第09讲 函数的概念（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第09讲 函数的概念 预习目标 知识回顾 1．熟记函数完整定义与四大核心特征，能依据定义判断对应关系是否为函数。 2．掌握函数三要素，明白判定两个函数相同只需定义域与对应关系完全一致，值域无需单独核对。 3．熟练掌握有限区间、无穷区间书写规范，会用实心、空心点在数轴正确画出各类区间。 4．牢记正比例、一次、反比例、二次函数的标准定义域与值域，能快速写出基础函数取值范围。 初中阶段学习四类函数：正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数。 会认识各自图像，掌握增减变化规律，明确自变量取值限制，结合图像解方程、不等式，运用函数最值、变化关系解决实际应用问题。 新知导图 预习精讲 想一想 思考问题 （1）是否为函数？ （2）与是否为同一个函数？ 知识点01 函数的概念 1．函数的定义 设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域 函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 注意 函数的特征： ①非空性：函数的定义域、值域都必须是非空数集，二者不能是空集，不存在定义域或值域为空的函数。同时集合内元素只能是数字，不能是其他类型元素。 ②任意性：定义域内的任意一个自变量元素，都存在对应的函数值，不存在无对应输出的自变量。 ③单值性：任意一个自变量，只能对应唯一的函数值。对应规则允许多个自变量对应同一个函数值（多对一），不允许一个自变量对应多个函数值（一对多）。 ④方向性：函数具有固定对应方向，是从定义域指向值域的对应关系；若颠倒对应方向，新的对应关系不一定满足函数定义，不一定是函数。 【即学即练】 1．已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 2．定义域为R的函数，其图象与轴的交点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【答案】B 【详解】给定自变量一个值为，根据函数的定义，它一定唯一对应一个数， 所以该函数的图象与轴的交点个数为1个. 故选：B 知识点02 同一个函数 1．函数三要素 由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域． 2．相同函数 值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数． 【即学即练】 3．（多选）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项B： ∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为，二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 对于选项C： ∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项D： ∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 综上，正确选项为A、C. 知识点03 区间 1．区间的概念(为实数,且) 如图，区间两端的数值称为区间的端点。在数轴上绘制区间时，若区间包含该端点，端点位置画实心圆点；若区间不包含该端点，端点位置画空心圆圈。 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 2．其他区间的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 定义 符号 【即学即练】 4．区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据区间表示括号的意义可知区间对应的不等式是， 故选：A. 5．不等式的解集用区间表示为______. 【答案】 【详解】解不等式得，故原不等式的解集为. 故答案为：. 知识点04 常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 【即学即练】 6．函数，的值域是___________. 【答案】 【详解】将分别代入计算可得. 所以函数的值域为. 故答案为： 7．函数的值域为___________； 【答案】 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数的值域为. 故答案为：. 题型速练 题型01 函数关系的判断 【例1】下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象， 对于A、B、D均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象. 故选：C. 【例2】（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【详解】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 必记结论 1．判定依据：满足函数四大特征——非空性、任意性、单值性、方向性。 2．核心标准：定义域内任意一个，有且仅有唯一与之对应，允许多对一，禁止一对多。 3．图像快速判断：作垂直轴的直线，直线与图像最多只有一个交点即为函数。 【小试牛刀】 【变式1-1】（多选）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 【变式1-2】（多选）下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，因为，所以该关系是函数关系； 对于B，当时，没有对应的值，但题干函数定义域包括，所以该关系不是函数关系； 对于C，因为任意的x值，有唯一的y值与之对应，所以该关系是函数关系； 对于D，因为当时，有两个值与之对应，所以该关系不是函数关系． 故选：BD． 【变式1-3】（多选）下列能够表示集合到集合的函数关系的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，在中，当时，对应的函数值为，与集合不对应，故A错误； 对于B，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故B正确； 对于C，在中，当时，对应的函数值为，与集合不对应，故C错误； 对于D，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故D正确. 故选：BD. 题型02 区间的表示 【例3】不等式的解集用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，用区间表示为. 故选：D. 【例4】已知集合，集合，则下列判断正确的是（   ） A． B． C．的子集有4个 D． 【答案】C 【详解】，故A错误，，故B错误， 的子集有个，故C正确，，集合不是集合的子集，故D错误. 故选：C 易错点 1．无穷大搭配中括号，写成等错误格式。 2．数轴画图虚实点混用，包含端点画空心、不含画实心。 3．书写区间时左边界数值大于右边界，区间书写顺序颠倒。 【小试牛刀】 【变式2-1】集合或用区间表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由区间定义可知，或. 故选：A 【变式2-2】已知集合，，则______． 【答案】 【详解】集合，， 则． 故答案为：. 【变式2-3】设区间，则使成立的的取值范围为___________． 【答案】 【详解】由可知，， 因， 故可得，，得. 故答案为： 题型03 求具体函数的定义域 【例5】函数的定义域为________． 【答案】 【详解】由，解得，的定义域为 【例6】已知集合，全集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，所以，即， 或． 则. 必记结论 1．分式：分母；二次根式：被开方数；二者结合取不等式解集交集。 2．整式（一次、二次、正比例）：定义域为全体实数。 3．多个限制条件同时存在，全部约束联立，取公共取值范围。 【小试牛刀】 【变式3-1】函数的定义域为______. 【答案】 【详解】要使有意义，则，解得且， 的定义域为. 【变式3-2】函数的定义域是________ 【答案】 【详解】要使函数有意义， 需使，即， 所以，即或. 故函数的定义域是. 【变式3-3】函数的定义域为______． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为 故答案为： 题型04 求抽象函数的定义域 【例7】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的定义域为，所以，所以. 则的定义域为，故对于，令，解得. 故的定义域为， 故答案为：B. 【例8】若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 必记结论 1．定义域永远指自变量的取值范围，不是括号内整体范围。 2．同一对应关系下，括号内整体取值范围完全相等。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【详解】函数的定义域为，函数有意义， 则有且，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：B 【变式4-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【详解】由题意得，故， 令，解得， 令得或， 综上，，函数定义域为. 【变式4-3】已知函数的定义域为，，则下列函数的定义域不是的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知的定义域为，的定义域为， 则，，的定义域均为， 因为中，且， 所以函数的定义域为． 故选：D 题型05 同一函数的判断 【例9】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，， 所以表示同一函数，D正确. 【例10】（多选）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】函数的定义域为， 函数的定义域为， 两函数定义域不同，故不是同一函数，故A错误； 函数的定义域为，且， 两函数定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B正确； 函数的定义域为，且， 两函数定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故C正确； 函数的定义域为， 两函数定义域不同，故不是同一函数，故D错误. 故选：BC. 易错点 1．只对比解析式，忽略定义域差异，误判为同一函数。 2．化简过程自行扩大自变量取值范围，忽略原式限制。 【小试牛刀】 【变式5-1】下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 【变式5-2】（多选）下列四组函数，表示同一个函数的一组有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，函数，其定义域为， 函数的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，则它们为同一个函数，故选项A正确； 对于B，和的定义域都是，，则其对应关系也相同，是同一个函数，故选项B正确； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项C错误； 对于D，对函数，有，解得， 则函数的定义域为， 对函数，有，解得或， 则其定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项D错误， 故选：AB. 【变式5-3】下列各组函数为同一个函数的是________． ①， ②， ③， ④，且 【答案】③④ 【详解】①的定义域为R，的定义域为，故不是同一个函数； ②的定义域为R，的定义域为，故不是同一个函数； ③ ，且定义域为，值域为， ，且定义域为，值域为， 函数三要素一致，故是同一个函数； ④定义域为，值域为， 定义域为，值域为， 函数三要素一致，故是同一个函数. 故答案为：③④ 题型06 求函数值 【例11】若函数，则_____． 【答案】0 【详解】函数， 则. 故答案为：0. 【例12】已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， ， ， ，，，， 故选项C正确. 【小试牛刀】 【变式6-1】已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，即，，得， 解得：. 【变式6-2】已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】由对于任意实数，都有，得 又，则，而，解得， 所以. 故选：D 【变式6-3】已知函数的定义域为，且，则__________． 【答案】/ 【详解】令，得， 令，得，所以， 于是． 题型07 根据函数值求自变量或参数 【例13】已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 【答案】C 【详解】函数，由，得，解得， 所以. 故选：C 【例14】已知函数，且，则________． 【答案】6 【详解】因为函数，且， 可知，且，解得， 所以， 由有意义可得， 所以． 故答案为：6. 易错点 1．解方程得到多个解，未结合定义域剔除无意义解。 2．代入坐标时横纵坐标颠倒，参数计算结果错误。 【小试牛刀】 【变式7-1】已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】 令，解得， 所以. 故选：A. 【变式7-2】已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】由得，又，得， 所以，故，解得． 故选：B． 【变式7-3】已知函数，且，则实数____________． 【答案】或4或 【详解】令，则，解得或0．由，得，解得．由得，解得或． 故答案为：或4或 题型08 一次，二次，反比例函数的值域 【例15】若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 由，可得， ，即函数的值域为. 故选：A. 【例16】已知，则的值域为________． 【答案】 【详解】由，开口向上，对称轴为， 当时，，当时，， 则的值域为. 故答案为：. 易错点 1．反比例函数值域误写全体实数，忘记不能取0。 2．二次函数判断开口方向出错，最值对应值域写反。 【小试牛刀】 【变式8-1】已知函数，，则此函数的值域为______． 【答案】 【详解】由，且，则， 所以函数的值域为. 故答案为： 【变式8-2】写出一个定义域为，值域为的函数________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为定义域为，值域为，关于对称， 所以函数定义域为，值域为， 结合反比例函数模型可得， 故答案为：（答案不唯一） 【变式8-3】已知函数. (1)求的图象的顶点坐标； (2)求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1） 则的图象的顶点坐标为. （2）当时，取得最小值，且最小值为0. 因为 所以的最大值为9. 故在上的值域为. 题型09 根式型、分式型函数的值域 【例17】若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为， 则或， 当时，， 当时，， 综上，此函数的值域为． 【例18】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，， 设，则， 可得， 设，则 ，，，，， ，，，， 的值域为. 故选：C. 【小试牛刀】 【变式9-1】函数的值域为_____. 【答案】 【详解】要使函数有意义，则，所以定义域为. . 因为，所以. 所以函数的值域为. 故答案为：. 【变式9-2】函数的值域是_____. 【答案】 【详解】解法一：（换元法）令，则， ，由图可知： ，即值域为. 解法二：（判别式法） 将函数化为 ①时，方程不成立； ②时，由得， 解得： 综上： 所以函数的值域为. 【变式9-3】函数的值域为______. 【答案】 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 题型10 根据函数的值域求定义域 【例19】函数的值域为，则集合___________． 【答案】 【详解】令，解得， 令，解得， 则集合. 故答案为： 【例20】已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，解得，令，解得， 由函数的图象关于轴对称的性质，得的定义域可能为，或，则BCD可能； 而，的定义域不可能是，A不可能. 故选：A 易错点 1．令函数取值落在给定值域区间内，列出不等式，求解自变量的范围。 2．二次函数结合开口与最值，反向求解满足取值的区间。 3．多约束条件取交集，最终解集用区间规范书写。 【小试牛刀】 【变式10-1】已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有________个. 【答案】9 【详解】一个函数的解析式为，它的值域为， 则必取，至少取一个，至少取一个， 这样函数的定义域可为共9 个， 则这样的函数共有个. 故答案为：. 【变式10-2】（多选）已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】先作出函数在R上的图象，如图所示：    结合函数图象可知当函数值域为时，选项A、D正确. 故选：AD. 【变式10-3】已知函数 的值域为，则的定义域可以是______ 【答案】（答案不唯一） 【详解】令，解得或， 则的定义域可以是， 故答案为：（答案不唯一）. 基础过关 1．下列关系中一定是函数关系的是（   ） A．空调的销售额和利润的关系 B．大豆的产量和施肥量的关系 C．正方形的面积与周长的关系 D．钢铁的产量和单位生产成本的关系 【答案】C 【详解】对于空调的销售额与利润、大豆的产量与施肥量、钢铁产量和单位生产成本， 其中一个变量的变化受到多种因素的影响，以上各情况中列出的另一个变量只是其中的一个因素， 所以一个变量的变化对另一个变量的影响具有一定的随机性，故它们都是相关关系， 对于正方形的面积与周长，一个变量的变化对另一个变量影响是确定的，，即具有函数关系. 故选：C 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，故的定义域为. 故选：A 3．与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为. 对于A，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以A不正确； 对于B，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以B不正确； 对于C，函数的定义域为，且对应关系相同，所以与函数是同一函数，所以C正确； 对于D，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以D不正确. 故选：C. 4．已知，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】依题意，. 故选：A 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域需满足不等式，解得：且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 6．若，且不恒为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，， 令，得，，故AC错误， 令，得，故B正确， 设，则，满足， 且不恒为0，而，则，故D错误. 故选：B 7．（多选）下列从集合到集合的对应关系中是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】结合函数定义可知集合中任意一个元素在集合中都有唯一确定的元素与之对应， 故A，B正确； 集合中7在集合中没有元素与之对应，故C错误； 集合中3在集合中有两个元素与之对应，4没有元素与之对应，故D错误. 故选：AB. 8．（多选）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，A不是； 对于B，函数的定义域为R，当时，， 当时，，因此的值域为R，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域、值域均为R，D是. 故选：BD 9．函数的定义域是__________. 【答案】 【详解】有题意，得，解得. 故答案为：. 10．已知，则______. 【答案】 【详解】在等式中，令得， 所以． 故答案为： 11．已知函数． (1)点在的图象上吗? (2)当时，求的值；当时，求的值． 【答案】(1)不在 (2)当时，；当时， 【分析】 【详解】（1）因为，所以点不在的图象上. （2）当时，； 若，则，即，解得. 12．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 【详解】（1）由，即所求函数的值域为； （2）由， ∵，∴， 即函数的值域为； （3）由，∴函数的定义域为， ， 即，∴， 即函数的值域为； （4）由，得， ∴所求函数的值域为． 能力提升 13．已知函数，则______；的定义域是______. 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以； 因为的定义域为， 且， 所以，解得 所以函数的定义域是. 故答案为：；. 14．若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【详解】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 15．（多选）已知函数的定义域为， 且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A，令，得到，又，则，错误. B，令，得到，由选项A知，所以，正确. C，令，则，即， 令可得，故，而， 所以，正确， D，由，则， 所以， ， 由可知，即，错误. 16．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有__________个. 【答案】 【详解】由，可得；由，可得； 由，可得. 所以，使得函数的值域为的定义域中至少含、中的一个， 至少含、中的一个，至少含、中的一个， 而、的放法种数等价于集合的非空子集个数，即、的放法种数为种， 同理可知，、的放法种数为，、的放法种数为， 因此，数解析式为，值域为的“同族函数”共有个. 故答案为：. 挑战一刻 17．已知表示不超过的最大整数，设全集，函数的定义域为，则________． 【答案】 【详解】函数有意义，应满足，所以，根据所表示的意义可知， 所以，． 18．已知函数，实数满足至少存在一个正实数，使得的定义域和值域相同，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】当时，，则时，，且，符合； 当时，令， 则或即定义域为，且，定义域和值域不相同，不符合； 当时，令，则，即定义域为， 此时最大值在时取到，令， 两侧平方整理得，当时，有，得； 综上，. 故答案为： 19．已知函数满足，其中表示中最大的数，表示中最小的数，则___________ 【答案】31 【详解】由函数满足， 取，则， 因此， ，， 所以． 故答案为：31． 20．已知函数，当时，求函数的定义域． 【答案】答案见解析 【详解】解：由函数，则满足， 因为且，可得，即， 解方程，解得，． ①当时，即当时，解得或， 此时，函数的定义域为或； ②当时，即当时，解不等式，得， 此时，函数的定义域为； ③当时，即当时，解得或， 此时，函数的定义域为或； 综上可得，当，函数的定义域为或； 当，函数的定义域为； 当时，函数的定义域为或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 函数的概念 预习目标 知识回顾 1．熟记函数完整定义与四大核心特征，能依据定义判断对应关系是否为函数。 2．掌握函数三要素，明白判定两个函数相同只需定义域与对应关系完全一致，值域无需单独核对。 3．熟练掌握有限区间、无穷区间书写规范，会用实心、空心点在数轴正确画出各类区间。 4．牢记正比例、一次、反比例、二次函数的标准定义域与值域，能快速写出基础函数取值范围。 初中阶段学习四类函数：正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数。 会认识各自图像，掌握增减变化规律，明确自变量取值限制，结合图像解方程、不等式，运用函数最值、变化关系解决实际应用问题。 新知导图 预习精讲 想一想 思考问题 （1）是否为函数？ （2）与是否为同一个函数？ 知识点01 函数的概念 1．函数的定义 设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域 函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 注意 函数的特征： ①非空性：函数的定义域、值域都必须是非空数集，二者不能是空集，不存在定义域或值域为空的函数。同时集合内元素只能是数字，不能是其他类型元素。 ②任意性：定义域内的任意一个自变量元素，都存在对应的函数值，不存在无对应输出的自变量。 ③单值性：任意一个自变量，只能对应唯一的函数值。对应规则允许多个自变量对应同一个函数值（多对一），不允许一个自变量对应多个函数值（一对多）。 ④方向性：函数具有固定对应方向，是从定义域指向值域的对应关系；若颠倒对应方向，新的对应关系不一定满足函数定义，不一定是函数。 【即学即练】 1．已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 2．定义域为R的函数，其图象与轴的交点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 知识点02 同一个函数 1．函数三要素 由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域． 2．相同函数 值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数． 【即学即练】 3．（多选）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 知识点03 区间 1．区间的概念(为实数,且) 如图，区间两端的数值称为区间的端点。在数轴上绘制区间时，若区间包含该端点，端点位置画实心圆点；若区间不包含该端点，端点位置画空心圆圈。 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 2．其他区间的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 定义 符号 【即学即练】 4．区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 5．不等式的解集用区间表示为______. 知识点04 常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 【即学即练】 6．函数，的值域是___________. 7．函数的值域为___________； 题型速练 题型01 函数关系的判断 【例1】下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 必记结论 1．判定依据：满足函数四大特征——非空性、任意性、单值性、方向性。 2．核心标准：定义域内任意一个，有且仅有唯一与之对应，允许多对一，禁止一对多。 3．图像快速判断：作垂直轴的直线，直线与图像最多只有一个交点即为函数。 【小试牛刀】 【变式1-1】（多选）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）下列能够表示集合到集合的函数关系的是（  ） A． B． C． D． 题型02 区间的表示 【例3】不等式的解集用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【例4】已知集合，集合，则下列判断正确的是（   ） A． B． C．的子集有4个 D． 易错点 1．无穷大搭配中括号，写成等错误格式。 2．数轴画图虚实点混用，包含端点画空心、不含画实心。 3．书写区间时左边界数值大于右边界，区间书写顺序颠倒。 【小试牛刀】 【变式2-1】集合或用区间表示为（   ）． A． B． C． D． 【变式2-2】已知集合，，则______． 【变式2-3】设区间，则使成立的的取值范围为___________． 题型03 求具体函数的定义域 【例5】函数的定义域为________． 【例6】已知集合，全集，则（   ） A． B． C． D． 必记结论 1．分式：分母；二次根式：被开方数；二者结合取不等式解集交集。 2．整式（一次、二次、正比例）：定义域为全体实数。 3．多个限制条件同时存在，全部约束联立，取公共取值范围。 【小试牛刀】 【变式3-1】函数的定义域为______. 【变式3-2】函数的定义域是________ 【变式3-3】函数的定义域为______． 题型04 求抽象函数的定义域 【例7】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【例8】若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 必记结论 1．定义域永远指自变量的取值范围，不是括号内整体范围。 2．同一对应关系下，括号内整体取值范围完全相等。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式4-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【变式4-3】已知函数的定义域为，，则下列函数的定义域不是的是（ ） A． B． C． D． 题型05 同一函数的判断 【例9】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例10】（多选）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 易错点 1．只对比解析式，忽略定义域差异，误判为同一函数。 2．化简过程自行扩大自变量取值范围，忽略原式限制。 【小试牛刀】 【变式5-1】下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式5-2】（多选）下列四组函数，表示同一个函数的一组有（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】下列各组函数为同一个函数的是________． ①， ②， ③， ④，且 题型06 求函数值 【例11】若函数，则_____． 【例12】已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式6-1】已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式6-2】已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式6-3】已知函数的定义域为，且，则__________． 题型07 根据函数值求自变量或参数 【例13】已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 【例14】已知函数，且，则________． 易错点 1．解方程得到多个解，未结合定义域剔除无意义解。 2．代入坐标时横纵坐标颠倒，参数计算结果错误。 【小试牛刀】 【变式7-1】已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式7-2】已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 【变式7-3】已知函数，且，则实数____________． 题型08 一次，二次，反比例函数的值域 【例15】若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【例16】已知，则的值域为________． 易错点 1．反比例函数值域误写全体实数，忘记不能取0。 2．二次函数判断开口方向出错，最值对应值域写反。 【小试牛刀】 【变式8-1】已知函数，，则此函数的值域为______． 【变式8-2】写出一个定义域为，值域为的函数________． 【变式8-3】已知函数. (1)求的图象的顶点坐标； (2)求在上的值域. 题型09 根式型、分式型函数的值域 【例17】若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【例18】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式9-1】函数的值域为_____. 【变式9-2】函数的值域是_____. 【变式9-3】函数的值域为______. 题型10 根据函数的值域求定义域 【例19】函数的值域为，则集合___________． 【例20】已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 易错点 1．令函数取值落在给定值域区间内，列出不等式，求解自变量的范围。 2．二次函数结合开口与最值，反向求解满足取值的区间。 3．多约束条件取交集，最终解集用区间规范书写。 【小试牛刀】 【变式10-1】已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有________个. 【变式10-2】（多选）已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】已知函数 的值域为，则的定义域可以是______ 基础过关 1．下列关系中一定是函数关系的是（   ） A．空调的销售额和利润的关系 B．大豆的产量和施肥量的关系 C．正方形的面积与周长的关系 D．钢铁的产量和单位生产成本的关系 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D．4 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 6．若，且不恒为0，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）下列从集合到集合的对应关系中是函数的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 9．函数的定义域是__________. 10．已知，则______. 11．已知函数． (1)点在的图象上吗? (2)当时，求的值；当时，求的值． 12．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 能力提升 13．已知函数，则______；的定义域是______. 14．若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 15．（多选）已知函数的定义域为， 且，则（    ） A． B． C． D． 16．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有__________个. 挑战一刻 17．已知表示不超过的最大整数，设全集，函数的定义域为，则________． 18．已知函数，实数满足至少存在一个正实数，使得的定义域和值域相同，则的取值范围为__________. 19．已知函数满足，其中表示中最大的数，表示中最小的数，则___________ 20．已知函数，当时，求函数的定义域． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $