线与平面所成角，然后求解判断，对于C，由于∥，则可得的补角为异面直线与的夹角，然后在中求解判断，对于D，先求出长方体的外接球半径，然后判断点是否在该球上即可. 【详解】对于A，该几何体的体积为，所以A正确， 对于B，连接交于，连接，由题意可知四棱锥为正四棱锥， 所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为正方形的边长为1，所以， 所以，所以B正确， 对于C，设，因为∥，所以或其补角为异面直线与的夹角， ，， 所以， 所以异面直线与的夹角余弦值为，所以C错误， 对于D，设长方体的外接球的球心为，半径为， 则为的中点，，得， 因为， 所以点长方体的外接球上， 所以存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上，所以D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10的众数为，第三四分位数为，则______； 【答案】 【解析】 【分析】根据众数的概念求得众数，从小到大排列后，利用四舍五入法求得第三四分位数. 【详解】众数=5， 从小到大排列是1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10因为数据个数为14， 而且，所以这组数据的第三四分位数为8. 故答案为：13 13. 从四棱锥的八条棱中随机选取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】基本事件总数，这两条棱所在的直线为异面直线包含的基本事件个数，由此能求出这两条棱所在的直线为异面直线的概率． 【详解】解：从四棱锥的八条棱中随机选取两条，基本事件总数， 这两条棱所在的直线为异面直线包含的基本事件个数， 则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是． 故答案为:. 【点睛】本题考查概率的求法.求古典概型概率时，可采用列举法将基本事件一一列出；也可结合计数原理的思想. 14. 已知正四面体的棱长为，球与正四面体六条棱相切，球与正四面体四个面相切，则两个球的体积比______． 【答案】 【解析】 【分析】将四面体补成正方体，则正四面体的棱切球即正方体的内切球，求出正方体的棱长，即可得球的半径，由题意得球的球心到正四面体的各个面的距离都相等，且为半径，由等体积法即可求出，利用球的体积公式即可求解. 【详解】将四面体补成正方体，则四面体的棱长全是该正方体的面对角线， 球与正四面体六条棱相切，则球为正方体的内切球，且切点为面对角线的中点， 正四面体的棱长为， 设正方体的棱长为，则， 则， 故正方体内切球的半径， 正四面体的棱长为， 设底面三角形的高为，则， 即， 底面三角形的面积 顶点在底面的投影位为底面三角形高的处， 设正四面体的高为， 由勾股定理得， 则正四面体的体积为， 球与正四面体四个面相切， 则球心到正四面体的各个面的距离都相等，且为半径， 则正四面体的体积为， 则由等体积法得， 可得， 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于正四面体的棱切球，可以转化为正方体的内切球，方便理解与运算. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，），设，. （1）若，，，求与的夹角. （2）若 ①与夹角余弦值； ②判断四边形的形状，并说明理由. 【答案】（1） （2）① ②四边形为梯形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）展开求出，求出； （2）①求出，证明，求出与夹角余弦值； ②求出和的关系，证明，判断四边形的形状. 【小问1详解】 ，， 即，则，； 【小问2详解】 ①，， ， ，，与夹角余弦值为； ②， ，且， 四边形为梯形. 16. 某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组． （1）求并估计开业当天所有滑雪人年龄在有多少人？ （2）由频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替） （3）在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求x的值，进而估算人数； （2）根据频率分布直方图求平均数，分析可知，结合中位数的概念运算求解； （3）求各层人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 则， 所以估计开业当天滑雪的人年龄在内有人. 【小问2详解】 由题意可得：， 又因为， 可知，则解得：. 【小问3详解】 中的人数：，分别记为； 中的人数：，分别记为 中的人数：，记为 则任选两人的情况有 ，共种， 其中来自同一组有 ，共种， 所以两个人来自同一组的概率为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1) 连结和交于，连结，由三角形中位线定理可得，由线面平行的判定定理可证平面； (2)由为正方形及平面，可证、，即可证平面，作于，由面面垂直的性质可证平面，由体积公式求之即可. 【小问1详解】 连结和交于，连结， ∵为正方形，∴为中点，∵为中点， ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 作于. ∵平面，平面，∴， ∵为正方形，∴，∵，平面， ∴平面， ∴，∵，∴平面， ∵平面，平面，∴， ∵，∴，. ∴四棱锥的体积. 18. 记的内角，，对边分别为，，，已知，，边上的中线． （1）求； （2）求； （3）若，分别为边，上的动点，现沿线段折叠三角形，使顶点恰好落在边上点，求长度最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量中线定理建立方程求解参数即可. （2）先用余弦定理求出，再利用正弦定理求解即可. （3）利用折叠性质结合正弦定理将所求边长表示为三角函数，再结合三角函数有界性求解即可. 【小问1详解】 化简得：，， 【小问2详解】 在中，由余弦定理得： ，（负根舍去）， 由正弦定理得：，解得：， 或(舍去) 【小问3详解】 连接，则为线段的垂直平分线 ，设，则， 设，在中，由正弦定理得：， ，最大时即为的补角， 而，所以， ，， 长度最小值. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数” （1）判断，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由； （2）若，是，的“3重覆盖函数”，求的范围； （3）若，，是，的“9重覆盖函数”，求的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 分析】（1）利用给定定义判断即可. （2）利用给定定义建立不等式，求解参数范围即可. （3）利用给定定义转化为函数交点问题，利用数形结合法求解即可. 小问1详解】 ， ， ，， 故的值域为，当时，， 此时，不是的“4重覆盖函数”， 【小问2详解】 ，， 的图像如下： 是的“3重覆盖函数”， ， 在成立， ， 【小问3详解】 ， ，令， 为的“9重覆盖函数”， 即有9个实数根， 即有9个实数根， 因为与的图像如下， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上，要满足题意，所以，即. 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后转化为零点问题，再转化为交点问题建立不等式组，得到所要求的参数范围即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$