精品解析：湖南长沙市立信中学2025-2026学年第二学期第三次核心素养初一数学试卷

长沙市立信中学2025－2026学年第二学期第三次核心素养 初一数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，请在答题卡中填涂符合题意的选项，共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，则下列各式中正确的是( ) A. B. C. D. 4. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，已知，，，则的长度为（ ）． A. B. C. D. 6. 为了解我市初中八年级6800名学生的体育成绩，抽查了其中1700名学生的体育成绩进行统计分析．下面叙述正确的是（　　） A. 6800名学生是总体 B. 1700名学生的体育成绩是总体的一个样本 C. 每名学生是总体的一个个体 D. 以上调查是普查 7. 如图，直线，的顶点C在直线b上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中y的值为0，则．其中正确的说法有（ ） A. 0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则______． 12. 一组数据，其中最大值是170，最小值是147，对这组数据进行整理时，组距是4，则分成_____组合适． 13. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则的度数为_______． 14. 若 是关于 的一元一次不等式，则 _______________． 15. 等腰三角形的一条边长为，另一边长为，则它的周长为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线轴于点．点B从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，同时点C从点A出发在射线上运动，速度为每秒3个单位长度，点B运动到点O时同时停止．点D在y轴正半轴上，若与全等，则的长度为_____． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并求它的所有整数解． 19. 已知关于x、y的二元一次方程组. （1）求这个方程组的解；（用含有m的代数式表示） （2）若这个方程组的解，x的值是负数，y的值是正数，求m的整数值. 20. 为增强学生安全意识，某校举行了一次全校2000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的安全知识竞赛成绩频数分布直方图和安全知识竞赛成绩扇形统计图． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______； （2）请补全频数分布直方图； （3）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中达到“优秀”等级的学生人数． 21. 如图，在中，于点为边上的中线．为中边上的高线．已知的面积为． （1）求与的周长之差； （2）求的长． 22. 今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元． （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元； （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元；若要求购买跳绳的数量多于根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案． 23. 如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点． （1）若，，求的度数； （2）已知四边形中，，，求的度数． 24. 定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为．即：当为非负整数时，如果（当时，；当为正整数时，），则，我们把叫做的“立信数”；反之，当为非负整数时，如果，则，我们把叫做的“立信范围”． 例如：，，．试解决下列问题： （1）填空：______；如果，实数的取值范围是______． （2）①求满足的所有整数的值； ②若关于的方程有正整数解，且a同时满足，是否存在这样的实数满足条件？若存在，请求出其值；若不存在，请说明理由． （3）求满足的所有的取值范围． 25. 在平面直角坐标系中，点、是坐标轴上的点，且与互为相反数 （1）求、的坐标； （2）如图1，第三象限内有一个点，点到轴的距离是到轴距离的2倍，且到两坐标轴的距离之和为9．过点作轴交轴于点，点是直线上一点，当时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，线段上存在点，满足，线段延长线上存在一动点，过点作于点．下列结论：①为定值；②为定值．请选择你认为正确的结论，求出该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市立信中学2025－2026学年第二学期第三次核心素养 初一数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，请在答题卡中填涂符合题意的选项，共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简各选项，再根据无理数定义判断，无限不循环小数是无理数，整数和分数都是有理数． 【详解】解：∵ ，是整数，属于有理数，故A不符合要求； ∵ ，是整数，属于有理数，故C不符合要求； ∵ 是分数，属于有理数，故D不符合要求； ∵ 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号规律为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵点的坐标为，横坐标，纵坐标，符合第四象限点的坐标特征， ∴点位于第四象限． 3. 若，则下列各式中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行判断． 【详解】解：A、在不等式m＞n的两边同时加上2，不等号方向不变，即m+2＞n+2，故本选项不符合题意． B、在不等式m＞n的两边同时减去3，不等号方向不变，即m-3＞n-3，故本选项不符合题意． C、在不等式m＞n的两边同时乘-5，不等号方向改变，即-5m＜-5n，故本选项符合题意． D、在不等式m＞n的两边同时除以6，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 4. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，判定能否组成三角形时，只需验证较小两边的和是否大于最长边，满足条件即可构成三角形，反之不能． 【详解】解：∵ ，不满足三边关系，∴选项A不能摆成三角形； ∵ ，不满足三边关系，∴选项B不能摆成三角形； ∵ ，不满足三边关系，∴选项C不能摆成三角形； ∵ ，满足三角形三边关系，∴选项D能摆成三角形． 5. 如图，已知，，，则的长度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，线段的和差运算，掌握好相关知识是关键． 根据全等三角形对应边相等的性质可得，作差求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 6. 为了解我市初中八年级6800名学生的体育成绩，抽查了其中1700名学生的体育成绩进行统计分析．下面叙述正确的是（　　） A. 6800名学生是总体 B. 1700名学生的体育成绩是总体的一个样本 C. 每名学生是总体的一个个体 D. 以上调查是普查 【答案】B 【解析】 【分析】根据统计相关的基本概念，包括总体、个体、样本、普查与抽样调查的定义，判断各选项即可． 【详解】解：A．总体是我市初中八年级名学生的体育成绩，不是名学生，错误，故不符合题意； B．名学生的体育成绩是从总体中抽取的一部分个体，符合样本的定义，∴B正确； C．总体的一个个体是每名学生的体育成绩，不是每名学生，错误，故不符合题意； D．本次调查只抽取了部分学生，属于抽样调查，不是普查，错误，故不符合题意． 7. 如图，直线，的顶点C在直线b上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，根据平行线的性质求出，根据对顶角的性质得出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又， ∴， 故选：D． 8. 在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 9. 如图，在中，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴． 10. 已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中y的值为0，则．其中正确的说法有（ ） A. 0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．方程组整理得，针对四种说法逐一分析即可判断． 【详解】解：， 由②得， 把代入①得， 整理得， 当时，方程组无解； 当时，方程组有唯一解； 如果，则，解得， 观察四种说法，①②错误，③④正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用算术平方根与绝对值的非负性，由两个非负数的和为，可得每个非负数均为，据此求出，的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 将，代入得：． 12. 一组数据，其中最大值是170，最小值是147，对这组数据进行整理时，组距是4，则分成_____组合适． 【答案】6 【解析】 【分析】求出最大值与最小值的差，再根据组距、组数、最大值与最小值的差的关系进行计算即可． 【详解】解：（170-147）÷4≈6（组）， 故答案为：6． 【点睛】本题考查频数分布表，调查收集数据的过程与方法，掌握组距、组数、最大值与最小值的差之间的关系是正确计算的前提． 13. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据余角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵直尺的两边互相平行， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的定义，属于基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键． 14. 若 是关于 的一元一次不等式，则 _______________． 【答案】0 【解析】 【分析】一元一次不等式要求一次项存在,系数不为零,指数为一. 【详解】∵ 是关于 的一元一次不等式， ∴m-20且|m-1|=1 解得：m=0或2,且m, ∴m=0 【点睛】本题考查了一元一次不等式含参问题,属于简单题,熟悉一元一次不等式的概念是解题关键. 15. 等腰三角形的一条边长为，另一边长为，则它的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况：腰长为和腰长为，根据构成三角形的条件验证能否构成三角形后，计算符合条件的周长即可． 【详解】解：当腰长为时，则该等腰三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，则该等腰三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线轴于点．点B从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，同时点C从点A出发在射线上运动，速度为每秒3个单位长度，点B运动到点O时同时停止．点D在y轴正半轴上，若与全等，则的长度为_____． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质，设运动时间为秒，由题意得，，则，然后分当时， 当时，然后根据全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的性质及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 当时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 综上可知：或4． 故答案为：或4． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解不等式组：，并求它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为． 19. 已知关于x、y的二元一次方程组. （1）求这个方程组的解；（用含有m的代数式表示） （2）若这个方程组的解，x的值是负数，y的值是正数，求m的整数值. 【答案】（1）方程组的解是；（2）整数m的值为﹣3、﹣2、﹣1、0. 【解析】 【详解】分析：（1）利用加减消元法求出x、y的值即可； （2）根据x、y的值的正负情况列出不等式组，然后求出两个不等式的解集，再求其公共解，再写出范围内的整数即可． 详解：（1）， ①+②得，2x=4m-2， 解得x=2m-1， ①-②得，2y=2m+8， 解得y=m+4， 所以，方程组的解是； （2）据题意得： ，解之得：-4＜m＜， 所以，整数m的值为-3、-2、-1、0． 点睛：本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 20. 为增强学生安全意识，某校举行了一次全校2000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的安全知识竞赛成绩频数分布直方图和安全知识竞赛成绩扇形统计图． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______； （2）请补全频数分布直方图； （3）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中达到“优秀”等级的学生人数． 【答案】（1）150；36 （2） （3）320人 【解析】 【分析】（1）用A等级的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，进而可得m、n的值； （2）求出D等级的人数，再补全频数分布直方图即可； （3）用2000乘以样本中A等级的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴，即； 【小问2详解】 解：D等级的学生人数为（人）， 补全频数分布直方图见答案； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校参加竞赛的2000名学生中达到“优秀”等级的学生人数为320人． 21. 如图，在中，于点为边上的中线．为中边上的高线．已知的面积为． （1）求与的周长之差； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的定义，三角形的中线平分面积，是解题的关键； （1）根据三角形的中线的定义，推出与的周长之差为的长即可； （2）根据三角形的中线平分面积结合三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为：； 【小问2详解】 ∵为边上的中线，的面积为， ∴的面积为， ∵为中边上的高线， ∴， ∵， ∴． 22. 今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元． （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元； （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元；若要求购买跳绳的数量多于根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案． 【答案】（1）购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；（2）方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根 【解析】 【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，依题意列出二元一次方程组解之即可； （2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根，根据题意列出不等式并求得m的范围，进而可判断购买方案． 【详解】（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元， 依题意，得：， 解得：， 答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元； （2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根， 根据题意，得：， 解得：m≤22， 又m﹥20，且m为整数， ∴m=21或22， ∴共有两种购买跳绳的方案，方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根． 【点睛】本题考查二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程式及不等式是解答的关键． 23. 如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点． （1）若，，求的度数； （2）已知四边形中，，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平角的定义和角平分线的定义求出的度数，再由平行线的性质可得答案； （2）根据四边形内角和为360度推出，由平角的定义和角平分线的性质得到，再根据三角形外角的性质可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形中，，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴． 24. 定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为．即：当为非负整数时，如果（当时，；当为正整数时，），则，我们把叫做的“立信数”；反之，当为非负整数时，如果，则，我们把叫做的“立信范围”． 例如：，，．试解决下列问题： （1）填空：______；如果，实数的取值范围是______． （2）①求满足的所有整数的值； ②若关于的方程有正整数解，且a同时满足，是否存在这样的实数满足条件？若存在，请求出其值；若不存在，请说明理由． （3）求满足的所有的取值范围． 【答案】（1）；； （2）①； ②不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵方程有正整数解， ∴是7的正约数，7的正约数为． 当时，得，此时为正整数，符合要求； 当时，得，不符合非负整数要求，舍去． 当时，根据定义得：， 即． ∵， ∴， 解得：． 综上所述，， ∵为整数， ∴为整数， 在内无合适的取值， 即不存在满足条件的实数； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据“立信数”及“立信范围”的定义计算即可； （2）①根据“立信范围”的定义得到，求解得到x的取值范围，再根据“立信数”的定义取合适的整数值即可； ②先整理得到，根据方程有正整数解可知或，进而求出，根据“立信范围”的定义求出，根据求出，即，根据为整数可知为整数，判断是否有合适的取值即可； （3）根据定义求出，根据是整数可知，进而根据“立信范围”的定义列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴； 若， 根据定义得， 即； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴为整数， 即x为偶数， ∴； ②略； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵是整数， ∴， ∴， 解得：． 25. 在平面直角坐标系中，点、是坐标轴上的点，且与互为相反数 （1）求、的坐标； （2）如图1，第三象限内有一个点，点到轴的距离是到轴距离的2倍，且到两坐标轴的距离之和为9．过点作轴交轴于点，点是直线上一点，当时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，线段上存在点，满足，线段延长线上存在一动点，过点作于点．下列结论：①为定值；②为定值．请选择你认为正确的结论，求出该定值． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为 （2）点的坐标为或 （3）结论①为定值，定值为1 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质求得，，即可得到、的坐标； （2）根据题意求得点的坐标为，作于点，利用割补法求得，设点的坐标为，根据题意得到，据此求解即可； （3）利用三角形的内角和定理和外角性质求得是的平分线，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵第三象限内有一个点，点到轴的距离是到轴距离的2倍， ∴设点的坐标为， ∵点到两坐标轴的距离之和为9， ∴，解得， ∴点的坐标为， 作于点， ∵，， ∴ ， ∵点是直线上一点， ∴设点的坐标为， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴是的平分线， 设， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴结论①为定值，定值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $