精品解析：甘肃省兰州市第二中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试卷

2025—2026学年度第二学期高一年级期末考试 数学 一、单选题（本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 数据，，，，，，，的分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】将数据从小到大排序为：1，2，2，3，5，6，8，9，共8个数据. 则，所以该数据的分位数是6. 2. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，利用线面平行的性质判断；对于C，利用线面垂直的判定判断；对于C，利用线面垂直的性质判断；对于D，利用线面平行的判定判断即可 【详解】解：对于A，若，，则与可能平行，可能相交，也可能异面，所以A错误； 对于B，若，，则直线与平面可能垂直，可能平行，也可能相交不垂直，所以B错误； 对于C，若，，，则，所以C正确； 对于D，若，，则与可能平行，也有可能直线在平面内，所以D错误， 故选：C 3. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系和诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以， 又，且， 所以，所以， 所以. 故选：D 4. 如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、，长方体的外接球即为四面体的外接球，而长方体外接球的直径即为其体对角线，求出外接球的直径，即可求出外接球的表面积. 【详解】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、， 四面体的外接球即为长方体的外接球， 而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为， 故，所以外接球表面积为. 故选：B. 5. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法，画出原图，结合长度、面积、周长等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A、B，由题设易得，原平面图如下，， ，故A、B错误； 对于C，四边形的面积为：，即C错误． 对于D，在原图形中，过作交于点，则， 由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即D正确； 6. 已知事件与事件相互独立，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用概率的基本性质及已知得，结合及对立事件的概率求法求概率. 【详解】由题设， 又，则，整理得， 由，且，可得， 所以. 7. 已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】C 【解析】 【分析】如图，由题意，根据空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理可得，进而，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】如图，设，分别延长交于点，此时， 连接交于，连接， 设平面与平面的交线为，则， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，设，则， 此时，故，连接， 所以五边形为所求截面图形， 故选：C． 8. 如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ） 参考数据：. A. 米 B. 米 C. 300米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知， 则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 又，两式相加， 得，即， 解得. 二、多选题（本大题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得3分．有错误选项得0分．） 9. 已知向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 已知，若，则 D. 与夹角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示可判断A错误，利用模长的坐标公式可得B正确，再由向量平行的坐标表示可判断C正确，利用夹角的坐标公式计算可知D错误. 【详解】对于A，易知，所以不垂直，即A错误； 对于B，，可得，可得B正确； 对于C，由且可得，解得，即C正确； 对于D，设与的夹角为，所以，可得D错误. 故选：BC 10. 已知为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 B. 若复数，则 C. 复数的共轭复数 D. 若，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的几何意义、模的运算、乘除法运算逐项分析判断即可. 【详解】对于A：复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故A错误； 对于B：由，故，故B正确； 对于C：由，得，故C正确； 对于D：因表示对应的点在以为圆心、半径为2的圆上， 而表示圆上动点到定点的距离，因圆心到定点的距离为3， 故的最小值为，故D错误. 11. 如图，三棱锥中，，平面，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角为 B. 二面角的正切值为 C. 点到平面的距离为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面垂直结合线面角的定义即可求解A，根据二面角定义即可求解B，利用等体积法即可求解C，根据垂直关系得矛盾即可判断D. 【详解】选项A，因为平面，故为直线与平面所成的角， 又，所以， 故直线与平面所成的角是，故A正确； 选项B，取中点为，连接，， 因为，平面， 所以，， 因为，平面，所以平面， 故为二面角的平面角，则， 故二面角的正切值为，故B正确； 选项C，因为， 所以， 设到面的距离为，则由， 可得：，解得，故C正确； 选项D，若，又，且， 平面,则面， 则有，与矛盾，故D错误． 故选:ABC． 三、填空题 12. __________． 【答案】. 【解析】 【分析】利用化简表达式，由此求得表达式的值. 【详解】由于，故. 【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 14. ______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据切化弦以及二倍角的余弦公式化简原式，然后利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式进行化简，由此可求结果. 【详解】原式， 故答案为：. 四、解答题 15. 如图，在梯形中，，，为线段上靠近点的三等分点，为线段的中点． （1）用向量，表示； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据几何图形，结合向量的加法和减法运算公式，即可求解； （2）首先用基底表示向量和，再代入数量积的运算律公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，， ， 所以． 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，，， 所以 ． 16. 2026年5月24日23时08分，神舟二十三号发射成功，乘组航天员朱杨柱、张志远、黎家盈（首位香港女航天员）密切协同，将完成3.5小时快速径向交会对接．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，这200人按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图， （1）根据频率分布直方图，估计这200人的平均年龄和众数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【答案】（1） 平均年龄为岁，众数为岁； （2） . 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用组中值乘以对应频率之和估算平均数，最高矩形底边的中点即为众数； （2）根据分层抽样比例计算第四、五组抽取的人数，确定样本空间，利用古典概型概率公式求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，各组的频率分别为： 第一组：； 第二组：； 第三组：； 第四组：； 第五组：. 则平均年龄约为：（岁）. 众数的估计值为最高矩形底边的中点，即（岁）. 故估计这人的平均年龄为岁，众数为岁. 【小问2详解】 第四组的人数为人，第五组的人数为人. 因为采用分层随机抽样抽取人，抽样比为. 所以第四组应抽取人，第五组应抽取人. 第四组和第五组共抽取人. 由题意知，甲在第四组被抽取的人中，乙在第五组被抽取的人中. 记第四组除甲外的人为，第五组除乙外的人为. 则这人构成的集合为甲，，乙，. 从中随机抽取名作为组长， 结果有：甲，，甲，，甲，，甲，乙，甲，，，， ，乙，，，，乙，，，乙，，乙，共15种. 设事件为“甲、乙两人至少有一人被选上”，则其对立事件为“甲、乙两人都没有被选上”. 事件包含的结果是从这人中抽取人，结果有：，，， ，，共6种，则. 故，即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为. 17. 已知，. （1）求和的值； （2）若，，求证：. 【答案】（1）， （2）由（1）知， 因为， 因为，，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合二倍角的正弦公式以及两角差的余弦公式即可求解； （2）根据题意，结合两角和的正切公式即可求解. 【小问1详解】 因为，，且， 所以，所以； 所以. 【小问2详解】 略. 18. 如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】（1）取中点，连接，． 在中，，分别为的中点，所以，且． 由已知，，所以，且． 所以四边形为平行四边形．所以． 又因为平面，且平面， 所以平面． （2）在正方形中，，又，， ，平面，所以 平面， 因为平面，所以， 在中，，所以，， 在中，，，. 所以， 所以，所以. 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面 （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，故，再根据线面平行判定定理，由平面、平面证得平面. （2）由正方形得平面，故；结合边长利用勾股逆定理证，，得平面，又平面，故平面平面. （3）取中点，由三角形中位线性质证明四边形为平行四边形，故，是异面直线与所成角；由勾股定理求出、、，再由余弦定理计算得. 【小问1详解】 （1）略 【小问2详解】 （2）略 【小问3详解】 如图:取的中点，连接、. 由三角形中位线性质可知 所以，所以四边形为平行四边形. 由勾股定理得，，所以 因为,所以为异面直线与所成的角. . 由余弦定理得 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若，. （i）试判断的形状，并说明理由； （ii）设点在边上，连接并延长至点，且.求面积的最大值及此时点的位置. 【答案】（1） （2）（i）是直角三角形，在中，，，由（1）知. 在中，由正弦定理， 得. 因为，所以， 所以，， 所以是直角三角形. （ii），点在边上靠近的三等分点 【解析】 【分析】（1）使用正弦定理与两角差的正弦公式求解； （2）（i）使用正弦定理求解； （ii）设，，使用余弦定理与基本不等式求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理，得. 因为， 所以. 因为，所以， 所以， ， . 因为， 所以， . 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）在中，因为，所以. 设，. 在中，由余弦定理， 得. 因为， 所以，所以， 当且仅当时等号成立. 所以面积的最大值为. 在中，因为，，，所以. 在中，因为，，所以，，则. 在中，， 所以点在边上靠近的三等分点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高一年级期末考试 数学 一、单选题（本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 数据，，，，，，，的分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 3. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 6. 已知事件与事件相互独立，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 8. 如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ） 参考数据：. A. 米 B. 米 C. 300米 D. 米 二、多选题（本大题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得3分．有错误选项得0分．） 9. 已知向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 已知，若，则 D. 与夹角的余弦值为 10. 已知为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 B. 若复数，则 C. 复数的共轭复数 D. 若，则的最小值为 11. 如图，三棱锥中，，平面，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角为 B. 二面角的正切值为 C. 点到平面的距离为 D. 三、填空题 12. __________． 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 14. ______． 四、解答题 15. 如图，在梯形中，，，为线段上靠近点的三等分点，为线段的中点． （1）用向量，表示； （2）若，求． 16. 2026年5月24日23时08分，神舟二十三号发射成功，乘组航天员朱杨柱、张志远、黎家盈（首位香港女航天员）密切协同，将完成3.5小时快速径向交会对接．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，这200人按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图， （1）根据频率分布直方图，估计这200人的平均年龄和众数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 17. 已知，. （1）求和的值； （2）若，，求证：. 18. 如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求异面直线与所成的角的余弦值． 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若，. （i）试判断的形状，并说明理由； （ii）设点在边上，连接并延长至点，且.求面积的最大值及此时点的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $