精品解析：吉林省实验中学2025-2026学年下学期高一年级学程性考试（三） 数学试卷

吉林省实验中学2025－2026学年度下学期 高一年级学程性考试（三） 数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 3．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效．不得在答题卡上做任何标记． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是三角形，若，，则原三角形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 已知表示一条直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 先将函数的图象向右平移，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 某学校从高三某次联考中随机抽取了甲班50名、乙班40名学生的成绩.已知甲班50名学生成绩的平均数为112分，方差为8，乙班40名学生成绩的平均数为94分，方差为8，则这90名学生成绩的方差为（ ） A. 8 B. 36 C. 64 D. 88 6. 设为单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 5 D. 8 7. 某家用方形分装漏斗的主体结构可抽象成一个上大下小的正四棱台，若，，且侧面与上底面的夹角为，若不考虑材料厚度、接缝及裁剪损耗，制作该漏斗的侧面所需材料的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面四边形中，，是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知事件和事件的概率，，下列结论中正确的是（ ） A. 若事件和事件独立，则 B. 若事件和事件独立，则 C. 若事件和事件互斥，则 D. 若事件和事件互斥，则 10. 在中，内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 若点为中点，过点、、的平面截该正方体，所得截面周长为 C. 若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为 D. 若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知复数是纯虚数，则实数______. 13. 已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生0~999之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制平台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为______. 14. 已知满足，且其外接圆半径为2，则面积的最大值为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄(都在内)，按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （2）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 16. 为普及普洱本土特色产业与科创知识，普洱市科技馆开展“绿色科创体验周”科普活动，设置了两个活动方案，参观者可任选一个方案进行挑战，若挑战成功将获得一份纪念品． 方案一：准备4张“绿色食品知识卡”（涵盖普洱茶､咖啡､热带水果､特色农产品）和2张“生物医药知识卡”（涵盖中药材种植､生物制造产业），参观者从6张卡片中一次性随机抽取2张，如果两张卡片类型不同（即一张绿色食品知识卡､一张生物医药知识卡），则挑战成功． 方案二：回答3道关于普洱特色产业的问题，若至少答对1道题，则挑战成功． （1）求参观者在方案一中挑战成功的概率； （2）如果小明选择方案二，已知他每道题答对的概率均为，且每道题的回答相互独立．你觉得他的选择是否合理？请通过计算说明你的理由． 17. 如图，在中，．设点D是边上一点，满足． （1）记，用表示； （2）若，求． 18. 如图，四棱锥中，平面，，，E为的中点，点F在棱上，直线和直线相交． （1）求证： （2）若，，． （i）证明：平面； （ⅱ）求直线与平面所成的角． 19. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面，，分别为，的中点. （1）求证：； （2）在线段上是否存在一点使得平面，存在指出位置，不存在请说明理由. （3）求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省实验中学2025－2026学年度下学期 高一年级学程性考试（三） 数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 3．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效．不得在答题卡上做任何标记． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】这组数据按从小到大排序为3，5，6，7，7，9， 由可知第30百分位数是第2个数据，即为. 2. 如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是三角形，若，，则原三角形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据直观图可得原图为直角三角形，求出原图的直角边长后可得三角形的面积. 【详解】因为斜二测画法中，横不变，纵减半，所以三角形为直角三角形, 且为直角,,,故其面积为. 3. 已知表示一条直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】结合空间线面、面面平行与垂直的判定及性质，逐一分析各选项的正误。 【详解】对选项A： 若，，则直线的位置关系为或，并非一定满足，故A错误； 对选项B： 由面面平行的性质可知，若两个平行平面中的一个与一条直线垂直，则另一个平面也与该直线垂直，因此当，时，，故B正确； 对选项C： 若，，则与的位置关系可能为平行、相交或，并非一定垂直，故C错误； 对选项D：若 ，，则直线的位置关系为或，并非一定满足，故D错误。 4. 先将函数的图象向右平移，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】遵循三角函数图象变换的“左加右减”平移规则和横坐标伸缩变换规则得到的解析式. 【详解】将函数的图象向右平移，可得到函数 的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 故. 5. 某学校从高三某次联考中随机抽取了甲班50名、乙班40名学生的成绩.已知甲班50名学生成绩的平均数为112分，方差为8，乙班40名学生成绩的平均数为94分，方差为8，则这90名学生成绩的方差为（ ） A. 8 B. 36 C. 64 D. 88 【答案】D 【解析】 【分析】根据两组数据的均值和方差，利用方差合并公式计算可得. 【详解】设甲班50名学生成绩的平均数和方差分别为，， 乙班40名学生成绩的平均数和方差分别为，， 则，，，， 所以这90名学生成绩的平均数为， 则这90名学生成绩的方差为 . 故选：D. 6. 设为单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的公式，即可求得，进而平方再开方求解模长. 【详解】由题意可得，且，则， 所以. 7. 某家用方形分装漏斗的主体结构可抽象成一个上大下小的正四棱台，若，，且侧面与上底面的夹角为，若不考虑材料厚度、接缝及裁剪损耗，制作该漏斗的侧面所需材料的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别取、、、的中点、、、，连接、、、，根据正棱台的性质求出，即可求出. 【详解】如图，分别取、、、的中点、、、， 连接、、、， 因为是正四棱台，所以、， 又侧面与上底面的夹角为，所以， 又，，所以、， 所以， 所以， 所以制作该漏斗的侧面所需材料的面积为. 8. 如图，在平面四边形中，，是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，取的中点，找到的外心，然后平面，根据二面角的平面角为找到球心，然后计算长度求出，最后根据球的体积公式计算即可. 【详解】如图，取的中点，连接， 设为正的外心，则点在上，且． 设为四面体的外接球球心，则平面． ，则为的外心，平面． 二面角的大小为，则直线与平面成角，． 是边长为3的正三角形，则，． 在中，． 在中，，则， 四面体的外接球半径，. 故选：B． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知事件和事件的概率，，下列结论中正确的是（ ） A. 若事件和事件独立，则 B. 若事件和事件独立，则 C. 若事件和事件互斥，则 D. 若事件和事件互斥，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件相互独立的定义和互斥事件的加法公式逐项判断. 【详解】对于A：因为事件和事件独立，所以，A正确； 对于B：由A，，所以，B正确； 对于C：若事件和事件互斥，则，所以，C错误； 对于D：若事件和事件互斥，则，D正确. 10. 在中，内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由变形可得的值，再由结合二倍角公式和平方关系变形可得，进而得到，再结合余弦定理可得两边的关系，由B可得，结合正弦定理可求得的值，进而比较大小，对利用完全平方公式进行放缩可得到的大小. 【详解】对于A选项 ，由，所以， 得，A选项正确； 对于B选项 ，由 ， 则， 得，由正弦定理，即 ， 代入 ，得 ， 解得 或，B选项错误； 对于C， ， 由,， ，C选项错误； 对 D选项，， ，D选项正确. 故选:AD 11. 如图，在棱长为的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 若点为中点，过点、、的平面截该正方体，所得截面周长为 C. 若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为 D. 若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，结合勾股定理求出点的轨迹，利用圆的周长计算即可；选项B，作出截面，并求出截面周长，即可作出判断；选项C，取中点，连接，分析可得等腰的外接圆圆心在上，且外接圆半径为，再过点作底面的垂线，设为三棱锥的外接球的球心，结合底面，可得，进而求出外接球半径，再根据球的表面积公式求解判断即可；选项D，由题意知点在以为圆心，为半径的圆弧上，再利用对称性结合平面几何知识即可判断D. 【详解】对于A选项，因为平面，平面，所以， 因为，则， 则在以为圆心，半径为的四分之一圆周上，如图， 所以点的轨迹长度为，故A正确； 对于B选项，如下图所示： 延长分别交直线、于点、， 连接交于点，连接交于点，连接、， 所以五边形为所求截面， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 又因为，故，所以， 因为，所以，所以， 由勾股定理可得， ，， 同理可得，，， 故截面周长为，故B正确； 对于C选项，如图所示，， 取中点，连接，则等腰的外接圆圆心在上， 所以外接圆半径，依题意易知，， 根据正弦定理可知，，则， 过点作底面的垂线，由于底面， 设为三棱锥的外接球的球心，则， 而，则，又， 则三棱锥的外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为，故C错误； 对于D选项，因为平面，所以与的夹角为， 故，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆弧上， 连接，由对称性可知，当点位于上时，最小，过作于， 在中，， 则，故， 如图在平面中，过点作于点， 则，当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知复数是纯虚数，则实数______. 【答案】2 【解析】 【详解】由复数是纯虚数， 可得，解得. 13. 已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生0~999之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制平台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出基本事件的个数以及符合条件的事件的个数，进而结合古典概型概率公式即可求出结果. 【详解】在20个不重复的数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有633，309，16，543，247，62共6个，所以据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为， 故答案为：. 14. 已知满足，且其外接圆半径为2，则面积的最大值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换和正弦定理，由推出角的关系，再结合外接圆半径，用正弦定理和三角形面积公式将面积表示为，最后根据角的范围即可求出面积的最大值. 【详解】因为， 由积化和差：， 又，所以，所以， 因为，所以， 又因为，所以，所以，即， 所以. 由正弦定理：， 所以， 所以， 由，得，即，所以， 所以当，即时，取到最大值为1，此时. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄(都在内)，按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （2）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 【答案】（1）200人 （2）37.5 【解析】 【分析】（1）由年龄在内的频率计算求解； （2）由频率分布直方图的平均数计算公式计算求解. 【小问1详解】 由题可知组距为10，则，解得； 这500名中国AI大模型用户的年龄在内的频率为：， 所以这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为：人； 【小问2详解】 估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数如下， 为． 16. 为普及普洱本土特色产业与科创知识，普洱市科技馆开展“绿色科创体验周”科普活动，设置了两个活动方案，参观者可任选一个方案进行挑战，若挑战成功将获得一份纪念品． 方案一：准备4张“绿色食品知识卡”（涵盖普洱茶､咖啡､热带水果､特色农产品）和2张“生物医药知识卡”（涵盖中药材种植､生物制造产业），参观者从6张卡片中一次性随机抽取2张，如果两张卡片类型不同（即一张绿色食品知识卡､一张生物医药知识卡），则挑战成功． 方案二：回答3道关于普洱特色产业的问题，若至少答对1道题，则挑战成功． （1）求参观者在方案一中挑战成功的概率； （2）如果小明选择方案二，已知他每道题答对的概率均为，且每道题的回答相互独立．你觉得他的选择是否合理？请通过计算说明你的理由． 【答案】（1） （2） 小明的选择合理 【解析】 【分析】（1） 根据古典概型的概率公式计算挑战成功概率； （2）利用对立事件的概率关系求解方案二的成功概率，通过两方案概率比较判断选择的合理性. 【小问1详解】 记4张“绿色食品知识卡”分别为，记2张“生物医药知识卡”分别为. 则从6张卡片中一次性抽取2张，样本空间为Ω. 记参观者在方案一中挑战成功为事件， 则， 所以. 即方案一挑战成功的概率为 . 【小问2详解】 设小明选择方案二挑战成功为事件，其对立事件为3道题全部答错. 由已知得，每道题答错的概率为，且各题回答结果相互独立， 所以  . 所以.  又，， 即， 所以方案二挑战成功概率更高，因此小明的选择合理. 17. 如图，在中，．设点D是边上一点，满足． （1）记，用表示； （2）若，求． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可求； （2）利用正弦定理结合题设条件可得，再由（1）中的结论可求的长. 【小问1详解】 由题．在中，， 根据正弦定理可得 ． 【小问2详解】 在中，根据正弦定理可得，所以， 所以，可得． 又由（1）知，所以． . 18. 如图，四棱锥中，平面，，，E为的中点，点F在棱上，直线和直线相交． （1）求证： （2）若，，． （i）证明：平面； （ⅱ）求直线与平面所成的角． 【答案】（1）证明：直线和直线相交，故A，B，F，E四点共面， 四棱锥中，，平面， 平面，故平面， 因为平面平面，平面， 故． （2）（i）证明：，，故， 故， 所以，故， 因为平面，平面， 故，且，，平面， 故平面． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）证明线线平行可转化为线面平行，根据线面平行的性质进行证明，过一个平面的平行线的平面与这个平面的交线与这条直线平行，由此进行证明即可； （2）（i）根据题干中所给的线面垂直和线段长度，可利用线面垂直的性质以及勾股定理找到两条相交直线与垂直，根据线面垂直的判定定理证明即可； （ⅱ）先证明平面，可得是直线与平面所成的角，进而可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ⅱ）因为，E为的中点， 故F为的中点，且，故， 因为平面，平面， 故，且，，平面， 故平面， 故是直线与平面所成的角， 因为，， 所以，， 所以，即， 故直线与平面所成的角为． 19. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面，，分别为，的中点. （1）求证：； （2）在线段上是否存在一点使得平面，存在指出位置，不存在请说明理由. （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）当时平面，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再证明，即可得到平面，从而得证； （2）取的四等分点（靠近），取的四等分点（靠近），连接、、，即可得到、，从而得到平面平面，即可得解； （3）取的中点，连接交于点，过点作交于点，连接，即可证明为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得； 【小问1详解】 为正三角形，为中点， ， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，平面， ， 在正方形中，易知， ， 而， ， ， ，平面， 平面，平面， ． 【小问2详解】 存在，当时平面， 取的四等分点（靠近），取的四等分点（靠近），连接、、， 则，平面，平面，所以平面， 由，所以，所以， 又，，所以， 所以，平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面，平面，所以平面， 即当时平面. 【小问3详解】 取的中点，连接交于点，过点作交于点，连接， 则且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，所以平面，平面，所以， 又，平面，所以平面，平面， 所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以，又，所以，， 又，所以，又， ，，即，所以， 所以，所以， 故二面角的正弦值为. 【点睛】方法点睛：(1)求直线与平面所成的角的一般步骤： ①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算、要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． (2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $