第15讲 指数（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第15讲 指数 预习目标 知识回顾 1．掌握整数指数幂定义与五条运算法则，能熟练运用法则完成基础幂式化简计算。 2．理解n次方根与根式概念，区分奇偶次方根差异，牢记两条核心根式性质并准确化简。 3．熟记分数指数幂定义，掌握根式与分数指数幂互化，熟练使用有理数指数幂运算性质。 4．了解无理数指数幂含义，知晓实数范围下指数幂运算性质通用，拓展指数认知范围。 1．正整数指数幂五条运算公式，同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方等基础计算。 2．平方根、立方根定义，区分正负根，牢记二次根式被开方数非负要求。 3．0次幂、负整数指数幂含义，简单根式化简、含根号式子符号判断。 新知导图 预习精讲 想一想 数学家们用分数为指数的幂来表示根式；在上一章学习幂函数时，我们也将记作x，这样做的意义是什 么呢？ 知识点01 整数指数幂 1.正整数指数幂的定义：，其中， 2.正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 知识点02 根式 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根. （3）0的任何次方根都是0,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到:（1）； （2）当是奇数时,;当是偶数时, 注意 中当为奇数时,为偶数时,,而中. 【即学即练】 1．若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， . 故选：B. 知识点03 指数幂 1．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数． 2．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）; （3）. 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 注意 （1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 【即学即练】 2．已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，则，，且，所以， 所以. 故选：B. 题型速练 题型01 由根式的意义求范围 【例1】若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，. 因为，故，所以. 故选：C 【例2】若，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】， ，解得. 故答案为：. 易错点 1.看到偶次根式忽略被开方数大于等于0，直接取全体实数； 2.分母含根式只考虑根式有意义，忘记分母不能等于0； 【小试牛刀】 【变式1-1】若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由有意义，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B 【变式1-2】若有意义，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，且，∴a的取值范围是且． 故选：B． 【变式1-3】求使等式成立的实数a的取值范围为_____． 【答案】 【详解】， 要使成立， 需解得， 即实数a的取值范围是， 故答案为：. 题型02 利用根式的性质化简或求值 【例3】化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 【例4】（多选）若，化简的结果可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意知，即，即， 故或， 则 ， 故选：AC 必记结论 1.核心公式：为奇数，；为偶数，； 2.成立条件：偶次时，奇次时； 3.化简含字母偶数次根式，必须分、两种情况去掉绝对值。 【小试牛刀】 【变式2-1】化简根式______. 【答案】 【详解】因为，所以 . 故答案为：. 【变式2-2】式子的化简结果是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D 【变式2-3】设，，则化简为______. 【答案】 【详解】由于，，所以 故答案为： 题型03 分式指数幂与根式的互化 【例5】已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】． 故选：A 【例6】（多选）设，则下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确． 故选：BD 易错点 1.底数时强行互化，忽略底数大于0的前提条件； 2.混淆分子、分母对应位置：分子对应乘方次数，分母对应根指数； 3.负分数指数幂忘记先取倒数，直接转化根式； 4.带分数指数未先化为假分数，直接拆分根式导致出错。 【小试牛刀】 【变式3-1】已知，若，则实数___________． 【答案】/ 【详解】因为，所以. 故答案为：. 【变式3-2】用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据指数幂的运算性质，可得. 故选：D. 【变式3-3】用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）； （2）； （3）由于，故； （4）； （5）. 题型04 利用分数指数幂的运算性质化简求值 【例7】已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】由得， 因为，所以. 故选：B 【例8】化简：． 【答案】 【详解】原式 . 【小试牛刀】 【变式4-1】若，则___________．（用m，n表示） 【答案】 【详解】因为，所以， 所以． 【变式4-2】求值：__________. 【答案】 【详解】原式 . 【变式4-3】求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1） . （2）由于，所以， 所以 . 题型05 整体代换求分数指数幂 【例9】已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 【例10】已知，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】因为，所以，整理得，所以，整理得，所以. 故选：B. 易错点 1.已知，平方可得； 2.已知，平方可得； 3.高次代数式可通过立方、多次平方层层变形，整体代入求值，无需单独解。 【小试牛刀】 【变式5-1】若，则（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以， 故选：B. 【变式5-2】已知，，则的值为______． 【答案】 【详解】因为， 所以， 故. 【变式5-3】已知 且，则 ________ 【答案】或 【详解】因为， 所以， 所以， 设，则可化为， 即，解得或. 因为，所以或. 故答案为：或 基础过关 1．设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A 2．若，且，则（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【详解】， ， 即， ， ， 又，， . 3．已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】6是偶数，故当时，． 4．设，则＝（   ） A．10 B． C．25 D．5 【答案】D 【详解】由题意知，， 所以， 故选：D. 5．若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意得：，解得， 故. 故选：C. 6．已知，，则的值是（    ） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】C 【详解】因为，得，即， 又因为，，则，所以. 故选：C. 7．（多选）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A：由，故A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则， 如，故C错误； 对于D：由，故D正确. 故选：ABD 8．（多选）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：BD. 9．计算____________ 【答案】4 【详解】． 10．化简：______． 【答案】 【详解】设，则， ， ， ． 11．计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）. （2） . 12．解下列指数方程： ． 【答案】 【详解】，故， ∴，∴，即， ，解得． 能力提升 13．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ； ； 所以 . 14．设，若为定值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意当时，不为定值， 当时，为定值， 综上所述：实数的取值范围为，故B正确. 故选：B. 15．使等式成立的实数的取值范围为_____. 【答案】 【详解】因为， 要使成立， 需，解得， 即实数的取值范围是. 16．已知，则_______． 【答案】 【详解】因为，所以．因为，则，所以，因此． 17．已知，，则__________. 【答案】 【详解】由，得，由，得， 所以，所以，故. 故答案为：. 挑战一刻 18．（多选）已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（   ） A．或 B． C． D． 【答案】BD 【详解】令，则，且关于的方程有两个不相等的正根，所以，解得； 因为，所以，又，所以，解得或（舍去），故A错误； 由A选项知，，所以，又，所以，解得或，即或； 当时，；当时，；所以，则，故B正确； 由B选项知，，故C错误； 由B选项知，，故D正确. 故选：BD. 19．已知关于x的实系数二次不等式的解集为，若，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【详解】由题意可知，方程有两个相等的根， 则，解得， 又，则， 则， 等号成立时， 则的最小值为. 故选：B 20．满足，的有序实数组可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记，则， 因为，所以，所以， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 指数 预习目标 知识回顾 1．掌握整数指数幂定义与五条运算法则，能熟练运用法则完成基础幂式化简计算。 2．理解n次方根与根式概念，区分奇偶次方根差异，牢记两条核心根式性质并准确化简。 3．熟记分数指数幂定义，掌握根式与分数指数幂互化，熟练使用有理数指数幂运算性质。 4．了解无理数指数幂含义，知晓实数范围下指数幂运算性质通用，拓展指数认知范围。 1．正整数指数幂五条运算公式，同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方等基础计算。 2．平方根、立方根定义，区分正负根，牢记二次根式被开方数非负要求。 3．0次幂、负整数指数幂含义，简单根式化简、含根号式子符号判断。 新知导图 预习精讲 想一想 数学家们用分数为指数的幂来表示根式；在上一章学习幂函数时，我们也将记作x，这样做的意义是什 么呢？ 知识点01 整数指数幂 1.正整数指数幂的定义：，其中， 2.正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 知识点02 根式 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根. （3）0的任何次方根都是0,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到:（1）； （2）当是奇数时,;当是偶数时, 注意 中当为奇数时,为偶数时,,而中. 【即学即练】 1．若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 知识点03 指数幂 1．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数． 2．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）; （3）. 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 注意 （1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 【即学即练】 2．已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型速练 题型01 由根式的意义求范围 【例1】若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】若，则实数的取值范围是__________． 易错点 1.看到偶次根式忽略被开方数大于等于0，直接取全体实数； 2.分母含根式只考虑根式有意义，忘记分母不能等于0； 【小试牛刀】 【变式1-1】若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】若有意义，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】求使等式成立的实数a的取值范围为_____． 题型02 利用根式的性质化简或求值 【例3】化简：（    ） A． B． C． D． 【例4】（多选）若，化简的结果可能为（    ） A． B． C． D． 必记结论 1.核心公式：为奇数，；为偶数，； 2.成立条件：偶次时，奇次时； 3.化简含字母偶数次根式，必须分、两种情况去掉绝对值。 【小试牛刀】 【变式2-1】化简根式______. 【变式2-2】式子的化简结果是（    ） A． B．2 C． D． 【变式2-3】设，，则化简为______. 题型03 分式指数幂与根式的互化 【例5】已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【例6】（多选）设，则下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 易错点 1.底数时强行互化，忽略底数大于0的前提条件； 2.混淆分子、分母对应位置：分子对应乘方次数，分母对应根指数； 3.负分数指数幂忘记先取倒数，直接转化根式； 4.带分数指数未先化为假分数，直接拆分根式导致出错。 【小试牛刀】 【变式3-1】已知，若，则实数___________． 【变式3-2】用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型04 利用分数指数幂的运算性质化简求值 【例7】已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 【例8】化简：． 【小试牛刀】 【变式4-1】若，则___________．（用m，n表示） 【变式4-2】求值：__________. 【变式4-3】求下列各式的值： (1)； (2). 题型05 整体代换求分数指数幂 【例9】已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【例10】已知，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 易错点 1.已知，平方可得； 2.已知，平方可得； 3.高次代数式可通过立方、多次平方层层变形，整体代入求值，无需单独解。 【小试牛刀】 【变式5-1】若，则（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 【变式5-2】已知，，则的值为______． 【变式5-3】已知 且，则 ________ 基础过关 1．设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 2．若，且，则（   ） A． B． C． D．8 3．已知，则等于（   ） A． B． C． D． 4．设，则＝（   ） A．10 B． C．25 D．5 5．若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知，，则的值是（    ） A．3 B．8 C．11 D．14 7．（多选）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 9．计算____________ 10．化简：______． 11．计算： (1)； (2). 12．解下列指数方程： ． 能力提升 13．（   ） A． B． C． D． 14．设，若为定值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．使等式成立的实数的取值范围为_____. 16．已知，则_______． 17．已知，，则__________. 挑战一刻 18．（多选）已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（   ） A．或 B． C． D． 19．已知关于x的实系数二次不等式的解集为，若，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．9 20．满足，的有序实数组可以是（   ） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $