吉林长春外国语学校2025-2026学年高一第二学期第三学程考试数学试题

**基本信息** 立足高一数学核心知识，融合数学文化与科技情境，通过分层设问考查数学眼光、思维与语言，如无人机观测（第5题）、数学文化竞赛统计（第16题）等真实问题设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数运算、统计方差、向量夹角、立体几何判定|多选题（9-11题）综合考查统计概率与空间想象，如第11题正方体异面直线与线面角| |填空题|3题/15分|单位向量坐标、身高概率估计、正四棱台外接球|第14题结合空间几何体与球的表面积，考查直观想象| |解答题|5题/77分|向量共线与夹角、统计分析、立体几何证明与线面角、解三角形、三棱锥二面角|第16题分层计算“良好”等级平均数与方差，体现数据观念；第19题递进考查几何证明与二面角正切值，培养逻辑推理|

长春外国语学校2025-2026学年第二学期第三学程考试高一年级 数学试卷 出题人 ：陈燕 审题人：尹璐 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条 形码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第I卷（选择题） 1、 单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．i是虚数单位，复数满足，则 （ ） A． B． C． D． 2．设一组样本数据的极差为，方差为，若数据的极差为，则数据的方差为 （     ） A．0.02 B． C．0.2 D．0.4 3．已知向量，，则与的夹角的余弦值为 （     ） A． B． C． D． 4．设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是 （      ） A．，，则 B．，， C．，，则 D．，，则 5．如图，某建筑物的高度，一架无人机（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为 （    ） A．200m B．150m C．100m D．50m 6．已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为 （     ） A． B． C． D． 7.在中，，，，则 （    ） A．30° B．45° C．135° D．45°或135° 8.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分） 9．下列说法正确的是 （     ） A．1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第60百分位数是6 B．已知一组数据2，3，5，x，8的平均数为5，则这组数据的方差是 C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D．若，，…，的平均值为2，则，，…，的平均值是7 10．抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，观察落地时朝上的面的点数，记随机事件“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数小于3”，“点数大于3”，则 （    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C．是必然事件 D．与相互独立 11．在棱长为1的正方体中，连结线段，下列说法正确的是 （      ） A．正方体的棱所在直线有6条与直线异面 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C．直线平面 D．点到平面的距离为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若向量为单位向量，且，，则向量的坐标是_____． 13．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别     人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是______． 14.在正四棱台中，，高为，则该正四棱台的外接球的表面积为_______________． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知平面向量 . (1)若与共线，求 ； (2)若与的夹角为钝角，求的取值范围. 16.（15分）为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数； (3)若规定成绩不低于80分为“良好”等级， 已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7， 成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 17.（15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点．  (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）在中，，其中角的对边分别为． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 19．（17分）如图，在三棱锥中，，，，．是的中点，是的中点，． (1)求证：平面； (2)若是的中点，在上，平面． （ⅰ）求的长； （ⅱ）求二面角的正切值． 长春外国语学校2025-2026学年第二学期第三学程考试高一年级 参考答案 1、 选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B D C B C B B C BD BCD ACD 三、填空题： 12. 或 13. 14. 四、解答题 15.【答案】（1） （2） 【详解】 （1）由与共线，可得，所以 2分 4分 6分 （2） 由与夹角是钝角，则且与不共线 8分 10分 所以的取值范围 13分 16.【答案】(1)，90 (2)86 (3)平均数为91，方差为22． 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1， 则，解得， 2分 估计样本中成绩不低于60分的人数为． 4分 （2）前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 所以成绩的上四分位数落在内，设其为， 则，解得， 即估计样本中成绩的上四分位数为86． 8分 （3）样本中成绩在内占成绩在内的比例为， 样本中成绩在内占成绩在内的比例为． 10分 设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为， 由分层随机抽样的平均数公式可得， 12分 由分层随机抽样的方差公式可得， 故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22． 15分 17.【答案】（1）证明见详解 （2） 【详解】 (1)证明：取的中点，连接， 因为点、分别是、的中点， 所以且，又因为且， 所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面． 6分 （2）过点作的垂线，设垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为底面是正方形，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，即为直线与平面所成角的平面角， 10分 设， 在中，即， 由（1）可知，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 15分 18.【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理，设． 原式可化为． 因为，所以． 所以由正弦定理可得， 4分 由余弦定理可得， 6分 又因为，所以． 8分 （2）由，得． 又为锐角三角形，所以． 由，可得． 10分 由正弦定理，． 14分 当时，， 16分 故． 17分 19.【答案】（1）答案见详解 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】 (1)证明：因，，则, 又因是的中点，则,且, 在中，，则, 又因是的中点，则, 因，则由可得, 因平面，故平面. 5分 （2）（ⅰ）因平面，在上，则平面， 因平面平面，则， 又因是的中点，则是的中点，故； 9分 （ⅱ）取的中点，连接，因是的中点，则，且， 在平面中，作于点，连接. 由（1）得平面，则平面，因面，则， 因平面，则平面， 又平面，则，故即二面角的平面角. 13分 连接，易得， 因平面，平面，则，则， 故，又， 由可得， 在中，由等面积可得， 故在中，， 则，即二面角的正切值为. 17分 第3页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $