第02讲 集合间的基本关系（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第02讲 集合间的基本关系 预习目标 知识回顾 1．理解子集的定义、符号与图形表示，掌握子集的两条基本性质，能区分集合包含关系与元素从属关系。 2．掌握集合相等、真子集的概念及书写符号，理解三者之间的逻辑关联，可简单判断集合关系。 3．认识空集的含义与专用符号，牢记空集的相关规定，分清空集、0、{0}等易混形式。 4．能结合定义判断集合间的子集、真子集、相等关系，运用知识点完成基础判断与简单习题。 1．理解集合与元素的概念，掌握元素确定性、互异性、无序性三大特征，能辨析常见题型。 2．分清元素与集合的从属关系，会使用、符号，熟记常用数集。 3．掌握列举法、描述法两种集合表示方法，能根据题目要求灵活选择合适的表示形式。 新知导图 预习精讲 想一想 在实数范围内，任意两个实数都具备相等或大小关系，例如都是实数间常见的数量关系。以此类推，我们可以提出疑问：两个集合之间，是否也存在与之相似的关系？ 生活中处处都有集合，像“一个班级的全体同学”“超市里所有的水果”“书包里的所有学习用品”等都可以看作集合，这些不同的集合相互对比，也有着对应的关联，接下来我们就一起来探究两个集合之间的关系。 知识点01 子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 注意 集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 【即学即练】 1．若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 2．集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 知识点02 集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 【即学即练】 3．下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 知识点03 真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则; (2)若且,则 【即学即练】 5．含有个元素的集合的非空真子集的个数为（     ） A． B． C． D． 6．集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 知识点04 空集的概念 1．定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 2．规定：空集是任何集合的子集,即 3．与0，，的区别和联系： 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【即学即练】 7．下列关系中，①；②；③；④；⑤，⑥，其中正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．已知集合，则如下关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型速练 题型01 判断两个集合的包含关系 【例1】集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【例2】集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 必记结论 1．若集合中所有元素都在集合内，则；若同时存在元素只属于不属于，则。 2．子集具有传递性：若，，则；真子集同理具备传递性。 3．任意集合都是自身的子集，即，但一个集合一定不是自身的真子集。 4．可结合列举元素、范围对比、数形结合（数轴/韦恩图）判断包含关系。 【小试牛刀】 【变式1-1】（多选）下列关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 题型02 求集合中子集（真子集） 【例3】由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【例4】已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 必记结论 若一个集合含有个元素：则子集总个数：，真子集个数：（去掉集合本身），非空真子集个数：（去掉本身与空集），空集只有1个子集（自身），没有真子集。 【小试牛刀】 【变式2-1】若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【变式2-2】集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式2-3】已知集合，写出集合的所有子集． 题型03 空集的概念 【例5】下列各结论中，正确的是（   ） A．是空集 B．空集没有子集 C． D．与不是相同的集合 【例6】下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 常见错误 1．混淆、、三者概念，认为空集就是数字。 2．书写格式错误，将空集写成以外的错误形式。 3．错误判断从属关系，如认为、。 【小试牛刀】 【变式3-1】（多选）给出下列四个集合，其中为空集的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（多选）若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 题型04 空集的性质及应用 【例7】关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例8】若集合，则实数a的值的集合为____________． 常见错误 1．解题时遗漏空集情况，只讨论非空集合，造成答案不完整。 2．误用性质：认为空集也是空集的真子集，违背真子集定义。 【小试牛刀】 【变式4-1】若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【变式4-2】若集合，则实数的取值范围是_____. 【变式4-3】已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 题型05 判断两个集合是否相等 【例9】下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【例10】若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（   ） A． B． C． D．无法确定 【小试牛刀】 【变式5-1】已知集合，则与集合M相等的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知集合，，则（    ） A．M与N的关系不确定 B． C． D． 题型06 根据两个集合相等求参数 【例11】已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 【例12】设a，，若集合，则______． 必记结论 1．两集合相等，则对应元素一一对应，据此列出方程求解参数。 2．求出参数后必须两步检验：①满足集合元素互异性；②保证两集合元素完全一致。 【小试牛刀】 【变式6-1】若，则______． 【变式6-2】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】设，集合，则________． 题型07 根据集合的包含关系求参数 【例13】已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例14】已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 必记结论 1．已知，分两大类讨论：①；②，两种情况缺一不可。 2．若集合是不等式解集，可借助数轴直观分析取值范围，确定参数边界。 3．端点值要单独验证，判断能否取等号，严格区分子集与真子集的边界差异。 【小试牛刀】 【变式7-1】已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式7-2】设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【变式7-3】设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 题型08 新定义题 【例15】定义集合的运算：已知集合，则．若集合，则集合的真子集个数的可能取值是___________． 【例16】定义：实数a，b，c，若满足，则称a，b，c是等差的，若满足，则称a，b，c是调和的．已知集合，集合是集合的三元子集，即，若集合中的元素a，b，c既是等差的，又是调和的，称集合为“好集”，则集合为“好集”的个数是_____． 【小试牛刀】 【变式8-1】设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数是__________，子集的个数是__________. 【变式8-2】含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为______. 【变式8-3】在漫长的数学发展过程中，数学家发现存在着神秘的“自恋性数字黑洞”.定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B是集合A的子集且元素个数为2，且集合B中两个元素均为奇数，则满足条件的集合B的个数为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 基础过关 一、单选题 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 6．已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，，若，则a的取值可以是（   ） A． B．0 C．2 D． 三、填空题 9．已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 10．已知集合，，若中只有个元素，且，则______. 四、解答题 11．已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 12．设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 13．已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 能力提升 1．（多选）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 2．已知集合，若，则整数a的所有可能取值构成的集合为________ 3．设，，其中，若，则________． 4．已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合有______个． 5．已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 挑战一刻 1．对于非空集合，其所有元素的几何平均数记为，即若非空数集满足下列两个条件：① ；②，则称为的一个“保均值真子集”，，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知集合的子集个数为______． 4．已知集合，非空集合.若，求实数m的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 集合间的基本关系 预习目标 知识回顾 1．理解子集的定义、符号与图形表示，掌握子集的两条基本性质，能区分集合包含关系与元素从属关系。 2．掌握集合相等、真子集的概念及书写符号，理解三者之间的逻辑关联，可简单判断集合关系。 3．认识空集的含义与专用符号，牢记空集的相关规定，分清空集、0、{0}等易混形式。 4．能结合定义判断集合间的子集、真子集、相等关系，运用知识点完成基础判断与简单习题。 1．理解集合与元素的概念，掌握元素确定性、互异性、无序性三大特征，能辨析常见题型。 2．分清元素与集合的从属关系，会使用、符号，熟记常用数集。 3．掌握列举法、描述法两种集合表示方法，能根据题目要求灵活选择合适的表示形式。 新知导图 预习精讲 想一想 在实数范围内，任意两个实数都具备相等或大小关系，例如都是实数间常见的数量关系。以此类推，我们可以提出疑问：两个集合之间，是否也存在与之相似的关系？ 生活中处处都有集合，像“一个班级的全体同学”“超市里所有的水果”“书包里的所有学习用品”等都可以看作集合，这些不同的集合相互对比，也有着对应的关联，接下来我们就一起来探究两个集合之间的关系。 知识点01 子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 注意 集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 【即学即练】 1．若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】因为集合共含有个元素， 因此A的子集个数为 2．集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，所以，不是的子集，故BC错误； 因为，所以不是的子集，故D错误. 故选：A. 知识点02 集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 【即学即练】 3．下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 4．已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】∵集合，，若， ∴，得. 知识点03 真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则; (2)若且,则 【即学即练】 5．含有个元素的集合的非空真子集的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据集合子集的计数性质，含有个元素的集合，其所有子集的总个数为， 非空真子集是指既不是空集，也不等于原集合， 因此需要从总子集数中排除空集、原集合共2个不符合要求的子集， 所以该集合的非空真子集个数为． 6．集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 知识点04 空集的概念 1．定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 2．规定：空集是任何集合的子集,即 3．与0，，的区别和联系： 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【即学即练】 7．下列关系中，①；②；③；④；⑤，⑥，其中正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【详解】表示正整数集，，①正确； 是有理数集，是无理数，，②错误； 集合中的元素是，元素是一个方程，而是一个数， ，③错误； 中不含有元素，，④错误； 是任何一个集合的子集，，⑤正确； 是整数集，中的0是整数，，⑥正确. 故选：A. 8．已知集合，则如下关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可知，所以A、B错误； 可知，所以C错误； 因为空集是任意非空集合真子集，所以，D正确； 故选：D. 题型速练 题型01 判断两个集合的包含关系 【例1】集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， 所以与的关系为 【例2】集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 必记结论 1．若集合中所有元素都在集合内，则；若同时存在元素只属于不属于，则。 2．子集具有传递性：若，，则；真子集同理具备传递性。 3．任意集合都是自身的子集，即，但一个集合一定不是自身的真子集。 4．可结合列举元素、范围对比、数形结合（数轴/韦恩图）判断包含关系。 【小试牛刀】 【变式1-1】（多选）下列关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，是数集，为点集，这两个集合不相等，D错. 故选：BC. 【变式1-2】在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，集合， 因为是元素与集合之间的关系，而均为点集，所以A错误； 因为集合包含，所以B正确，C,D错误. 故选：B. 【变式1-3】已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 题型02 求集合中子集（真子集） 【例3】由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】由已知， 其子集为，，，，，，，，共计8个. 【例4】已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 【答案】72 【详解】因为，， 集合B可以为， 所有元素之和为. 故答案为：. 必记结论 若一个集合含有个元素：则子集总个数：，真子集个数：（去掉集合本身），非空真子集个数：（去掉本身与空集），空集只有1个子集（自身），没有真子集。 【小试牛刀】 【变式2-1】若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 【变式2-2】集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【详解】由题意得：，解得，又， 所以，所以，所以， 所以集合的真子集的个数为. 【变式2-3】已知集合，写出集合的所有子集． 【答案】，，， 【详解】由， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 题型03 空集的概念 【例5】下列各结论中，正确的是（   ） A．是空集 B．空集没有子集 C． D．与不是相同的集合 【答案】C 【详解】A：是含有一个元素的数集，故错误； B：因为空集是任何集合的子集，故错误； C：因为是自然数集，所以，故正确； D：由元素具有无序性可知，与是相同的集合，故错误； 故选：C. 【例6】下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 常见错误 1．混淆、、三者概念，认为空集就是数字。 2．书写格式错误，将空集写成以外的错误形式。 3．错误判断从属关系，如认为、。 【小试牛刀】 【变式3-1】（多选）给出下列四个集合，其中为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，是以为元素的集合，不是空集，A不是； 对于B，方程中，，方程无实根， 因此是空集，B是； 对于C，由，得无实根，因此是空集，C是； 对于D，不是空集，D不是. 故选：BC 【变式3-2】下列表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确； 故选：D. 【变式3-3】（多选）若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A：是任何集合的子集，故成立，故A正确； 选项B：符号用于表示元素与集合的从属关系，不是集合B的元素， 错误，故B错误； 选项C：，，故C正确； 选项D：中元素，故错误，故D错误． 故选：AC． 题型04 空集的性质及应用 【例7】关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 【例8】若集合，则实数a的值的集合为____________． 【答案】 【详解】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 常见错误 1．解题时遗漏空集情况，只讨论非空集合，造成答案不完整。 2．误用性质：认为空集也是空集的真子集，违背真子集定义。 【小试牛刀】 【变式4-1】若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 【变式4-2】若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式4-3】已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 题型05 判断两个集合是否相等 【例9】下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 【例10】若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】对于集合，当时，， 当时，，所以. 故选：A. 【小试牛刀】 【变式5-1】已知集合，则与集合M相等的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，B是点集，不符合题意； 对于C：当为奇数时，当为偶数时，所以C等价于，不符合题意； 对于D：因为，由知可取，所以D等价于，符合题意. 故选：D. 【变式5-2】（多选）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：，解得，集合， ，解得，集合， ，即集合表示同一个集合，故A正确； 选项B：集合中的元素是有序数对，顺序不同表示元素不同， 集合表示不同集合，故B错误； 选项C：集合中元素完全相同，集合表示同一个集合，故C正确； 选项D：表示奇数集，也表示奇数集， 集合表示同一个集合，故D正确． 故选：ACD． 【变式5-3】已知集合，，则（    ） A．M与N的关系不确定 B． C． D． 【答案】C 【详解】集合中的元素，满足，， 集合 中的元素，满足，， 因为集合和都表示被除余数为的整数的集合； 所以， 所以 故选：C. 题型06 根据两个集合相等求参数 【例11】已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为，， 且，所以，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意. 【例12】设a，，若集合，则______． 【答案】0 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 必记结论 1．两集合相等，则对应元素一一对应，据此列出方程求解参数。 2．求出参数后必须两步检验：①满足集合元素互异性；②保证两集合元素完全一致。 【小试牛刀】 【变式6-1】若，则______． 【答案】/ 【详解】由元素的互异性可得，故，故， 故，则或. 当时，； 当时，，，符合题意. 所以． 故答案为： 【变式6-2】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 【变式6-3】设，集合，则________． 【答案】8 【详解】由，得，故， 因为，又， 因此，解得或， 当时，集合与集合不相等，不符合题意； 当时，集合与集合相等，符合题意，所以. 故答案为：8 题型07 根据集合的包含关系求参数 【例13】已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由可知，解得. 此时，符合要求. 所以. 【例14】已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，符合； 当时，，，又， ， 综上，． 必记结论 1．已知，分两大类讨论：①；②，两种情况缺一不可。 2．若集合是不等式解集，可借助数轴直观分析取值范围，确定参数边界。 3．端点值要单独验证，判断能否取等号，严格区分子集与真子集的边界差异。 【小试牛刀】 【变式7-1】已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 【变式7-2】设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【详解】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 【变式7-3】设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 题型08 新定义题 【例15】定义集合的运算：已知集合，则．若集合，则集合的真子集个数的可能取值是___________． 【答案】3或7 【详解】由集合中元素的互异性可得且. 当时，，所以， 因为集合中有个元素，则集合有个子集，有个真子集， 此时集合中有两个元素，其真子集个数为. 当且时，，此时集合的真子集个数为. 故答案为：或 【例16】定义：实数a，b，c，若满足，则称a，b，c是等差的，若满足，则称a，b，c是调和的．已知集合，集合是集合的三元子集，即，若集合中的元素a，b，c既是等差的，又是调和的，称集合为“好集”，则集合为“好集”的个数是_____． 【答案】1012 【详解】由好集的定义得，消去可得， 整理可得，则或， 因为可得，则，， 可得，且. 又因为，则且，得， 故集合P为“好集”的个数为. 故答案为：1012 【小试牛刀】 【变式8-1】设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数是__________，子集的个数是__________. 【答案】 3 8 【详解】按的定义，中元素为，共3个，子集个数为个. 故答案为：①3②8. 【变式8-2】含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为______. 【答案】32 【详解】根据题意，集合的所有非空子集为，，，，，， ，，，，，，，，， 则所有非空子集的交替和的总和为： . 故答案为：32. 【变式8-3】在漫长的数学发展过程中，数学家发现存在着神秘的“自恋性数字黑洞”.定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B是集合A的子集且元素个数为2，且集合B中两个元素均为奇数，则满足条件的集合B的个数为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【详解】根据自恋数定义可知，所有一位正整数都是自恋数，即； 集合B是集合A的子集且元素个数为2，集合B中两个元素均为奇数， 则满足条件的集合可以为， 所以满足条件的集合B的个数为10个. 故选：B. 基础过关 一、单选题 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得或，因此集合， 选项A，是集合中的元素，所以，选项A正确； 选项B，是一个集合，集合与集合之间的关系应为包含（），而非属于（），选项B错误； 选项C，是集合中的元素，元素与集合的关系是属于（），而非包含（），选项C错误； 选项D，集合，而只包含元素，不包含，选项D错误. 故选：A. 2．下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于是的一个子集，故，B正确，AD错误，C选项，空集不是的元素，故C错误. 故选：B 3．已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】解不等式，得，因为， 则集合，所以集合共有个子集. 4．已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为集合A的元素的个数为，故集合A的所有真子集的个数为. 5．已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 6．已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得，解得. 故选：D. 二、多选题 7．已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，解得，集合， 中元素均属于集合，是集合的子集，故A正确； 中有元素不属于集合，不是集合的子集，故B错误； 等于集合，是集合A的子集，故C正确； 中元素均属于集合，是集合的子集，故D正确． 8．已知集合，，若，则a的取值可以是（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】BC 【详解】因为，又，， 所以或， 解得或或， 当时，，，满足要求， 当时，，，满足要求， 当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求, 所以或2. 三、填空题 9．已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 【答案】3 【详解】当时，，集合中的元素都是1，不符合题意； 当时，，集合，符合题意； 当时，，此时，不符合题意， 综上，. 10．已知集合，，若中只有个元素，且，则______. 【答案】 【详解】因为集合中只有个元素，所以， 所以，解得或， 当时，，此时不符合； 当时，，满足， 综上，. 故答案为：. 四、解答题 11．已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，得，解得或， 所以． （2）因为，所以，解得， 所以． 因为，所以，解得， 所以b的取值范围是． 12．设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 13．已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若，则， 若，则，不符合题意， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （2）若的子集有两个，则集合只含有一个元素， 若，则，符合题意； 若，，解得. 综上所述，实数的取值集合为. 能力提升 1．（多选）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 【答案】BCD 【详解】因为非空集合，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是3或－3或0． 故选：BCD． 2．已知集合，若，则整数a的所有可能取值构成的集合为________ 【答案】 【详解】当时，，满足，故符合题意； 当时，，，， 或，或或， ，或或或， 综上可知所有整数的取值构成的集合为. 3．设，，其中，若，则________． 【答案】1 【详解】，由元素互异性得：，且． ，由元素互异性得：． 若集合中，则，此时，， 由得，所以，此时，符合要求； 若集合中，则，此时， ，这与矛盾，故这种情况不成立， 综上可知，，故． 4．已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合有______个． 【答案】1012 【详解】由，得，即， 整理得，而，则，， 因此，由，得， 又，，所以符合要求的集合的个数为. 故答案为：1012 5．已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）由于，所以是的实数根， 故，故； （2）由已知可得中最多有一个元素，故中可能无任何元素，或者只有一个元素， 当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素， 中最多有一个元素，或． 挑战一刻 1．对于非空集合，其所有元素的几何平均数记为，即若非空数集满足下列两个条件：① ；②，则称为的一个“保均值真子集”，，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：因为集合， 则， 单元素子集需满足，故只有， 两个元素子集需满足，即，有， 三个元素的子集需满足，即，有， 四个元素的子集需满足，即，有， 所以集合的“保均值真子集”有：，共6个. 故选：C. 2．已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】由题意得集合中有8个子集， 又，集合中有三个元素，即有三个正因数， 而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方， 设为质数，则，此时正因数为， ，，则或3， 的值可以为4或9，故A正确． 故选：A． 3．已知集合的子集个数为______． 【答案】 【详解】由不等式， 当时，可得；当时，可得； 当时，可得；当时，可得， 不等式所围成的区域，如图所示的正方形， 又因为，所以集合表示正方形内的整点， 即集合，可得中元素的个数为5， 所以的子集个数为． 故答案为：.    4．已知集合，非空集合.若，求实数m的值. 【答案】3 【详解】因为，所以．由题知， 当时，， 即，解得或． 若，则，得到，满足题意； 若，则，不符合题意． 当时，，即，解得或． 若，则，不合题意． 当时，由韦达定理得，同理可得符合题意. 综上所述，实数的值为3． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $