精品解析：　第二章 特殊三角形（3）期末复习　 2022—2023学年浙教版数学八年级上册

特殊三角形复习（3） 学习目标 1．通过一系列直角三角形中的折叠问题复习巩固直角三角形的几个重要性质以及勾股定理及其逆定理； 2．进一步理解折叠问题的本质是图形的轴对称变换，会利用轴对称变换的性质进行有关的计算和证明； 3．直角三角形全等判定定理及K形图的初步运用． 课前演练 1. 在中，两条直角边的长分别为和，则第三边的长为______；斜边上的高为______． 2. 中，两条边的长分别为和，则第三边的长为______________． 3. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___米． 4. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 课堂演练 例1 5. 如图，折叠直角三角形纸片，使点落在上的点处．已知，，则_____，_____． 变练1 6. 如图：在中，，M是斜边的中点，将沿折叠，点A落在点D处，若恰好与垂直，求的度数． 7. 如图，是斜边上的高，将沿折叠，B点恰好落在的中点E处，则等于（　　） A. B. C. D. 例2 8. 如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在上的点E处，已知，，则的长是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 例3 9. 如图，在中，，，，现将它折叠，使点与点重合，求的长． 变练2 10. 如图，把一张长，宽的长方形纸片折叠，折叠后使相对的两个点重合，点落在，折痕为，求重合部分的面积． 变练3 11. 如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点落到点的位置，与交于点． （1）试找出一个与全等的三角形，并加以证明． （2）若，，为线段上的任意一点，于，于，试求的值，并说明理由． 变练4 12. 如图，将等腰直角三角形按图示方式翻折，若，下列说法正确的个数有（　　） 是等腰三角形； 的周长等于的长； 平分； 长为． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 变练5 13. 如图，长方形中，把沿着折叠使得点落在点，，，则 求 （1）的长； （2）的长． 变练6 14. 如图，长方形中，cm，cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．求的面积． 例4 15. 如图所示，，，则平分，试说明理由． 变练7 16. 已知：如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD=BC 例5 17. 如图，于点，于点，是上一点，且，，则： （1）与全等吗？说明理由； （2）是不是等腰直角三角形？说明理由； （3）若，为中点，求的长度． 变练8 18. 如图，已知中，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 变练9 19. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 55 学后反思： 折叠=一个本质+两个数学思想+三个归类 特殊三角形章节复习E卷 20. 中，，分别以为边作正方形，面积分别为9，16，x，则_____． 21. 中，分别以为边作正方形，面积分别为7，11，18，则_______． 22. 在中，，则____．若，则____，____，____．若是斜边上的中线，则____．若是斜边上的高线，则____． 23. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ） A. B. C. D. 24. 已知一个三角形中，有两边长为7和24，要使三角形为直角三角形，则第三边为___________． 25. 在直角三角形中，若斜边与斜边上的中线之和为，则斜边长为______． 26. 有4个三角形，分别满足下列条件： （1）一个内角等于另外两个内角之和； （2）三个内角之比为； （3）三边分别为5、12、13； （4）一边上的中线等于这条边的一半； 其中直角三角形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 27. 如图，在中，，，把折叠，使落在上，点与上的点重合，展开后，折痕交于点，连结、．下列结论：①图中有4对全等三角形；②若将沿折叠，则点不一定落在上；③；④，上述结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 28. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是 _____cm. 29. 如图，在四边形中，，，，．求的度数． 30. 如图，中，，是上一点，且，，，求的面积． 31. 在中，高和高相交于，且，求的度数． 特殊三角形章节复习F卷 32. 如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，，则是________． 33. 已知三角形相邻两边长分别为和，第三边上的高为，则此三角形的面积为__________． 34. 如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，则△ACE的周长为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 35. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是【 】 A. 3 B. 2 C. D. 1 36. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E是垂足，连结CD，若BD=1，则AC的长是(　　) A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 37. Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30°，则PB的长为_______． 38. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ） A. 20 B. 12 C. 14 D. 13 39. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为 （ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 121 40. 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有【 】 A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③ 41. 如图，在钝角△ABC中，BC=9，AB=17，AC=10，AD⊥BC于D，求AD的长． 42. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=．求CD的长和四边形ABCD的面积． 43. 如图，一个消防用梯子长为，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角的距离为，求： （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）当梯子顶端下滑了到，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少？ （3）当梯子顶端下滑了多少后，梯子与水平方向成？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 特殊三角形复习（3） 学习目标 1．通过一系列直角三角形中的折叠问题复习巩固直角三角形的几个重要性质以及勾股定理及其逆定理； 2．进一步理解折叠问题的本质是图形的轴对称变换，会利用轴对称变换的性质进行有关的计算和证明； 3．直角三角形全等判定定理及K形图的初步运用． 课前演练 1. 在中，两条直角边的长分别为和，则第三边的长为______；斜边上的高为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先利用勾股定理求解斜边长，再根据三角形面积的两种表示方法求解斜边上的高. 【详解】解：在中，两条直角边长为和， ∴斜边长为. 设斜边上的高为. 根据三角形面积公式，可得：，解得. 2. 中，两条边的长分别为和，则第三边的长为______________． 【答案】或 【解析】 【分析】分边长为和的边都是直角边和边长为的边为斜边，边长为的边为直角边两种情况，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解： 分两种情况讨论： 当边长为和的边都是直角边时，第三边为斜边， 根据勾股定理，第三边长为； 当边长为的边为斜边，边长为的边为直角边时，第三边为另一条直角边， 根据勾股定理，第三边长为． 所以第三边的长为或． 3. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___米． 【答案】13 【解析】 【分析】如图，AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE=BD=12，AE=AB-CD=5，在直角三角形AEC中利用勾股定理即可求出AC． 【详解】解： 如图所示，AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米， 过C作CE⊥AB于E， 则CE=BD=12，AE=AB-CD=5， 在直角三角形AEC中， ， 则小鸟至少要飞13米． 故答案为：13． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，解答本题的关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题． 4. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠的性质得出AE=BE，然后再在Rt△ACD中运用勾股定理就可以求出CD的长．． 【详解】设CD=x，则BD=AD=10–x． 在Rt△ACD中，（10–x）2=x2+52， 100+x2–20x=x2+52， ∴20x=75，解得x=． 故选D． 【点睛】本题考查折叠问题和勾股定理的综合运用．解题关键是得到BD=AD． 课堂演练 例1 5. 如图，折叠直角三角形纸片，使点落在上的点处．已知，，则_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得到，由折叠对称性得到，，继而根据三角形内角和定理得到． 【详解】∵， ∴， ∵折叠后点落在上的点处， ∴，， ∴． 变练1 6. 如图：在中，，M是斜边的中点，将沿折叠，点A落在点D处，若恰好与垂直，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】因为中M是斜边中点，所以根据直角三角形斜边中线性质，可得，进而得到．因为沿折叠得到，所以根据折叠的性质，可得，进而确定与的等量关系．因为，所以在对应的直角三角形中，可得与互余，结合前面得到的和的倍数关系，即可建立关于的方程求解． 【详解】 解：在中，，是斜边的中点， ∴， ∴ ．  ∵沿折叠得到， ∴， ∴． ∵， 设交于点，则， 在中， ， 代入， 得， 解得． 7. 如图，是斜边上的高，将沿折叠，B点恰好落在的中点E处，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到，从而得到，再由折叠的性质及三角形的外角性质得到，从而不难求得的度数． 【详解】解：∵在中，是斜边的中线， ∴， ∴， ∵是由折叠而成， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握折叠的性质和直角三角形的性质是解决问题的关键． 例2 8. 如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在上的点E处，已知，，则的长是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得△ADE≌△ADC，从而得出AD平分∠BAC，∠C=∠AED=90°，根据角平分线的性质和30°所对直角边等于斜边的一半求解． 【详解】解：折叠的性质可得△ADE≌△ADC， ∴AD平分∠BAC，∠C=∠AED=90°，DE=DC， ∵∠B=30° ∴DE=BD ∴DC=BD ∵BC=12 ∴3DC=12 ∴DC=4 ∴DE=4． 故选：B 【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是本题关键． 例3 9. 如图，在中，，，，现将它折叠，使点与点重合，求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】连接，先由勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，然后由折叠性质可得，，设，则，在中，，即，求出的值即可． 【详解】解：连接，如图， 在中，，，， ∴，即， ∴是直角三角形，且， 由折叠性质可得，， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴，即的长为． 变练2 10. 如图，把一张长，宽的长方形纸片折叠，折叠后使相对的两个点重合，点落在，折痕为，求重合部分的面积． 【答案】． 【解析】 【分析】由题意得出，，由平行线的性质得出，由折叠的性质得，，从而得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，求出的面积即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴的面积，即重合部分的面积为． 变练3 11. 如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点落到点的位置，与交于点． （1）试找出一个与全等的三角形，并加以证明． （2）若，，为线段上的任意一点，于，于，试求的值，并说明理由． 【答案】（1）解：， 证明：∵四边形为长方形， ∴，， ∵， ∴； （2）． 【解析】 【分析】由四边形是长方形，结合折叠的性质可得，，利用全等三角形的判定定理“”可得出； 延长交于，则，由折叠的性质可知，通过角平分线性质可得，再结合，则，所以，然后通过等角对等边求出，在中利用勾股定理即可求出，从而得出的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，延长交于， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 变练4 12. 如图，将等腰直角三角形按图示方式翻折，若，下列说法正确的个数有（　　） 是等腰三角形； 的周长等于的长； 平分； 长为． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】由翻折变换的性质和等腰直角三角形的性质，结合勾股定理分别对各个说法进行判断即可． 【详解】由折叠的性质得，，， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形；因此的结论成立； 由折叠的性质得，，，， ∴是等腰直角三角形； ∴， ∴的周长为；因此的结论成立； ∵是等腰直角三角形； ∴， ∵， ∴， ∴不平分； 因此的结论不成立； ∵， ∴， ∴， ∴； 因此的结论不成立； 综上，正确的结论有，共个． 变练5 13. 如图，长方形中，把沿着折叠使得点落在点，，，则 求 （1）的长； （2）的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得到，继而根据勾股定理得到，继而得到答案． （2）设，则，在中，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：把沿着折叠使得点落在点， ， 在中，， 四边形是长方形， ，， ； 【小问2详解】 解：设，则， 在中，，即， 解得， ． 变练6 14. 如图，长方形中，cm，cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理求出的长，利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：； 即：， ∴的面积为． 【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题．熟练掌握折叠的性质，以及勾股定理是解题的关键． 例4 15. 如图所示，，，则平分，试说明理由． 【答案】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】先由得，证明，通过全等三角形性质可得，最后角平分线定义即可求证． 【详解】略． 变练7 16. 已知：如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD=BC 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接CD，利用HL定理得出Rt△ADC≌Rt△BCD进而得出答案． 【详解】证明：如图，连接CD， ∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A=∠B=90°， 在Rt△ADC和Rt△BCD中 ， ∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL）， ∴AD=BC． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 例5 17. 如图，于点，于点，是上一点，且，，则： （1）与全等吗？说明理由； （2）是不是等腰直角三角形？说明理由； （3）若，为中点，求的长度． 【答案】（1）解：，理由如下， ∵于点，于点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）． 【解析】 【分析】由垂直定义可得，然后通过“”证明全等即可； 由，，则有，所以，又，所以，从而得证； 由得是等腰直角三角形，然后通过直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由得是等腰直角三角形， ∵为中点， ∴． 变练8 18. 如图，已知中，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】作于D，作于E，根据题意得出，再证明，因此可得，再结合勾股定理求得，然后再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图：作于D，作于E， ∵之间的距离为2，之间的距离为3， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得：， 在中，根据勾股定理，得：． 变练9 19. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 55 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形和勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．利用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理计算即可． 【详解】解：有三个正方形a，b，c， ， ， ， ，， ， ， 在中，勾股定理得：， ． 故选C． 学后反思： 折叠=一个本质+两个数学思想+三个归类 特殊三角形章节复习E卷 20. 中，，分别以为边作正方形，面积分别为9，16，x，则_____． 【答案】25 【解析】 【分析】根据正方形面积等于边长的平方，结合勾股定理建立等量关系求解． 【详解】解：∵分别以为边作正方形，面积分别为9，16，x，  ∴， 在中，， 由勾股定理得：，  ∴， 解得． 21. 中，分别以为边作正方形，面积分别为7，11，18，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形面积等于边长的平方，所以先根据三个正方形的面积得到三边的平方值．因为要求，所以选取勾股定理的逆定理，比较三角形三边的平方值．如果满足，那么即可确定的度数． 【详解】解：正方形的面积等于边长的平方， ∴根据题意可得：，，． ∴． 根据勾股定理的逆定理， 为直角三角形，斜边对的角是， ∴． 22. 在中，，则____．若，则____，____，____．若是斜边上的中线，则____．若是斜边上的高线，则____． 【答案】 ①. ②. ③. ④. ⑤. ⑥. 【解析】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，斜边上的中线的性质，等积法逐一进行求解即可. 【详解】解：在中，，， ， ，， ， 由勾股定理得：； 三角形面积：； 是斜边上的中线， ； 是斜边上的高线，由三角形面积相等得：； 代入得：，解得. 23. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC，AB及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离． 【详解】解：根据题意画出相应的图形，如图所示： 在Rt△ABC中，AC=9，BC=12， 根据勾股定理得：AB＝ ， 过C作CD⊥AB，交AB于点D， ∵S△ABC=AC•BC=AB•CD， ∴ CD＝ ， 则点C到AB的距离是． 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定斜边AB的长． 24. 已知一个三角形中，有两边长为7和24，要使三角形为直角三角形，则第三边为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分第三边为斜边和边长为的边是斜边，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：若第三边为斜边，则第三边为； 若边长为的边是斜边，则第三边为； 综上，第三边为或． 25. 在直角三角形中，若斜边与斜边上的中线之和为，则斜边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设斜边长为，则斜边中线长为，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设斜边长为，则斜边中线长为， 由题意得， 解得， ∴斜边长为． 26. 有4个三角形，分别满足下列条件： （1）一个内角等于另外两个内角之和； （2）三个内角之比为； （3）三边分别为5、12、13； （4）一边上的中线等于这条边的一半； 其中直角三角形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理、等边对等角以及直角三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：（1）设三角形中，， ∵三角形内角和为，即， ∴，得， ∴该三角形是直角三角形，符合要求； （2）∵三个内角之比为， ∴最大内角为， ∴该三角形不是直角三角形，不符合要求； （3）∵三边为，，，且，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形，符合要求； （4）若三角形一边上的中线等于这条边的一半， 如图：设是边上的中线，且， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴该三角形是直角三角形，符合要求． 综上，符合条件的直角三角形共有3个． 27. 如图，在中，，，把折叠，使落在上，点与上的点重合，展开后，折痕交于点，连结、．下列结论：①图中有4对全等三角形；②若将沿折叠，则点不一定落在上；③；④，上述结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，利用全等三角形的判定和性质依次判断可求解． 【详解】解：，，， ，， 把折叠，使落在上，点与上的点重合， ， ，，， 在和中， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 图中共有4对全等三角形，故①正确； ， ， ， ， 将沿折叠，则点一定落在上，故②错误； ，， ， ，故③正确； 连接， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 28. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是 _____cm. 【答案】4 【解析】 【分析】过A作AE⊥BC，作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，利用三个角为直角的四边形为矩形得到AECF为矩形，利用矩形得四个角为直角得到∠EAF为直角，利用等式的性质得到∠DAF=∠BAE，再由一对直角相等，AB=AD，利用AAS得到三角形ABE与三角形ADF全等，利用全等三角形的对应边相等得到AE=AF，可得出AECF为正方形，三角形ABE面积与三角形AFD面积相等，进而得到四边形ABCD面积等于正方形AECF面积，求出正方形的边长即为AE的长，在等腰直角三角形ACE中，利用勾股定理即可求出AC的长． 【详解】解：过A作AE⊥BC，作AF⊥CD，交CD的延长线于点F ∵∠AEC=∠AFC=∠ECF=90°， ∴四边形AECF为矩形， ∴∠EAF=90°， ∵∠BAD=90°， ∴∠BAE+∠EAD=∠FAD+∠EAD=90°， ∴∠DAF=∠BAE， 在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AE=AF，S△ABE=S△ADF， ∴四边形AECF是正方形， ∴S四边形ABCD=S正方形AECF=24cm2， ∴AE=2cm， ∵△AEC为等腰直角三角形， ∴AC=AE=4cm． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 29. 如图，在四边形中，，，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，掌握通过构造辅助线将四边形问题转化为三角形问题，利用勾股定理及逆定理求解角度是解题的关键． 利用等腰直角三角形的性质求出的长度和的度数，再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，得到的度数，最后将和相加得到的度数． 【详解】解：，， ，． 由勾股定理，得． ，， ，， ， 为直角三角形，， ． 30. 如图，中，，是上一点，且，，，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理得到，设，则，然后由勾股定理得，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得， ∴， ∴的面积． 31. 在中，高和高相交于，且，求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】根据同角的余角相等求出，再利用“”证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 特殊三角形章节复习F卷 32. 如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，，则是________． 【答案】． 【解析】 【分析】由勾股定理得，推出，由此得到，将数据代入计算得出答案. 【详解】解：在直角三角形中， 利用勾股定理得：， ∴， 变形为：，即. 又，， ∴， 故答案为：. 【点睛】此题考查勾股定理的应用，圆的面积计算公式，正确理解各部分图形之间的面积关系及勾股定理的计算公式是解题的关键. 33. 已知三角形相邻两边长分别为和，第三边上的高为，则此三角形的面积为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考虑两种情况，一种为相邻两边在高的两侧，一种为相邻两边在高的同侧，然后根据勾股定理求得第三边，从而求得三角形面积． 【详解】解：设，，， 由题意作图，有两种情况： 第一种：如图①， 在中，利用勾股定理， 同理求出， 则三角形面积 ； 第二种：如图②， 在中， ， 在中， ， 则， 所以三角形面积， 故答案为或． 34. 如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，则△ACE的周长为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】首先连接AE，由在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，利用勾股定理即可求得BC的长，又由DE是AB边的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，继而可得△ACE的周长为：BC+AC． 【详解】解：连接AE， ∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6， ∴BC==10， ∵DE是AB边的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴△ACE的周长为：AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16． 故选：A． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用． 35. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是【 】 A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】连接AF， ∵DF是AB的垂直平分线，∴AF=BF． ∵FD⊥AB，∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°﹣30°=60°． ∵∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∠FAC=60°﹣30°=30°． ∵DE=1，∴AE=2DE=2． ∵∠FAE=∠AFD=30°，∴EF=AE=2．故选B． 36. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E是垂足，连结CD，若BD=1，则AC的长是(　　) A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质证明AD=CD，求得∠ACD=∠A=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质求得CD的长，利用勾股定理求得BC的长，在Rt△ABC中，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°， ∴∠ACB=60°， ∵DE垂直平分斜边AC， ∴AD=CD， ∴∠ACD=∠A=30°， ∴∠DCB=60°-30°=30°， 在Rt△DBC中,∠B=90°，∠DCB=30°，BD=1， ∴CD=2BD=2， 由勾股定理，得BC=， 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=， ∴AC=2BC=2． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出BC的长，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 37. Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30°，则PB的长为_______． 【答案】4或或． 【解析】 【分析】分两种情况考虑：当∠ABC=60°时，如图所示，由∠ABC=60°，利用直角三角形的两锐角互余求出∠CAB=30°，又∠PCA=30°，由∠PCA+∠ACB求出∠PCB为60°，可得出三角形PCB为等边三角形，根据等边三角形的三边相等，由BC的长即可求出PB的长；当∠ABC=30°时，再分两种情况进行求解即可. 【详解】分两种情况考虑： 当∠ABC=60°时，如图所示： ∵∠CAB=90°， ∴∠BCA=30°． 又∵∠PCA=30°， ∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°． 又∵∠ABC=60°， ∴△PCB为等边三角形． 又∵BC=4， ∴PB=4． 当∠ABC=30°时， （i）当P在A的右边时，如图所示： ∵∠PCA=30°，∠ACB=60°， ∴∠PCB=90°． 又∠B=30°，BC=4， ∴， 即 ． （ii）当P在A的左边时，如图所示： ∵∠PCA=30°，∠ACB=60°， ∴∠BCP=30°． 又∠B=30°， ∴∠BCP=∠B． ∴CP=BP． 在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4， ∴AC=BC=2． 根据勾股定理得：， ∴AP=AB－PB=－PB． 在Rt△APC中，根据勾股定理得：AC2＋AP2=CP2=BP2， 即22+（－PB）2=BP2， 解得：BP=． 综上所述，BP的长为4或或． 【点睛】此题考查了含30°直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，利用了转化及分类讨论的数学思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 38. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ） A. 20 B. 12 C. 14 D. 13 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8， ∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4， ∵点E为AC的中点， ∴DE=CE=AC=5， ∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14． 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 39. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为 （ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 121 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P， 所以四边形AOLP是正方形， 边长AO=AB+AC=3+4=7， 所以KL=3+7=10，LM=4+7=11， 因此矩形KLMJ的面积为10×11=110． 故选：C． 40. 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有【 】 A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形，因此，对各选项逐一计算即可判断即可. 【详解】①∵22+32=13≠42，∴以2，3，4为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意； ②∵32+42=52，∴以3，4，5为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意； ③∵12+（）2=22，∴以1，，2为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意. 故构成直角三角形的有②③. 故选D. 41. 如图，在钝角△ABC中，BC=9，AB=17，AC=10，AD⊥BC于D，求AD的长． 【答案】8 【解析】 【分析】设CD=x，则BD=9+x，利用勾股定理可得出102=AD2+x2①、172=AD2+（9+x）2②，利用②-①可求出x的值，将x的值代入①中即可求出AD的长度． 【详解】设CD=x，则BD=9+x． 在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，即102=AD2+x2①； 在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，即172=AD2+（9+x）2②． ②-①，得：189=81+18x， 解得：x=6， 将x=6代入①，得：100=AD2+36， 解得：AD=8或AD=-8（舍去）． ∴AD的长为8． 【点睛】本题考查了勾股定理，利用勾股定理找出关于AD的方程是解题的关键． 42. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=．求CD的长和四边形ABCD的面积． 【答案】CD=2；四边形ABCD的面积是 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积． 【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC， ∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH． ∵EH2+DH2=ED2，∴EH2=1．∴EH=DH=1． 又∵∠DCE=30°，∴CD=2，HC=． ∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=．∴AB=AE=2． ∴AC=2+1+=3+． ∴S四边形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=． 43. 如图，一个消防用梯子长为，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角的距离为，求： （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）当梯子顶端下滑了到，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少？ （3）当梯子顶端下滑了多少后，梯子与水平方向成？ 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】利用勾股定理即可求解； 由题意得，，则，由勾股定理得，然后通过线段的和与差即可求解； 由题意得，，通过直角三角形性质可得，然后通过线段的和与差即可求解． 【小问1详解】 解：这个梯子的顶端距地面的高度为， 答：梯子顶端距离地面的高度为米； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴梯子的底端在水平方向滑动了； 【小问3详解】 解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∴当梯子顶端下滑了后，梯子与水平方向成． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $