第二章有理数的运算（暑假单元测试卷）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 2025-2026学年七年级上学期第二章有理数的运算单元卷，90分钟120分，以真实情境（如快递公司损坏赔偿）、文化传承（明代铺地锦）及新定义运算设计，覆盖运算能力、推理意识等核心素养，适配暑假单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|有理数运算转化、数轴关系、近似数|结合半衰期科技情境，考查推理意识| |填空题|6/18|运算律、科学记数法、24点游戏|设计数轴翻折动态问题，培养几何直观| |解答题|8/72|混合运算、实际销售利润、新运算探究|通过外卖行程、水果店销售等真实问题，发展应用意识|

2025-2026学年七年级上学期单元测试卷 第二章 有理数的运算 数学·全解全析 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第二章 有理数的运算（2.1.1-2.3.3）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 2．有理数减法运算可以转化为加法运算．对的运算进行转化，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数减法法则的应用，减去一个数等于加上这个数的相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵有理数减法法则为：减去一个数，等于加上这个数的相反数． ∴ ． 故选：A． 3．如果两个有理数的和小于零，那么（    ） A．两个有理数一定都是负数 B．两个有理数一个是正数，一个是负数 C．两个有理数不可能都是正数 D．两个有理数可能都是零 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握加法法则是解本题的关键．根据有理数的加法运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、若一个数为，另一个数为，和为（负数），但两数不全是负数，故A选项错误； B、若两数均为负数，如和，和为（负数），但两数不符合“一正一负”，故B选项错误； C、若两数均为正数，则它们的和必为正数，与题目条件“和小于零”矛盾，因此，如果两个有理数的和小于零，两数不可能都是正数，故C选项正确； D、若两数均为零，和为，不满足“和小于零”，故D选项错误； 故选：C ． 4．所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘方的应用． 根据题意可知每经历一个半衰期，质量变为原来的，由此可得经历个半衰期后的质量． 【详解】解：， ∴经历了个半衰期后的质量为． 故选：D． 5．若，且，则等于（   ） A．5或 B．或1 C．5或1 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值和有理数的加法运算，先根据绝对值的性质求出a，b的值，再根据，得出所有符合条件的a，b的值，再列出算式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，可取或，均满足；当时，可取或，均不满足， ∴或， ∴或， 故选：C． 6．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中：①；②；③；④，正确的是（   ） （图示：，且a到原点的距离大于b到原点的距离） A．①② B．①④ C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负性，利用数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，有理数的加法运算，乘法运算，减法运算，据此相关性质内容进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：观察数轴得，， ∴，①符合题意， ，②不符合题意， ，③符合题意， ，④不符合题意， 综上，①③符合题意； 故选：D． 7．下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是（） A．近似数精确到百位 B．3.254精确到十分位是3.2 C．近似数6.32万精确到百分位 D．4.701的近似数是4 【答案】A 【分析】将科学记数法或带“万”的近似数，还原为数后再判断最后一位所在数位得到精确度，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：对于A：，最后一位有效数字在百位，精确到百位，正确； 对于B：精确到十分位时，看百分位数字为，四舍五入得，错误； 对于C：万，最后一位有效数字在百位，万精确到百位，错误； 对于D：精确到个位，四舍五入的近似数为，错误． 8．快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】先假设500只玻璃杯都没有损坏时应得的运费，进而求得损坏的玻璃杯数量． 【详解】解：2角元，8角元， 假设500只玻璃杯都没有损坏，此时应得运费：（元）， （元）， 每损坏一只玻璃杯，少得的费用为运费损失0.2元加上赔偿的0.8元，即：（元）， 损坏的玻璃杯数量：（只）， 故快递公司损坏13只玻璃杯． 9．下列结论： ①一个数和它的倒数相等，则这个数是和；②若，则；③若，且，则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：∵一个数和它的倒数相等，则这个数是， ∴①错误； ∵， ∴， ∴②错误； ∵，且， ∴，同号，且都为负数，即，， ∴， ∴， ∴③正确； 当时，， 当时，， ∴一定是非负数， ∴④正确； ∵， ∴，，， ∴， ∴⑤正确； 综上，正确的结论共有个． 10．明代《算法统宗》一书将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数46写在方格上面，乘数75写在方格右面，然后用乘数46的每位数字乘以乘数75的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来（满十进一），即得3450，如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘的结果为2176，则a和m的值可能为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了“铺地锦”乘法计算方法的理解与应用，解题的关键是根据斜行相加的进位规则，结合乘积2176的各位数字，通过代入选项验证确定和的可能值． 根据“铺地锦”规则，结果2176的十位数字为，结合图中格子数字和的位置关系，可得的个位数字为，即（舍去，选项无此答案）或结合进位分析，十位斜行相加为；同时千位和百位的数字组合需满足21的结果，结合选项中的取值，代入验证的合理性． 【详解】解：由“铺地锦”计算规则，结果2176的十位数字为，对应图中十位斜行相加的结果个位为，即的个位为（或含进位情况）． 逐一分析选项： A、，，，此选项不符合题意； B、，，，此选项不符合题意； C、，，结合进位规则，（十位斜行），符合2176的数字特征，此选项符合题意； D、，，，此选项不符合题意． 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．填空： ＝（加法______律） ＝（加法______律） ＝（______）＋（______）＝______． 【答案】 交换 结合 2 【分析】本题考查了有理数加法的运算律，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算．运用加法交换律和加法结合律正确计算即可． 【详解】解： （加法交换律） （加法结合律） ． 故答案为：交换，结合，，，2． 12．320000精确到千位应记为_________；有_________个有效数字；保留三个有效数字应记为_________． 【答案】 3 【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，根据有效数字的定义求解即可． 【详解】解：， 有 1、0、2三个有效数字； 保留三个有效数字应记为． 故答案为：，3，． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错． 13．小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账80元，扫二维码付款给超市45元，付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元．则当天结束后，小王微信钱包剩余零钱为________元． 【答案】1024 【分析】本题考查正数和负数的意义，有理数的加减法运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据有理数的加减运算规则，将收入视为正数，支出视为负数，计算所有收支后的净变化，再与原始金额相加． 【详解】原始金额为1000元，收入80元和30元，支出45元、23元和18元， 因此剩余零钱为： （元）． 故答案为1024． 14．如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． 任意取出4张卡片，进行计算得出结果即可． 【详解】解：由题意得，可以用、、、这四个数来构造等式： 则 ； 或者用、、、构造： 则 ， 故答案为：或． 15．如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴的翻折，掌握中点公式是解题的关键．数轴翻折后，表示的点与表示1的点重合，则数轴沿中点翻折，根据重合的数中点是即可解答． 【详解】解：由题意得数轴沿和1的中点翻折， 设与表示数字的点重合的是表示数字b的点， 则， 解得， 故答案为． 16．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则________． 【答案】8 【分析】根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】根据定义，得， 故答案为：8． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)18 (2) (3) 【详解】（1）解：； ． （2）解： ． （3）解： ． 18．（6分）下列用科学记数法表示的数，原数分别是什么？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了把科学记数法表示的数变回原数，将用科学记数法表示的数还原成原数时，将a的小数点向右移动n位即可，据此求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 19．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，相反数，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算法则，相反数的定义． （1）先去括号，再把减法化为加法，最后运算加法，即可作答． （2）把小数化为分数，再根据加法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（8分）有理数、、在数轴上的位置如图． (1)把、、，，，，这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：______，______，______，______． 【答案】(1)； (2)；；；． 【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负，根据数轴得出且是解此题的关键． （1）由数轴可得且，由此即可得到答案； （2）由数轴可得且，由此逐个判断即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可得：且， ∴； （2）∵由数轴可得， ∴； ∵由数轴可得，且， ∴； ∵由数轴可得， ∴； ∵由数轴可得， ∴． 故答案为：；；；． 21．（10分）某水果店销售某种水果，原计划每天卖出，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，如表是某一周的销售情况：（超额记为正，不足记为负，单位：） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)请计算该店一周这种水果的销售总量； (2)若该店以2.5元的价格购进这种水果，又按6元出售，则该水果店本周一共赚了多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正数、负数、有理数的运算的实际应用，根据已知条件列出正确算式是解题的关键． （1）根据原计划每天卖出，结合正数和负数的实际意义进行列示计算即可； （2）根据（1）中的总销售量，利用售卖每千克水果获得的利润与总销售量的乘积进行计算即可． 【详解】（1）解： （） 答：该店一周这种水果的销售总量为． （2）解： （元） 答：该水果店本周一共赚了元． 22．（10分）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 【答案】(1)相等 (2) (3)5 【分析】本题考查有理数的乘方， （1）根据乘方的定义分别计算可得； （2）根据（1）中计算结果可得； （3）根据所得结论计算可得． 【详解】（1）解：① ，，则； ② ，，则； 即每组两个算式的结果相等 （2）解：； （3）解：． 23．（12分）小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)小李在集合点的南边，距集合点1千米 (2) (3)能，理由见解析 【分析】（1）将题中所记录的数据相加求和即可得出答案； （2）分别求出这6次行驶距离集合点的路程，比较即可； （3）分别求出这6个数的绝对值，相加求和，然后与12进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解： （千米）， 答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1千米； （2）第一次距离集合点（千米）， 第二次距离集合点（千米）， 第三次距离集合点（千米）， 第四次距离集合点（千米）， 第五次距离集合点（千米）， 第六次距离集合点（千米）， 因为， 所以小李距集合点最远为2千米， 故答案为：2； （3）能，理由： （千米）千米， 所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程． 24．（12分）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧ (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，______； 一个数与0进行“⊕”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． (4)对于任意有理数，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：______（用含的式子表示）． 【答案】(1)同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加；结果等于这个数的绝对值 (2)9 (3)不适用，反例看解析 (4) 【分析】本题考查定义新运算，熟练掌握新运算的法则是解题的关键： （1）由给出的算式，得到两数进行“⊕”运算时，同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加，一个数与0进行“⊕”运算时，结果等于这个数的绝对值； （2）根据新运算的法则，进行计算即可； （3）不适用，举出一个反例即可； （4）根据，定义一种新运算即可． 【详解】（1）解：两数进行“⊕”运算时，同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加，一个数与0进行“⊕”运算时，结果等于这个数的绝对值； （2）解：； （3）不适用，例如：，，， 故结合律在有理数的“”运算中不适用； （4）∵，， 故可以定义． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级上学期单元测试卷 第二章有理数的运算 数学 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：第二章有理数的运算(2.1.1-2.3.3)。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.计算（-21)÷(-7)的结果等于() A.-3 B.3 c 2.有理数减法运算可以转化为加法运算.对-3--4的运算进行转化，正确的是() A.-3++4B.-3+-4 c.-3-+4 D.+3+-4 3.如果两个有理数的和小于零，那么() A.两个有理数一定都是负数 B.两个有理数一个是正数，一个是负数 C.两个有理数不可能都是正数 D.两个有理数可能都是零 4.所有放射性物质都有自己的半衰期.半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是 个不变的量.质量为m的放射性物质，经历了3个半衰期后的质量为()m. 1/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A,3 1 1 D. 8 5.若a=3,b=2,且a>b,则a+b等于() A.5或-1 B.-5或1 C.5或1 D.-5或-1 6.有理数a,b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中：①a+b<0:②a-b>0:③ab<0;④ a<b,正确的是() (图示：a<0<b,且α到原点的距离大于b到原点的距离) A B a 0b A.①② B.①④ C.②③ D.①③ 7.下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是() A.近似数2.36×104精确到百位 B.3.254精确到十分位是3.2 C.近似数6.32万精确到百分位 D.4.701的近似数是4 8.快递公司为客户运送500只玻璃杯.为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱， 如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱.如果快递公司共得 运费87元，请问快递公司损坏(，)只玻璃杯. A.10 B.11 C.12 D.13 9.下列结论： @-个数和它的倒数相等，则这个数是士0：②若=1<m<0,则m<m<:③若0+b<0,b>0 a 则5a+2b=-5a-2b:④若m是有理数，则m+m是非负数：⑤若c<0<a<b,则 a-bb-cc-a>0;其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.明代《算法统宗》一书将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算46×75，将乘 数46写在方格上面，乘数75写在方格右面，然后用乘数46的每位数字乘以乘数75的每位数字，将结果 记入相应的格子中，最后按斜行加起来（满十进一)，即得3450，如图2，用“铺地锦”的方法表示两个 两位数相乘的结果为2176，则α和m的值可能为() 2/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 6 m 0 0 图1 图2 A.a=3,m=2 B.a=8,m=1 C.a=3,m=1 D.a=8,m=3 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 11.填空：-12++2+-5++13++4 =-12+-5++2++13++4(加法律) -12+-5+川+2++13++4（加法 律) =()十()= 12.320000精确到千位应记为 一：1.02×10有个有效数字：5.204保留三个有效数字应 记为 13.小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账80元，扫二维码付款给超市45元， 付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元.则当天结束后，小王微信钱包剩余零钱为 元 14.如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每 张卡片上的数只能用一次)，使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为 -3-6125 15.如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示-3的点与表示1的点重合，此时，表示数字a的点与表 示数字■ 的点重合（用含a的代数式表示） -5-4-3-2-10123456 16.定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n=m”-mn(m,n均为整数，且m≠0).例： 2*3=23-2×3=2,则(-2)*2= 3/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分)计算： ()-23++58+-17月 2-2.8+-3.6l+3.6 -3+72-54: 18.(6分)下列用科学记数法表示的数，原数分别是什么？ (15.18×103 2)-3.12×105 (3)4.05×102 19.(8分)计算： a-20---12--5--7川 -3125-5号3+475+-4引 20. (8分)有理数a、b、c在数轴上的位置如图. 0 0b (1)把a、b、C,0,-a,-b,-c这七个数用“<”连起来： (2)判断正负，用“>”或“<”填空：b-C 0,a+b0,c+10,abc0 21.(10分)某水果店销售某种水果，原计划每天卖出100kg,但由于种种原因，实际每天的销售量与计 划量相比有出入，如表是某一周的销售情况：（超额记为正，不足记为负，单位：kg) 星期 四 五 六 日 与计划 量的差 +6 -2 +12 +3 -7 +19 -11 值 4/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)请计算该店一周这种水果的销售总量： (2)若该店以2.5元/kg的价格购进这种水果，又按6元/kg出售，则该水果店本周一共赚了多少元？ 22.(10分)先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题， ①22×32与2×3：② (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等： (2)根据(1)的结果猜想ab”等于什么？ 12025 (3)用(2)的结论计算： 5 ×-52026】 23.(12分)小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖.如果向北行驶 记作“+”，向南行驶记作“-”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： -2,+3.5,-1.8,+0.3,+1.6,-2.6 (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为千米. (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行 程？请说明理由。 24.(12分)探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“田”运算.按照“田”运算的运算法则进行计算： ①+2⊕+3=+5： ②-2⊕+3=-5： ③-2⊕-3=+5： ④+2⊕-3=-5： ⑤0⊕+5=5： ⑥+4⊕0=4： ⑦-5⊕0=5： ⑧0⊕-3=3. (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“⊕”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，一一： 一个数与0进行“⊕”运算时，一一 5/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)计算：(-3⊕2⊕-4 (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“⊕”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适 用，举出一个反例即可)· (4)对于任意有理数m,n,请你重新定义一种运算“⑧”，使得4⑧3=24，写出你定义的运算：m⑧n=_ (用含m,n的式子表示). 6/6