精品解析：广东深圳市格致中学2024-2025学年高二下学期第二次段考（5月）数学试题

深圳市格致中学2024-2025学年第二学期第二次段考 高二年级数学试题 满分150分，考试用时120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 2. 已知三棱柱如图所示，其中，若点N为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 4. 若抛物线的准线被曲线所截得的弦长为，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 从4名男同学、5名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（ ） A. 140种 B. 100种 C. 80种 D. 70种 6. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（     ） A. 事件A与B为互斥事件 B. 事件两两独立 C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. （多选）下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则当较大时，对应的正态曲线“矮胖”，随机变量X的分布比较分散 B. 在线性回归分析时，可以用相关系数刻画两个随机变量间的线性相关性，若越小，则说明线性相关性越弱 C. 若样本数据的方差为，则的方差为 D. 一组数据的第百分位数为 10. 已知函数的定义域为，，为的导函数，已知的图象如图所示，则以下说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数在区间上为单调递增函数 C. 函数在处的切线的倾斜角大于 D. 关于的不等式的解集为 11. “杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ） A. B. 第2025行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C. 记第n行的第i个数为，则 D. 第20行中第8个数与第9个数之比为8:13 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足，且，则__________. 13. 已知，则______． 14. 如图，已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且，则该双曲线的离心率为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或者演算步骤） 15. 设数列的前项和为，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 2021年国庆期间，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图： （1）求这200位作者年龄的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）县委宣传部从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是X，求变量X的分布列和数学期望. 17. 如图，在四棱锥中，面．，四边形满足，，，点为中点，点为边上的动点 （1）求证：平面． （2）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由． 18. 已知曲线在处的切线方程为，且． （1）求的解析式； （2）求函数的极值； （3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的方程． （2）过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点． （i）若，求的方程； （ii）已知分别是的左、右顶点，直线，分别交直线于，两点，证明：与的面积之比为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市格致中学2024-2025学年第二学期第二次段考 高二年级数学试题 满分150分，考试用时120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角． 【详解】直线的斜率，则，所以直线的倾斜角 【点睛】本题考查直线倾斜角的求法，属于基础题． 2. 已知三棱柱如图所示，其中，若点N为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加减法和数乘向量的定义运算即可. 【详解】由题意可知，， 则. 故选：A 3. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】为直线上的点到原点距离的平方，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】为直线上的点到原点距离的平方， 所以的最小值为原点到直线的距离的平方， 又原点到直线的距离， 所以的最小值为1． 故选：D. 4. 若抛物线的准线被曲线所截得的弦长为，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心坐标与圆的半径，求出抛物线的准线方程，计算出圆心到准线的距离，可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为， 抛物线的准线方程为，圆心到准线的距离为， 解得或. 故选：B. 5. 从4名男同学、5名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（ ） A. 140种 B. 100种 C. 80种 D. 70种 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分为2男1女，或2女1男，按组合公式求解． 【详解】可分两类，男同学2名、女同学1名或男同学1名、女同学2名，共有种不同的组队方案． 故选：D． 6. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（     ） A. 事件A与B为互斥事件 B. 事件两两独立 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式先求出事件，和的概率，即可判断C，利用互斥事件的概率公式判断A，利用相互独立事件的乘法公式判断B，利用条件概率计算公式判断D. 【详解】对于A，因，故事件A与B不是互斥事件，A错误； 对于B，因，则， 因，故事件与事件不独立，故B错误； 对于C，因，故，而， 故 ，即C错误； 对于D，因则， 于是，，故，即D正确. 故选：D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过边长相等得到角相等，证明三角形相似，利用线段比例关系得到的关系式即可得到结果. 【详解】由题意得，， 由椭圆定义得，故， ∵，，∴， ∴与相似，∴，即， 整理得，故，解得， 由得，，即椭圆的离心率为. 故选：B. 8. 若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出两个函数图象的公共点坐标，利用导数的几何意义建立关系求解即得. 【详解】设函数与函数的图象公共点坐标为， 求导得，依题意，，于是， 令函数，显然函数在上单调递增，且， 则当时，，因此在中，，此时，经检验符合题意， 所以. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. （多选）下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则当较大时，对应的正态曲线“矮胖”，随机变量X的分布比较分散 B. 在线性回归分析时，可以用相关系数刻画两个随机变量间的线性相关性，若越小，则说明线性相关性越弱 C. 若样本数据的方差为，则的方差为 D. 一组数据的第百分位数为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质，相关系数的作用，样本方差的性质以及百分位数的计算逐项分析. 【详解】选项A，由为标准差，该值越大，数据越分散，对应的正态曲线越“矮胖”，故A正确； 选项B，利用相关系数刻画两个随机变量间的线性相关性时，的值越接近线性相关性越弱， 仅通过的大小无法判断线性相关性强弱，故B错误； 选项C，根据样本方差的性质可知，若样本数据的方差为， 则的方差为，故C正确； 选项D，由，所以所给数据的第百分位数为，故D错误. 10. 已知函数的定义域为，，为的导函数，已知的图象如图所示，则以下说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数在区间上为单调递增函数 C. 函数在处的切线的倾斜角大于 D. 关于的不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导函数的图象得到，即原函数是增函数可判断ABC；令，求判断在上单调性，利用单调性可解不等式可判断D. 【详解】对于A，函数的导函数，则在上是单调递增函数，图象不关于对称，错误； 对于B，的图象都在x轴的上方，所以，所以函数在区间上为单调递增函数，正确； 对于C，的图象都在的上方，所以，设在处的切线的倾斜角为，则在处切线的斜率大于2，因为正切函数在的单调递增，所以倾斜角大于，正确； 对于D，因为，令，则，故在上单调递增，又因为，关于的不等式的解集为，正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了导函数图象与原函数单调性的关系，关键点是根据图象判断出原函数的单调性，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 11. “杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ） A. B. 第2025行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C. 记第n行的第i个数为，则 D. 第20行中第8个数与第9个数之比为8:13 【答案】BCD 【解析】 【分析】将杨辉三角的各项转化为组合数表达式，并综合运用组合数的计算、对称性、二项式定理以及阶乘公式来逐一对各个选项进行验证即可求解. 【详解】对于A，， 所以，故A错误， 对于B，由题意得杨辉三角具有左右对称性，第2025行共有个数， 中间两个位置就是和，由于对称，所以这两个数相等，故B正确， 对于C，记第行的第个数为，由题意得在杨辉三角中， 第行的第个数可以表示为， 该行共个数，故的取值范围是从到， 则有，令，则的取值为从到， 则有，由二项式定理得， 令得，即，C正确， 对于D，第20行中第8个数为，第9个数为， 则，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足，且，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用两式相减就可得到数列的周期性，可得周期为3的数列，即可求出结果. 【详解】由可得：，两式相减得： ，由此可得：， 故答案为：1. 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别令和，结合两式相加，即可求得的值，得到答案. 【详解】由， 当时，可得， 当时，可得， 两式相加，可得， 所以. 故答案为：. 14. 如图，已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且，则该双曲线的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】取AB的中点M，连接OM，求得直线OM的斜率，再利用点差法求得，进而求得该双曲线的离心率 【详解】如图，设直线AB与x轴交于点D，取AB的中点M，连接AC，OM， 由双曲线的对称性可知O为线段AC的中点，则， 所以.由直线AB的斜率，得， 则直线OM的斜率. 设，，则 两式相减，得，化简得， 即， 所以该双曲线的离心率. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或者演算步骤） 15. 设数列的前项和为，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据和等差数列的定义与通项公式计算即可求解； （2）由（1）可得，结合裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由，得， 即，又， 所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以数列的前项和为 . 16. 2021年国庆期间，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图： （1）求这200位作者年龄的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）县委宣传部从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是X，求变量X的分布列和数学期望. 【答案】（1）， （2）X的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望：【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数和方差的公式代入计算即可； （2）根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在内有2人，在内有4人，利用古典概型的概率公式代入计算，列出分布列求出数学期望即可． 【小问1详解】 这200位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为 ， . 【小问2详解】 根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在内有2人，在内有4人， 故X可能的取值为0，1，2， ，， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的数学期望为. 17. 如图，在四棱锥中，面．，四边形满足，，，点为中点，点为边上的动点 （1）求证：平面． （2）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）证明: 因为平面，所以，，又，所以，，两两垂直．以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示． 则，，， 点为中点，故 故， 又， 所以 所以，，为共面向量，平面， 所以平面． （Ⅱ）存在，． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意有，，又，以以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．证明，，为共面向量即得． （Ⅱ）设，，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量为，利用法向量夹角的余弦的绝对值等于求得即可． 【详解】（Ⅰ）略； （Ⅱ）设， 依题意可知平面的法向量为，， 设平面的法向量为，则， 令，则． 因为二面角的余弦值为， 所以， 即，解得或． 所以存在点符合题意， 当或时，二面角的余弦值为． 【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，考查二面角问题，解题方法是空间向量法，建立空间直角坐标系后，证明线面平行，只要证明直线的方向向量可用平面的一个基底表示即可，而二面角则是利用二面角的余弦值与二面角的两个面的法向量夹角的余弦值相等或相反求解． 18. 已知曲线在处的切线方程为，且． （1）求的解析式； （2）求函数的极值； （3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）极大值为，无极小值；（3）． 【解析】 【分析】（1），求得，得到，然后计算切点纵坐标，求导数，计算切线斜率，写出切线方程，进而得到函数的解析式; （2）由（1）知，利用导数研究函数的单调性，进而得到极值. （3）令,，由于，，故先对时的情况利用导数研究函数的单调性，即可得到，符合题意.当时，再利用导数研究函数的单调性，设的零点情况分和讨论，进而求得 时符合题意，时不符合题意，从而综合可得. 【详解】解：（1），∴， ，， ，， 切线方程为,即, ∴． （2）由（1）知，函数定义域为， 所以， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以函数在处取得极大值，极大值为，无极小值． （3）令, ，，, 1．当时，，所以在上单调递增，所以，即符合题意； 2．当时，设， ①当，，，所以在上单调递增， ，所以在上单调递增，所以， 所以符合题意； ②当时，，，所以在上递增， 在上递减，，所以当，， 所以在上单调递减，，所以，，舍去. 综上：. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和求解不等式恒成立中的参数取值范围问题，关键难点是不等式恒成立中的分类讨论思想，要理解分类讨论的依据. 19. 已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的方程． （2）过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点． （i）若，求的方程； （ii）已知分别是的左、右顶点，直线，分别交直线于，两点，证明：与的面积之比为定值． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）分别是的左、右顶点，故 故直线的方程为：， 当时，，故， 同理可得：直线的方程为：，， 且，故, 故， 因为，故， 所以， 故与的面积之比为定值7. 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入，结合椭圆方程中的关系求解即可； （2）联立直线和椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解（i）；利用两点的坐标，写出，两点的坐标，然后利用三角形面积公式表示出面积比，然后结合和求解即可. 【小问1详解】 椭圆过点，故， 且离心率，解方程组，得：， 故椭圆方程为: . 【小问2详解】 （i）过点的直线（与轴不重合）,故设直线， 设，联立 ，整理得：， 故， 故， 即，解得， 故的方程为：. （ii）略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意根的判别式的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为与韦达定理相关的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $