精品解析：甘肃临夏回族自治州2025-2026学年高一下学期7月期末质量监测数学试题

2025-2026学年度春季学期期末质量监测 高一 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 所以的虚部为． 2. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得， 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】在中，对于角，由余弦定理得：， 代入已知，可得： ， 因为，所以. 4. 如图所示，在某智能仓储的方格导航系统中，取水平向右、竖直向上分别为单位向量，的方向．某自动导引车的两次移动路径对应向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】连接向量，的终点，并取如图所示的点， 则. 5. 某航空制造企业对发动机精密配件开展两次探伤质检，配件首次探伤合格的概率为，首次探伤不合格的配件使用高精仪器复测，复测合格的概率为．配件只有两次检验都不合格才做报废处理，任意一次检验合格即可装机使用，则该配件可正常装机的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设事件表示首次探伤合格，表示复测合格， 则该配件可正常装机的概率为. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的范围确定半角为锐角，由半角正弦求出半角余弦，再利用二倍角公式算出，，最后代入两角差的余弦公式求值． 【详解】由，得， 又，所以， 所以， ， 所以． 7. 如图是一个正四棱台形的石墩，已知它的上底面面积为，下底面面积为，侧棱长为，则这个石墩的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，求出棱台的高，根据棱台的体积公式即可求解. 【详解】如图所示的正四棱台,连接, 作平面，由正四棱台的性质可知在上. 因为正四棱台的上、下底面面积分别为12和48， 所以正四棱台的上、下底面边长分别为和， 所以. 易知四边形为等腰梯形， 所以， 由勾股定理得， 所以四棱台的体积为. 8. 某快递站智能分拣系统，统计3条分拣线的包裹状态如下： 项目 分拣线① 分拣线② 分拣线③ 总计 标准件包裹 18件 12件 10件 40件 特殊件包裹 8件 6件 6件 20件 总计 26件 18件 16件 60件 若从中任意抽取一件包裹，则该包裹是特殊件包裹或是分拣线③的包裹的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设事件“包裹是特殊件包裹”，“包裹是分拣线③的包裹”， 则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数（为虚数单位），记为的共轭复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由复数的四则运算得，再依次判断选项即可． 【详解】， 对于A项，，则，故A项正确； 对于B项，在复平面内对应的点，则点在第四象限，故B项错误； 对于C项，，故C项错误； 对于D项，，故D项正确． 10. 在中，若，，，则（ ） A. B. 的外接圆半径 C. D. 若点为上一动点，则为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用同角三角函数的平方关系即可计算；对于B，根据正弦定理和已知可求解； 对于C，根据向量加法的三角形法则求解，再通过余弦定理求出的长度即可； 对于D， 利用勾股定理得到，设为上任意一点，进而利用和向量数量积运算求解. 【详解】选项A，，A正确. 选项B，由正弦定理，代入，： ，B错误. 选项C，，即. 由余弦定理，代入已知条件： ， 整理得，解得，即，C正确. 选项D，，且，故， 即，. 设为上任意一点，，则： ， 因与共线，，故， 得，为定值，D正确. 11. 已知是棱长为的正方体，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 点到平面的距离为 D. 直线到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正方体的性质把空间角转化为平面角，把空间距离转化为线段长度，通过计算即可得解. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由正方体性质可知：，则就是异面直线与所成的角或其补角， 因为三角形是等边三角形，所以， 即直线与所成的角为，故A错误； 由正方体的性质可知：平面，设， 则就是直线与平面所成的角， 因为在直角三角形中，，所以， 即直线与平面所成的角为，故B正确; 因为正方体的棱长为，所以三棱锥， 又因为，设点到平面的距离为， 则，解得：， 所以点到平面的距离为，故 C正确； 由正方体的性质可知平面，设， 则直线到平面的距离等于的长度， 因为正方体的棱长为，所以， 即直线到平面的距离为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，是方程的两根，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，， 则 13. 某长方体零件的所有顶点都在球形保护罩内壁上，该长方体同一顶点处的三条棱长分别为，，，则此球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】使用外接球的表面积公式计算. 【详解】由题知此球为长方体的外接球，球的半径为， 此球的表面积为：. 14. 如图所示，三点在同一水平地面上，已知平面，测得，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高__________． 【答案】 【解析】 【详解】根据三角形内角和： ， 由正弦定理代入已知可得：， 解得​​： ， 因为平面，所以，处仰角， 则：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且与的夹角． （1）求的值； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）使用数量积的定义，模长公式求解； （2）向量垂直转化为数量积等于0求解. 【小问1详解】 因为，，与的夹角， 所以． 又， 所以． 【小问2详解】 因为向量与向量互相垂直，所以， 所以， 由（1）知，又，，所以，， 所以． 16. 在中，，，分别是角，，所对的边，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式求解； （2）由余弦定理及三角形面积公式求解． 【小问1详解】 由正弦定理可知，，得． 已知，所以， 得，又，， 所以，故． 【小问2详解】 因为，，， 由余弦定理， 得， 整理得，解得或． 由三角形面积公式，， 当时，； 当时，． 综上所述，的面积为或． 17. 某AI训练平台对一批智能对话模型进行性能测试，随机抽取部分模型的响应流畅度指标值作为样本，指标值范围为，将所得数据分成6组：，，，，，并绘制出如下频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）已知样本中，响应流畅度指标值在内的模型频数为20，求该样本的容量； （3）平台计划从响应流畅度指标值在和的模型中，采用按比例分配的分层抽样方法抽取6个模型，再从这6个模型中随机选取2个进行深度优化，求这2个模型恰好来自同一组的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由所有矩形的面积之和为1求解即可； （2）根据内的模型频数为20，频率为0.2，求解即可； （3）由古典概型公式求解即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图可知， ， 解得． 【小问2详解】 设样本容量为，因为内的模型频数为20，频率为0.2， 所以， 解得． 【小问3详解】 由题意知，和两组的模型频数比为，共抽取6个模型， 所以中应抽取模型4个，记为，，，； 中应抽取模型2个，记为． 对应的样本空间：，， 共15个样本点． 设事件“2个模型来自同一组”， 则， 共7个样本点． 所以． 18. 已知为坐标原点，定点，动点，函数． （1）求； （2）求的最小正周期和单调递增区间； （3）记的内角，，的对边分别为，，，若，，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2）最小正周期；单调递增区间为， （3） 【解析】 【分析】（1）利用两点间的距离公式求解即可； （2）由结合降幂公式，二倍角公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的图像与性质即可求解； （3）由可得， 解法一：结合正弦定理化简可得，利用三角函数的图像与性质求解即可； 解法二：由余弦定理得化简可得，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ，． 所以 ． 所以最小正周期． 由，，得，． 所以的单调递增区间为，． 【小问3详解】 由，得，即， 因为，所以，所以，解得． 解法一：在中，由正弦定理得，， 则，， 因为，所以，，其中． ． 因为，所以，所以， 所以，所以的取值范围为． 解法二：由余弦定理得，，所以， 即，． 因为，即，， 即，当且仅当时取等号． 又在中，， 所以的取值范围为． 19. 如图（1），在矩形中，，为的中点，将沿折起，使折起后的平面与平面垂直，如图（2）．在图（2）所示的几何体中： （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若点在上，且． ①是否存在，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． ②若三棱锥的体积，求的取值范围． 【答案】（1）在矩形中，因为为的中点， 所以， 所以，所以． 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面． （2） （3）① 存在；；② 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理逆定理证明，再利用面面垂直的性质推出线面垂直； （2）取的中点，证平面，得为直线与平面所成的角，根据余弦定理和勾股定理求出，进而求解； （3）①连接交于点，根据平行得，推出，再根据线面平行的判定定理得到平面，得到此时的值； ②由，结合到平面的距离，得到到平面的距离，再计算的面积，利用三棱锥的体积公式得到，结合解不等式，得到的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取的中点，连接，． 因为为等腰直角三角形，所以． 又平面平面，平面平面， 所以平面． 所以即为直线与平面所成的角． 在等腰直角中，． 在梯形中，． 在中，由余弦定理得， ． 在中，． 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 ①存在，．证明如下： 如图，连接交于点，因为，，所以． 取为的三等分点，使得， 连接，则． 又平面，平面，所以平面．此时，， 所以存在使得平面． ②由（2）知，点到平面的距离为， 因为点在上，且， 所以点到平面的距离为． 又． ． 由题意，即， 得．因为，所以， 所以，解得． 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度春季学期期末质量监测 高一 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在某智能仓储的方格导航系统中，取水平向右、竖直向上分别为单位向量，的方向．某自动导引车的两次移动路径对应向量，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某航空制造企业对发动机精密配件开展两次探伤质检，配件首次探伤合格的概率为，首次探伤不合格的配件使用高精仪器复测，复测合格的概率为．配件只有两次检验都不合格才做报废处理，任意一次检验合格即可装机使用，则该配件可正常装机的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一个正四棱台形的石墩，已知它的上底面面积为，下底面面积为，侧棱长为，则这个石墩的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 某快递站智能分拣系统，统计3条分拣线的包裹状态如下： 项目 分拣线① 分拣线② 分拣线③ 总计 标准件包裹 18件 12件 10件 40件 特殊件包裹 8件 6件 6件 20件 总计 26件 18件 16件 60件 若从中任意抽取一件包裹，则该包裹是特殊件包裹或是分拣线③的包裹的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数（为虚数单位），记为的共轭复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. D. 10. 在中，若，，，则（ ） A. B. 的外接圆半径 C. D. 若点为上一动点，则为定值 11. 已知是棱长为的正方体，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 点到平面的距离为 D. 直线到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，是方程的两根，则__________． 13. 某长方体零件的所有顶点都在球形保护罩内壁上，该长方体同一顶点处的三条棱长分别为，，，则此球的表面积为__________． 14. 如图所示，三点在同一水平地面上，已知平面，测得，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且与的夹角． （1）求的值； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 16. 在中，，，分别是角，，所对的边，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 17. 某AI训练平台对一批智能对话模型进行性能测试，随机抽取部分模型的响应流畅度指标值作为样本，指标值范围为，将所得数据分成6组：，，，，，并绘制出如下频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）已知样本中，响应流畅度指标值在内的模型频数为20，求该样本的容量； （3）平台计划从响应流畅度指标值在和的模型中，采用按比例分配的分层抽样方法抽取6个模型，再从这6个模型中随机选取2个进行深度优化，求这2个模型恰好来自同一组的概率． 18. 已知为坐标原点，定点，动点，函数． （1）求； （2）求的最小正周期和单调递增区间； （3）记的内角，，的对边分别为，，，若，，求的取值范围． 19. 如图（1），在矩形中，，为的中点，将沿折起，使折起后的平面与平面垂直，如图（2）．在图（2）所示的几何体中： （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若点在上，且． ①是否存在，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． ②若三棱锥的体积，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $