精品解析：吉林长春外国语学校2025-2026学年高一第二学期第三学程考试数学试题

长春外国语学校2025-2026学年第二学期第三学程考试高一年级 数学试卷 出题人 ：陈燕 审题人：尹璐 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. i是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 设一组样本数据的极差为，方差为，若数据的极差为，则数据的方差为（ ） A. 0.02 B. C. 0.2 D. 0.4 3. 已知向量，，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. ，，则 B. ，， C. ，，则 D. ，，则 5. 如图，某建筑物的高度，一架无人机（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A. 50m B. 100m C. 150m D. 200m 6. 已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，则（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 45°或135° 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 的第60百分位数是6 B. 已知一组数据的平均数为5，则这组数据的方差是 C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D. 若，，…，的平均值为2，则，，…，的平均值是7 10. 抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，观察落地时朝上的面的点数，记随机事件“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数小于3”，“点数大于3”，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. 是必然事件 D. 与相互独立 11. 在棱长为1的正方体中，连接线段，下列说法正确的是（ ） A. 正方体的棱所在直线有6条与直线异面 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 直线平面 D. 点到平面的距离为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若向量为单位向量，且，，则向量的坐标是_____． 13. 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别 人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是______． 14. 在正四棱台中，，高为，则该正四棱台的外接球的表面积为_______________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知平面向量 . （1）若与共线，求 ； （2）若与的夹角为钝角，求的取值范围. 16. 为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． （1）求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； （2）估计样本中成绩的上四分位数； （3）若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 在中，，其中角的对边分别为． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 19. 如图，在三棱锥中，，，，．是的中点，是的中点，． （1）求证：平面； （2）若是的中点，在上，平面． （ⅰ）求的长； （ⅱ）求二面角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2025-2026学年第二学期第三学程考试高一年级 数学试卷 出题人 ：陈燕 审题人：尹璐 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. i是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意进行复数的除法运算求得，再求其共轭复数即可. 【详解】， ， 2. 设一组样本数据的极差为，方差为，若数据的极差为，则数据的方差为（ ） A. 0.02 B. C. 0.2 D. 0.4 【答案】D 【解析】 【分析】通过极差确定，再根据方差的线性变换性质，即可求解. 【详解】设原样本数据的最大值为，最小值为，则， 所以数据的极差为， 所以， 根据方差的线性变换性质可知，数据的方差为. 3. 已知向量，，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用夹角公式求解即可. 【详解】因为,，所以. 4. 设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. ，，则 B. ，， C. ，，则 D. ，，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，若，，则与平面平行或或相交，故A错误； 对于B，因为，，故，而，故，故B正确； 对于C，，，则或，故C错误； 对于D，若，，则与平面的位置关系不确定（可能平行、相交或在平面内），故D错误. 5. 如图，某建筑物的高度，一架无人机（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A. 50m B. 100m C. 150m D. 200m 【答案】B 【解析】 【详解】已知，，， 由正弦定理得. 由无人机的仰角、俯角可得，， 因此. 根据正弦定理，代入得. 在中，，因此. 6. 已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据球的体积公式求出外接球半径，再利用三角形中的勾股定理列出方程即可求解. 【详解】设正四面体的外接球半径为，则由可得， 设正四面体的高为，棱长为， 由于正四面体的底面为正三角形，因此底面外接圆的半径， 又外接球球心到底面的距离为， 故由勾股定理可得，， 代入，解得正四面体的高. 7. 在中，，，，则（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 45°或135° 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出sinB的值，再结合大边对大角的性质排除不符合题意的解，即可得到角B的大小. 【详解】在中，，，，由正弦定理得, 所以，得， 因为，所以， 故，所以. 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【详解】和表示、方向的单位向量，则在的角平分线上， 又，所以的角平分线与边垂直， 所以是等腰三角形，且. 取的中点，连接，则. 由题意知，，，所以. 以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，，故， 设（），则，即. . 所以， 当时，取得最小值，为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 的第60百分位数是6 B. 已知一组数据的平均数为5，则这组数据的方差是 C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D. 若，，…，的平均值为2，则，，…，的平均值是7 【答案】BD 【解析】 【分析】根据百分位数的概念判断A，根据平均数和方差的概念判断B，根据抽样的等可能性判断C，根据平均值的运算判断D. 【详解】对A：的第60百分位数是：，故A错误； 对B：因为，所以这组数据的方差为： ，故B正确； 对C：分层抽样，每个个体被抽到的概率相等，故C错误； 对D：的平均值为2，所以的平均值为，故D正确. 10. 抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，观察落地时朝上的面的点数，记随机事件“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数小于3”，“点数大于3”，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. 是必然事件 D. 与相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】由古典概型的概率公式得到各个事件的概率，利用对立事件的性质判断A，利用互斥事件的性质判断B，利用必然事件的性质判断C，利用独立事件的性质判断D即可. 【详解】由题意得抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，共有6种等可能情况， 由已知随机事件“点数为奇数”，可得， “点数为偶数”，可得， “点数小于3”，可得， 而“点数大于3”，可得， 对于A，而，则与不互为对立事件，故A错误， 对于B，由已知事件是不可能事件， 结合互斥事件的定义可得与互斥，故B正确， 对于C，由题意得， 则，可得是必然事件，故C正确， 对于D，由题意得，满足， 由独立事件的性质得与相互独立，故D正确. 11. 在棱长为1的正方体中，连接线段，下列说法正确的是（ ） A. 正方体的棱所在直线有6条与直线异面 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 直线平面 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A. 通过分类统计正方体12条棱与体对角线的位置关系，排除相交、平行的棱，直接数出异面棱数量；B.依据线面角定义确定对应夹角，在直角三角形中求出正弦值；C.利用线面垂直判定定理，证明直线垂直于平面内两条相交直线，即可证线面垂直；D.采用几何等体积法，求解点到平面的距离. 【详解】体对角线 ，底面对角线 ，侧面棱 ；正四面体 各棱长均为. A.正方体共12条棱，分三类判断： 与相交的棱（6 条）：过点的棱 ；过点的棱 ，其中相交： 共 6 条； 与平行的棱：无，正方体棱均不平行于体对角线； 异面棱：剩余6条：，因此有6条棱与异面，A 正确； B.在正方体中 底面，故为直线与平面所成的角， 在直角中，，，B错误； C. 底面正方形中，又，，得面， 面，故，连接， 正方形中；面，得，，故面， 面，故，，平面， 因此平面，C正确； D.三棱锥，底面是直角三角形，，高， ， 为边长的正三角形，面积， 设点到平面距离为，则， 因为，所以，解得，D 正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若向量为单位向量，且，，则向量的坐标是_____． 【答案】或 【解析】 【详解】设，由为单位向量且， 则有，解得或， 所以或. 13. 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别 人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是______． 【答案】0.44## 【解析】 【分析】由频率估计概率，得出所求概率. 【详解】因为身高高于170cm的频率为， 抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是0.44. 故答案为：0.44 14. 在正四棱台中，，高为，则该正四棱台的外接球的表面积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】求出上、下底面外接圆半径，设正四棱台上、下底面的中心分别为 、，外接球的球心为，半径为，则点在直线上，又，利用勾股定理求出，即可求出，从而得解. 【详解】正四棱台中，， ∴上、下底面外接圆半径分别为， 设正四棱台上、下底面的中心分别为 、，外接球的球心为，半径为.  则 必在​ 上，高， 设，则. 由得， 解得， ∴. 正四棱台的外接球的表面积为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知平面向量 . （1）若与共线，求 ； （2）若与的夹角为钝角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 向量与共线，，解得. . ，. . 【小问2详解】 与的夹角为钝角，且与不共线，即； ，即的取值范围为. 16. 为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． （1）求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； （2）估计样本中成绩的上四分位数； （3）若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 【答案】（1），90 （2）86 （3）平均数为91，方差为22． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求的值，再利用频率估计总体即可； （2）根据百分位数的求解方式求解即可； （3）根据分层抽样的方差公式求解． 【小问1详解】 在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1， 则，解得， 估计样本中成绩不低于60分的人数为． 【小问2详解】 前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 所以成绩的上四分位数落在内，设其为， 则，解得， 即估计样本中成绩的上四分位数为86． 【小问3详解】 样本中成绩在内占成绩在内的比例为， 样本中成绩在内占成绩在内的比例为． 设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为， 由分层随机抽样的平均数公式可得， 由分层随机抽样的方差公式可得， 故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为点、分别是、的中点， 所以且， 又因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定及性质，线面平行的判定即可证明； （2）根据线面夹角的定义得出即为直线与平面所成角的平面角，即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 过点作的垂线，设垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为底面是正方形，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，即为直线与平面所成角的平面角， 设， 在中，即， 由（1）可知，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18. 在中，，其中角的对边分别为． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，进而利用正弦定理可得，进而利用余弦定理可求得角的大小； （2）根据三角形内角和以及为锐角三角形，从而可得出的取值范围，再将转化为关于的函数即可求解． 【小问1详解】 由正弦定理，设． 原式可化为． 因为，所以． 所以由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 又因为，所以． 【小问2详解】 由，得． 又为锐角三角形，所以． 由，可得． 由正弦定理，． 当时，， 故． 19. 如图，在三棱锥中，，，，．是的中点，是的中点，． （1）求证：平面； （2）若是的中点，在上，平面． （ⅰ）求的长； （ⅱ）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明：因，，则, 又因是的中点，则,且, 在中，，则, 又因是的中点，则, 因，则由可得, 因平面，故平面. （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用条件分别证明，，再由线面垂直的判定定理即可得证； （2）（ⅰ）利用线面平行的性质先证得，结合条件推得是的中点，即得；（ⅱ）取的中点，连接，证明平面，作于点，连接，证明即二面角的平面角，借助于题设条件求解即得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）因平面，在上，则平面， 因平面平面，则， 又因是的中点，则是的中点，故； （ⅱ）取的中点，连接，因是的中点，则，且， 在平面中，作于点，连接. 由（1）得平面，则平面，因面，则， 因平面，则平面， 又平面，则，故即二面角的平面角. 连接，易得， 因平面，平面，则，则， 故，又， 由可得， 在中，由等面积可得， 故在中，， 则，即二面角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $