河北省承德市双滦区实验中学2025-2026学年第二学期暑假高二数学专项测试卷（11）

**基本信息** 2025-2026学年暑假高二数学专项测试卷，聚焦集合、函数、不等式等核心知识，通过函数奇偶性证明（第15题）、公司利润建模（第18题）等设计，培养数学抽象、逻辑推理与模型意识，适配暑假巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、函数解析式、充要条件|如第6题结合函数对称性与周期性，考查数学抽象| |多选题|3/18|集合关系、基本不等式|第10题融合基本不等式与二次函数，提升运算能力| |填空题|3/15|集合含参问题、函数值域|第14题用判别式法求值域，强化数学思维| |解答题|5/77|函数性质、实际应用|第18题以公司利润为情境，体现数学建模；第19题综合函数单调性与奇偶性，考查逻辑推理|

河北省承德市双滦区实验中学 2025--2026学年第二学期暑假高二数学专项测试卷（11） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C．D． 3．设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 6．已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（    ） A． B．1 C．2 D． 7．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．若，，，则的最小值为（   ） A．26 B．25 C．19 D．13 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．若，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．A的真子集个数为7 C． D． 10．已知，，且，则（     ） A． B． C． D． 11．已知函数是定义在上的奇函数，函数是定义在上的偶函数，且在单调递减，在单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知，或，若，则实数的取值范围是______. 13．若，则的最大值为________． 14．函数的值域是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 16．(本小题15分）已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 17．(本小题15分）已知函数，，． (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围； (3)若，对任意，总存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 18．(本小题17分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 19．(本小题17分）已知满足对任意，都有，且，当时，． (1)计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断并证明在上的单调性； (3)求不等式的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年7月18日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C D A D B BC ACD 题号 11 答案 AB 1．C 【详解】因为是小于8的自然数，所以， 因为，所以，所以． 2．A 【详解】令，则，由，得.所以. 3．B 【详解】由题意得，，时满足，但不满足且. 当且时，可得， 因此“”是“且”是必要不充分条件. 4．C 【详解】根据命题否定的定义可知，，的否定为，. 5．D 【详解】已知集合的元素是， 集合的元素是，则. 6．A 【详解】因为为偶函数，所以，说明关于直线对称. ，，说明关于中心对称. 因为，所以，， 又因为，所以，，因此周期.所以，，即. 7．D 【详解】由不等式的解集为，可知，且、是方程的两个实根， 根据韦达定理：，解得，，代入得，解得， 将、代入，得 ， 移项通分： ， 该不等式等价于，即，解二次不等式，得或，结合，最终解集为. 8．B 【详解】因为，，，所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为25. 9．BC 【详解】，由，，，作出图，如图所示， 由图可知，，，故A错误，正确；集合的真子集个数为个，故B正确；因为，所以，错误. 故选：BC. 10．ACD 【详解】A.由基本不等式得 =，当且仅当，即时等号成立，A正确；B.由得， =，当且仅当，即时等号成立，B错误； C.法一：（基本不等式）由得，即， ，所以， 当且仅当，即时等号成立， 法二：（柯西不等式）， 同理时等号成立， 法三：（二次函数单调性）由得， ， 当时，函数有最小值，C正确； D. 法一：（常数代换法）由得， ==1， 当且仅当，即时取等号， 法二：（函数单调性）由得, =，令， 二次函数开口向下，对称轴，当时， 所以，当且仅当时取等号，D正确. 11．AB 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，故A正确； 令，则定义域为R， ，， 所以为R上的奇函数，故B正确； 函数是定义在上的奇函数，且在单调递减， 所以在上单调递减.又，所以是减函数.所以. 函数是定义在上的偶函数，在单调递增，所以在上单调递减. 所以，所以，即，故C错误； 由在单调递增，得. 由是减函数，得，故D错误. 12． 【详解】因为集合，或. 若，则，∴或，即或. ∴实数的取值范围是.故答案为：. 13． 【分析】等式两边平方，结合基本不等式可求答案. 【详解】由，可得， ，当且仅当时，等号成立； 即，解得，故的最大值为. 14． 【详解】因的定义域为，令，所以，整理得所以关于的方程有实数解， 当时，原式为，解得，满足； 当时，所以，整理得， 解得，此时，且， ∴综上，函数的值域为， 15．【详解】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 所以， 即，所以函数为奇函数. （3）由（2）知，，，则 16．【详解】（1）当时，或，则， 又因为，故. （2）因为，集合或，且， 所以，解得，故实数的取值范围是. （3）因为是的充分条件，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. 17．【详解】（1）由题意得恒成立， 得恒成立，即解得． （2）当，当，由题意得 ∴得，此时对称轴为， 故，即得或， 综上可得； （3）由题意得对任意，总存在，使得不等式成立， 令，由题意得，而， 设，则，而， 易得，故． 18．【详解】（1）由题知， 又，解得，所以. （2）由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则， 代入函数解析式得， 当且仅当时，等号成立，此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. 19．【详解】（1）依题意，函数对任意的，都有， 令，得，是奇函数，证明如下： 用代替，得，则，所以是奇函数. （2）在上是单调递减的函数，理由如下： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数． （3）由于，则，所以， 又因为，所以． 因为 又因为，所以不等式可化为， 由于在上是单调递减，，即，即， 所以不等式的解集为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $