拓展03 利用函数单调性与奇偶性解不等式（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

素养拓展03 利用函数单调性与奇偶性解不等式 预习精讲 知识点01 函数单调性定义及等价形式 设函数在区间上有定义，任取，且，可通过以下标准等价公式判定单调性。 1．增函数（三种等价判定） ①基础定义：若，则 ②差值判定： ③比值判定： 2．减函数（三种等价判定） ①基础定义：若，则 ②差值判定： ③比值判定： 知识点02 函数奇偶性判定方法 采用定义法判定，分为两步判定流程： 1．判定定义域对称性：定义域内任意，必须满足也在定义域内，定义域不对称直接判定为非奇非偶函数。 2．定义域对称时，对比与的函数关系： ①若，函数为奇函数；②若，函数为偶函数；③若两式均不成立，函数为非奇非偶函数。 快速判定公式：可判定奇函数，可判定偶函数。 知识点03 单调性、奇偶性求解抽象不等式 1．普通抽象函数不等式 利用函数单调性脱去抽象符号，将抽象不等式转化为普通自变量不等式求解。若不等式含有常数项，需先将常数转化为对应函数值，再脱符号计算。 2．偶函数型不等式解题步骤 ①利用偶函数核心性质，将式中所有自变量统一化为绝对值形式； ②根据函数单调性脱去外层抽象符号； ③求解绝对值不等式，结合原函数定义域取舍取值，得到最终解集。 3．奇函数型不等式解题步骤 ①移项整理，将不等式两侧含的项统一到一侧； ②利用奇函数核心性质统一函数表达式结构； ③根据函数单调性脱去符号，列自变量不等式，结合定义域求解解集。 【即学即练】 1．已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型速练 题型01 根据简单抽象函数的单调性解不等式 【例1】已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例2】定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式1-1】若定义在上的函数是单调递减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【变式1-2】已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的的取值范围是_____. 【变式1-3】已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型02 根据简单抽象函数的单调性与奇偶性解不等式 【例3】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【例4】若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式2-1】已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 题型03 根据复杂抽象函数的单调性解不等式 【例5】（多选）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则x的取值范围为 【例6】已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式3-1】（多选）设函数，对任意的非零实数x，y，恒有，且对任意的，有，则（   ） A． B．为偶函数 C．单调递减 D．的解集为 【变式3-2】已知函数的定义域是，若对任意的，都有成立，且当时，，则的解集为 ______ . 【变式3-3】已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数，恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)若在上单调递增，求不等式的解集. 题型04 根据单调性定义构造函数解不等式 【例7】已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例8】已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，且，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式4-1】已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【变式4-2】设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知是定义在上的奇函数，对任意的，当时，恒成立．若，，则不等式的解集为______． 题型05 根据简单具体函数的单调性解不等式 【例9】已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例10】已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式5-1】函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解为______． 【变式5-2】已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【变式5-3】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型06 根据复杂具体函数的单调性解不等式 【例11】已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例12】已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式6-1】已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1．已知定义在上的偶函数在上单调递增，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．设偶函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义在区间上的减函数，且，则的取值范围是______． 4．函数的图象关于轴对称，时，．又，则的解集为（    ） A． B． C． D．或 5．设函数，若，则实数的取值范围是______． 6．已知定义在上的偶函数满足：对任意，且时，都有成立，则不等式的解集为___________. 7．已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 8．定义在上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 10．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 12．已知函数 是定义在上的偶函数，且满足 ，.若， 则的解集为（   ） A． B． C． D． 13．已知定义在上的奇函数，对任意的，，满足，且，则的解集为（ ） A． B． C． D． 14．已知定义域为的函数满足，且对于任意的，当时，都有．设，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 素养拓展03 利用函数单调性与奇偶性解不等式 预习精讲 知识点01 函数单调性定义及等价形式 设函数在区间上有定义，任取，且，可通过以下标准等价公式判定单调性。 1．增函数（三种等价判定） ①基础定义：若，则 ②差值判定： ③比值判定： 2．减函数（三种等价判定） ①基础定义：若，则 ②差值判定： ③比值判定： 知识点02 函数奇偶性判定方法 采用定义法判定，分为两步判定流程： 1．判定定义域对称性：定义域内任意，必须满足也在定义域内，定义域不对称直接判定为非奇非偶函数。 2．定义域对称时，对比与的函数关系： ①若，函数为奇函数；②若，函数为偶函数；③若两式均不成立，函数为非奇非偶函数。 快速判定公式：可判定奇函数，可判定偶函数。 知识点03 单调性、奇偶性求解抽象不等式 1．普通抽象函数不等式 利用函数单调性脱去抽象符号，将抽象不等式转化为普通自变量不等式求解。若不等式含有常数项，需先将常数转化为对应函数值，再脱符号计算。 2．偶函数型不等式解题步骤 ①利用偶函数核心性质，将式中所有自变量统一化为绝对值形式； ②根据函数单调性脱去外层抽象符号； ③求解绝对值不等式，结合原函数定义域取舍取值，得到最终解集。 3．奇函数型不等式解题步骤 ①移项整理，将不等式两侧含的项统一到一侧； ②利用奇函数核心性质统一函数表达式结构； ③根据函数单调性脱去符号，列自变量不等式，结合定义域求解解集。 【即学即练】 1．已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知是定义在上的增函数，不等式， 则，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 2．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 题型速练 题型01 根据简单抽象函数的单调性解不等式 【例1】已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为定义在上的增函数，且， 所以，解得． 故选：A． 【例2】定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 【小试牛刀】 【变式1-1】若定义在上的函数是单调递减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，则，可得. 故选：C 【变式1-2】已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的的取值范围是_____. 【答案】 【详解】由函数是定义在区间上的增函数，得， 解得，所以所求的取值范围是. 故答案为： 【变式1-3】已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由条件对任意成立，可知是定义在上的单调递减函数， 则等价于两种情况： 情况1： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，得：； 情况2： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，解集为， 综上：不等式的解集为. 题型02 根据简单抽象函数的单调性与奇偶性解不等式 【例3】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 【例4】若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为奇函数在区间上单调递增且，所以函数在区间上单调递增且， 因此，当或时，；当或时，， 不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为. 【小试牛刀】 【变式2-1】已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对任意的，都有，故在上单调递增， ，故， 解得，故实数的取值范围为. 【变式2-2】若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为偶函数，则， 可得，可得且， 因为在上单调递减，且， 可知在上单调递增，且， 当时，则，故； 当时，则，故； 综上：的解集为. 【变式2-3】已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知， 当 时， 因为在上单调递减，且， 所以的解集为； 当 时， 因为是定义在上的奇函数，所以， 又在上单调递减， 所以的解集为； 所以的解集是，的解集是． 因为不等式等价于不等式组或， 所以不等式的解集是． 题型03 根据复杂抽象函数的单调性解不等式 【例5】（多选）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则x的取值范围为 【答案】BC 【详解】对于A，在中， 令得，因此， 再令得，则，故A错； 对于B，令得， 所以，是偶函数，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，在上是增函数， 从而，故C正确； 对于D，是偶函数，则，又在上是增函数，所以，解得且，故D错误. 故选：BC. 【例6】已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，所以. 令，则，所以. 所以函数为奇函数. 设，且，则. 由题意知，当时，，所以. 因为，所以有. 即，所以在上是减函数. 不等式， 根据单调性可得， 化简得， 解得. 故选：C. 【小试牛刀】 【变式3-1】（多选）设函数，对任意的非零实数x，y，恒有，且对任意的，有，则（   ） A． B．为偶函数 C．单调递减 D．的解集为 【答案】ABD 【详解】项，令 ，则 ，所以 ，故正确； 项，令，则 ，所以 令 ，则 ，所以，所以为偶函数，故正确； C项，令 ，则，所以 ， ，即， 所以在上单调递减， 又因为为偶函数，所以在 上单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减，故C不正确； 项， ，即， 所以 ，所以或，解得或， 所以的解集为，故正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解，抽象函数问题往往利用赋值法求解. 【变式3-2】已知函数的定义域是，若对任意的，都有成立，且当时，，则的解集为 ______ . 【答案】 【详解】因为对任意的，都有成立， 当时，有，必有， 令，有，即，所以为奇函数， 设且，可得，则， 由， 可得，即，所以为上的单调递减函数， 又由，可得， 因为在上单调递减，可得，即， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式3-3】已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数，恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)若在上单调递增，求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)证明：因为是定义在非零实数集上的函数， 令，故， 为偶函数； (3)或， 【分析】 【详解】（1）令得：，故， 令得：，故. （2）略 （3）在上单调递增，且为偶函数， 故在上是减函数，由于， 则， 故，且，解得且， 故不等式的解集为或. 题型04 根据单调性定义构造函数解不等式 【例7】已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，定义域为， 因为是定义域为的奇函数，故， 则， 因此是定义域为的偶函数。 对任意，，由， 可得当时，，即， 因此在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 由，得，且， 当时，两边同乘（不等号方向不变），得，即， 结合在上单调递增，得； 当时，两边同乘（不等号方向改变），得，即， 又在上单调递减，得； 综上，不等式的解集为. 【例8】已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，且，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令， 因为是定义在R上的奇函数， 则， 所以是定义在R上的奇函数， 又因为对任意的，，均有成立， 不妨设，则， 可得，即， 可知在上单调递增，则在上单调递增， 且，则，可得， 不等式化为，即， 可得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D． 【小试牛刀】 【变式4-1】已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 因为，，所以，即， 设，则在上单调递减， 而，则，解得； 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 【变式4-2】设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为为奇函数，且定义域为. 所以，且. 令，则的定义域为. 且，且. 所以函数为偶函数，且. 因为对任意的，且，都有不等式，即恒成立， 所以当，即时，，即. 所以函数在上单调递减. 所以函数在上单调递增. 不等式等价于或. 因为，所以. 所以或， 所以或. 故选：D. 【变式4-3】已知是定义在上的奇函数，对任意的，当时，恒成立．若，，则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】对任意且，不妨令，则， 则由得， 设函数，则，所以在上单调递增， 因为为上的奇函数，所以， 所以为上的奇函数，所以在上单调递增； 因为 ，， 所以，； 所以由得，即，所以； 故答案为：. 题型05 根据简单具体函数的单调性解不等式 【例9】已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 【例10】已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知得，当时，， 所以，当时，同理有，可知是奇函数． 又当时，，所以在上单调递增， 从而可得在上单调递增． 不等式即， 所以有，解得． 【小试牛刀】 【变式5-1】函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ， 当时，， 又， 或， 解得或或， 则不等式的解为． 【变式5-2】已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) 证明：任取，且，， 则 ， 又，且，，则， ，，， 得到，即， 函数在区间上是增函数. (2)或. 【分析】 【详解】（1）略 （2）函数是定义在区间上的增函数， 由，得到， 解得或， 所以实数的取值范围为或. 【变式5-3】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数，所以不等式变为. 由于，所以为奇函数， 所以，所以不等式变为. 由于在上为增函数，所以，解得， 故选：A. 题型06 根据复杂具体函数的单调性解不等式 【例11】已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 得的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，可得， 所以，整理得， 解得或． 【例12】已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为全体实数， ， 所以函数是偶函数， 当时，， 因为函数是单调递增函数，且， 所以函数是单调递增函数， 因为是单调递增函数，且， 所以函数是单调递增函数，且， 所以函数在上单调递增， 所以由 ，或，解得，或， 所以不等式的解集. 【小试牛刀】 【变式6-1】已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数为偶函数， 因为函数，在上都单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， 由不等式可得①或② ， 由①可得，解得； 由②可得，解得， 所以不等式的解集为， 故选：B . 【变式6-2】已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以函数是奇函数， 因为函数，，在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为，所以， 所以，解得或. 【变式6-3】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，定义域为R， 令，则， 则， 即关于中心对称， 当时，由解析式可知单调递增， 对称性得：当时，单调递增， 所以在上是增函数， 又在上是增函数， 所以在上是增函数， ， 所以 则， 即， 由单调性可得：， 即 解得：， 所以不等式的解集为， 故选：D 1．已知定义在上的偶函数在上单调递增，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意知，为偶函数且在上单调递增，则， 即，即，解得， 即的取值范围是． 故选：D. 2．设偶函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为偶函数在上为增函数，所以在上为减函数， 又，所以， 所以当或时，当或时， 不等式，即或， 解得或，即不等式的解集为. 故选：B 3．已知是定义在区间上的减函数，且，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】由题意得，解得， 因为是定义在区间上的减函数，且， 所以，解得，所以的取值范围是. 故答案为： 4．函数的图象关于轴对称，时，．又，则的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】由题意当时，，从而时，函数单调递减， 函数的图象关于轴对称，所以时，函数单调递增， 又，从而，由题可画出的简图如下： 又，所以， 的解集即的解集等价于 或 即或 解得. 5．设函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】函数的定义域为，， 作出函数的图象如下图所示：    由图可知，在上是增函数． 又因为，所以，即，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 6．已知定义在上的偶函数满足：对任意，且时，都有成立，则不等式的解集为___________. 【答案】 【详解】对任意，且时，都有成立， 可得在上单调递减， 因为为偶函数，所以在上单调递增， 所以,解得或. 故答案为:. 7．已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的图象关于点对称， 则函数的图象关于原点对称，即， 从而等价于，即 由函数在定义域上单调递减， 则，解得. 8．定义在上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，解得， 则，因为，所以，进而，即是定义在上的奇函数且单调递增， 令，则， 所以是偶函数，当时，，故，且在上单调递增， 因为，所以不等式等价于， 因为是偶函数且在上单调递增，所以， 解得：或， 即或，结合，最终解集为. 故选：C. 9．已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 【答案】B 【详解】， 设，，所以为偶函数， 所以，是偶函数， 当时，， 所以在单调递增，根据复合函数单调性可知，在单调递增， 所以不等式， 即，两边平方，整理为， 解得：或 所以不等式的解集为. 10．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为R， 且满足， 故为偶函数； 当时，，其中在上单调递增， 在上单调递减，则在上单调递增， 因此在上单调递增； 由偶函数性质，等价于， 结合函数的单调性得 两边均非负，平方后不等号方向不变， 得，展开整理得， 即 ，解得，即的解集为. 11．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，可知，即，解得 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数， 当时，， 由单调递增，可知单调递增，且， 根据对称性可得函数大致图象，如图， 所以根据函数图象可得出的解集为， 故选：C 12．已知函数 是定义在上的偶函数，且满足 ，.若， 则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因 ，，不妨设，则可得， 设，则，故函数在上单调递增， 又函数 是定义在上的偶函数，由，可知函数为上的偶函数. 因，则，故不等式等价于， 即，也即，由函数单调性，可得，即或. 故选：B. 13．已知定义在上的奇函数，对任意的，，满足，且，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意由任意的，，满足， 可得函数在上单调递增， 因为为奇函数，所以为偶函数，则函数在上单调递减， 当时将不等式可变形为， 又为偶函数，可得； 因此由可得，可得； 当时将不等式可变形为， 易知，因此由可得，可得； 因此不等式的解集为. 故选：A 14．已知定义域为的函数满足，且对于任意的，当时，都有．设，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知定义域为的函数满足，故为奇函数， 对于任意的，当时，都有， 故在上单调递增； 设，由于，故的定义域为， 又， 故为奇函数； 的定义域为， ，即为奇函数； 当时，单调递增，则也单调递增， 故在上单调递增，结合为奇函数，可知在上单调递增， 且，故在上单调递增， 又，故， 所以，解得，即实数的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $