精品解析：广东广州市第六中学（从化校区）2025-2026学年高二下学期数学测试（3）

广州市第六中学（从化校区）2025-2026学年高二下学期数学测试（3） 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 64 B. 56 C. 20 D. 6 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知变量与变量的观测数据为，，…，，满足经验回归方程.若，则（ ） A. 9 B. 10.5 C. 133 D. 139 4. 已知随机变量，则（ ） A. 24 B. 21 C. D. 5. 已知三台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数目之比为，现任取一个零件，记事件“零件由第1台车床加工”，“零件为次品”，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 记二项式的展开式中的系数为，且，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有81种报名方法 B. 4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，则这三个项目的冠军共有24种不同结果 C. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，共有36种报名方法 D. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，共有64种报名方法 10. 已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件A与B为对立事件 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 若二项式展开式中所有项的系数之和为，所有项的系数绝对值之和为，二项式系数之和为，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. 对任意均有 D. 存在使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知x与y之间的一组数据如下表所示，当m变化时，回归直线必过定点________． x 0 1 2 3 y 1 3 5－m 7＋m 13. 展开式中，的系数为_________. 14. 已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，其首项，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为，，，的4组，画出频率分布直方图如图所示. 若，称当天空气质量达标；若，称当天空气质量不达标. （1）求； （2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率； （3）若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 6月 合计 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. （1）求的极值； （2）证明：. 18. 如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面. （1）求的长； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过，两点． （1）求C的方程； （2）设P，M，N三点在C的右支上，，，证明： （ⅰ）存在常数，满足； （ⅱ）的面积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第六中学（从化校区）2025-2026学年高二下学期数学测试（3） 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 64 B. 56 C. 20 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以由组合数性质得， 所以. 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于是常数，对求导，得， 将代入导函数得，整理得. 3. 已知变量与变量的观测数据为，，…，，满足经验回归方程.若，则（ ） A. 9 B. 10.5 C. 133 D. 139 【答案】B 【解析】 【分析】利用经验回归直线必过样本中心点的性质，先求，再代入回归方程求，最后计算即可. 【详解】因为，所以，因为经验回归直线必过样本中心点，所以，，所以，所以. 4. 已知随机变量，则（ ） A. 24 B. 21 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 解得，所以， 则． 5. 已知三台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数目之比为，现任取一个零件，记事件“零件由第1台车床加工”，“零件为次品”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式、条件概率公式列式求解. 【详解】记事件“零件由第台车床加工”，则， ， 由全概率公式得： ， 故. 故选：D 6. 函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，根据题意，转化为在区间上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为在区间上是减函数，可得在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 根据二次函数的性质，则满足，解得， 7. 记二项式的展开式中的系数为，且，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二项式展开式得出系数，再结合已知，计算求解参数. 【详解】记二项式的展开式中的系数为， ，，，，， 所以， 因为， 故. 故选：B. 8. 已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据是偶函数得出的一个等式关系，再对其求导得到的一个等式关系，然后结合推出的周期，最后根据周期求出的值. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，即. 两边求导，可得：，可得. 因为，所以的图象关于直线对称，则. 用代替可得. 将代入中，可得 ①. 用代替可得 ②. 由②①可得：. 所以是周期为的周期函数. 所以. 因为的图象关于直线对称，所以. 在中，令，可得，解得， 所以，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有81种报名方法 B. 4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，则这三个项目的冠军共有24种不同结果 C. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，共有36种报名方法 D. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，共有64种报名方法 【答案】AC 【解析】 【分析】根据排列、组合知识及分步计数原理求解即可. 【详解】对于A，每个同学都有3种情况，共有种，所以A正确； 对于B，每个项目的冠军有4种情况，则共有种，所以B错误； 对于C，4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人， 将4名同学分成人数分别为2，1，1的三组，再分配到三个项目中，共有种，所以C正确； 对于D，4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，跑步项目有4种，跳高有3种，跳远有2种， 根据分步乘法原理，可得一共种，所以D错误. 10. 已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件A与B为对立事件 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用和事件与积事件的关系可得，再利用互斥事件与对立事件性质可得A；利用条件概率公式计算可得B；利用全概率公式计算可得C；利用对立事件的性质及概率的乘法公式与和事件与积事件的关系计算可得D. 【详解】对A：由，故， 则、互斥，但不能得到、对立，故A错误； 对B：由，则， 故或，故B错误， 对C：，， 若则，故C正确； 对D：，则， 所以. 11. 若二项式展开式中所有项的系数之和为，所有项的系数绝对值之和为，二项式系数之和为，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. 对任意均有 D. 存在使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据所给二项式，赋值，分别求得、、，根据函数的单调性，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由题意得：令，可得， 求所有项的系数绝对值之和，等价于求的所有项系数和， 令，可得， 二项式系数之和为， 对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：， 因为，且在上单调递增， 所以的最小值为，所以，，故B正确 对于C、D：在上为减函数， 所以，即，故C正确，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知x与y之间的一组数据如下表所示，当m变化时，回归直线必过定点________． x 0 1 2 3 y 1 3 5－m 7＋m 【答案】 【解析】 【分析】通过表格直接求出回归直线方程的经过的样本中心即可. 【详解】易得，因为回归直线必过样本点的中心，所以当变化时，回归直线 必过定点，故答案为. 【点睛】本题考查回归方程，考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用线性回归方程必过样本中心点这一性质，属于基础题． 13. 展开式中，的系数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】分不含项和含一个项两种情况，直接根据组合数的知识进行求解即可. 【详解】展开式中，的项为，则的系数为. 故答案为： 14. 已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式化简恒成立，则只需令的最小值大于等于，通过求导求出函数单调性即可找到最小值. 【详解】令，则， 令，，在区间上单调递增，且， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 令，易知在区间上单调递增， 又，，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，其首项，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助等比中项性质求出等差数列公差以确定通项公式. （2）通过分组求和法分别计算对应等比、等差数列的前项和，合并得到最终结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则， 可得，，. 由，，成等比数列， 可得， 代入得 ， 展开整理得， 解得. 因此，. 【小问2详解】 由（1）得， 数列为等比数列，其前项和为， 数列为等差数列，其前项和为， 因此. 16. 某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为，，，的4组，画出频率分布直方图如图所示. 若，称当天空气质量达标；若，称当天空气质量不达标. （1）求； （2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率； （3）若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 6月 合计 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）0.002 （2） （3）不能 【解析】 【分析】（1）由频率和为1求解； （2）由对立事件的概率计算公式求解； （3）先求出列联表，再计算卡方值进行判断即可． 【小问1详解】 依题意得，， 解得． 【小问2详解】 由频率分布直方图知， 4月份的空气质量达标的天数为：， 则4月份的空气质量不达标的天数为：， 则任取2天，至少有1天空气质量达标的概率为：． 【小问3详解】 列联表如下： 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 12 18 30 6月 8 22 30 合计 20 40 60 零假设：空气质量是否达标与月份无关， 则 所以根据小概率值的独立性检验，没有充分理由推断假设不成立， 故不能认为空气质量是否达标与月份有关联． 17. 已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. （1）求的极值； （2）证明：. 【答案】（1）极小值为0，无极大值. （2）证明：因为，，所以在点处的切线方程为，即，所以， 设，求导可得， 设，求导可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为，即，在上单调递减， 因为， 所以当时，，， 当时，，， 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）通过求导判断函数的单调性从而找到极值； （2）通过求导得到切线方程，构建辅助函数，根据辅助函数的单调性来判断函数的极值，进而对不等式进行证明. 【小问1详解】 ，求导可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 略 18. 如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面. （1）求的长； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合勾股定理的逆定理、余弦定理、锐角三角函数定义进行求解即可； （2）根据三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 因为平面，平面， 所以， 所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理，得， 所以在中，由余弦定理，得. 【小问2详解】 所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理，得， 所以， 设点到平面的距离为， 由三棱锥的体积公式和性质， 得，所以. 【小问3详解】 由上可知：，取的中点，显然， 因为平面，平面， 所以， 因此以所在的直线为轴和轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： ， 由上可知：是棱中点，， 所以可得，，即 设平面的法向量为， ， 所以， 所以取该平面的一个法向量为， 设直线BC与平面PAB所成角为， 所以. 19. 已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过，两点． （1）求C的方程； （2）设P，M，N三点在C的右支上，，，证明： （ⅰ）存在常数，满足； （ⅱ）的面积为定值． 【答案】（1） （2） （ⅰ）设，，，其中，，i＝0，1，2． 因为，所以直线BM的斜率为，方程为． 由，得， 所以， ． 因此． 同理可得直线AN的斜率为，直线AN的方程为． 由，得， 所以， ， 因此 ． 则，即存在，满足． （ⅱ）由（ⅰ），直线MN的方程为， 所以点P到直线MN的距离． 而， 所以的面积为定值． 【解析】 【分析】（1）设C的方程为，其中．由C过A，B两点，代入解得，即可. （2）（ⅰ）设，，，其中，，．因为，所以直线BM的斜率为，方程为． 联立结合韦达定理得到，． 同理，．再结合向量运算即可解决. （ⅱ）结合前面结论，运用点到直线距离公式，三角形面积公式可解. 【小问1详解】 设C的方程为，其中． 由C过A，B两点，故，，解得，． 因此C的方程为． 【小问2详解】 略 【点睛】难点点睛：本题属于中难题，考查直线与双曲线．本题第（1）小问设问基础，但需要注意所设方程的形式；第（2）（ⅰ）小问在题干条件翻译上未设置较多障碍，但是对4个坐标分量的求解非常考验学生的代数基本功和计算能力，区分度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $