精品解析： 浙江省杭州市拱墅区公益中学2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷

2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区公益中学九年级（上）开学数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下面四个图形，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　　） A. x≤－3 B. x＞3 C. x≥3 D. x=3 3. 若，则下列不等式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，OA，是的两条半径，且，点C在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 某校六一活动中，10位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的8个评分与原始的10个评分相比一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 6. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交CB于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝9，则△ABC的周长为（　　） A. 9 B. 18 C. 19 D. 20 7. 如图，的对角线交于点O，E是的中点，连结，若，则等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知二次函数．当自变量x取值在范围内时，最大值和最小值分别是（　　） A. 14， B. 14，7 C. 7， D. 14，2 9. 如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是 ( ) A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 10. 设反比例函数，当x＝p，q，r（）时，对应的函数值分别为P，Q，R，若，则必有（ ）． A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 已知线段a，b，c，d成比例线段，其中a=3cm，b=4cm，c=6cm，则d=_____cm； 12. 不透明袋子里装有仅颜色不同的 4 个白球和2个红球，从袋子中随机摸出一球，“摸出红球”的概率是 _____． 13. 一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是_________边形． 14. 二次函数的顶点为______． 15. 如图，在△ABC中，DEBC，AD=EC，BD=4，AE=3，则AB的长为 ___________． 16. 如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，．若，则_____度． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2）． 18. 为了解八年级各班男生引体向上情况，随机抽取八（1）班、八（2）班各名同学进行测试，其有效次数分别为：八（1）班：，，，，；八（2）班：，，，，．现从平均数、众数、中位数、方差四个统计量对两个班男生的测试数据做如下分析． 组别 平均数 众数 中位数 方差 八（1）班 八（2）班 根据以上信息，回答下列问题： （1）请直接写出，，的值． （2）如果男生引体向上有效次数次的成绩为满分，不考虑其他因素，请以这名同学的成绩为样本，估计八年级名男生引体向上成绩达到满分的人数． 19. 如图，中，D是上的一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 设二次函数（a，b是常数，），部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … （1）试判断该函数图象的开口方向． （2）根据你的解题经验，直接写出的解． （3）当时，求函数y的值． 21. 石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； （3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 22. 在直角坐标系中，设反比例函数与一次函数的图象都经过点A和点B，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求m的值和一次函数的表达式． （2）当时，直接写出x的取值范围． （3）把函数的图象向下平移n（）个单位后，与函数的图象交于点和，当时，求此时n及的值． 23. 如图，在矩形中，平分交于E，连结． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，若点F是边上的一点，若，连结交于G， ①猜想的度数，并说明理由； ②若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区公益中学九年级（上）开学数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下面四个图形，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合． 2. 要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　　） A. x≤－3 B. x＞3 C. x≥3 D. x=3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，即可求出结论． 【详解】解：由题意可得 解得： 故选C． 【点睛】此题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0，是解题关键． 3. 若，则下列不等式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：A、由不一定得到，说法错误，不符合题意； B、由可以得到，说法错误，不符合题意； C、由可以得到，则，说法正确，符合题意； D、由可以得到，则，说法错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键． 4. 如图，OA，是的两条半径，且，点C在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题考查圆周角定理，解题的关键是判断出，再利用圆周角定理求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 某校六一活动中，10位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的8个评分与原始的10个评分相比一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、方差、众数的意义即可求解． 【详解】解：根据题意，从10个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到8个有效评分． 8个有效评分与10个原始评分相比，中位数一定不发生变化，而平均数，方差，众数都与去掉的数据相关，会受到影响，所以平均数，众数与方差都可能产生变化． 故选：B． 【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． 6. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交CB于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝9，则△ABC的周长为（　　） A. 9 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再根据△ADC的周长为10可得AC＋BC=10，又由条件AB=9可得△ABC的周长． 【详解】解：∵△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交CB于点D，连接AD， ∴MN是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∵△ADC的周长为10， ∴， ∵AB＝9， ∴△ABC的周长为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题的关键是熟记线段垂直平分线的性质与作法和数形结合思想的应用． 7. 如图，的对角线交于点O，E是的中点，连结，若，则等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，再由勾股定理可得，然后根据三角形中位线定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键． 8. 已知二次函数．当自变量x取值在范围内时，最大值和最小值分别是（　　） A. 14， B. 14，7 C. 7， D. 14，2 【答案】A 【解析】 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，从而可得抛物线的开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴时，y取最小值为， ∵， ∴时，为时的函数最大值， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的最值．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9. 如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是 ( ) A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】连接AE,根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE,在直角△ECG中，根据勾股定理求出DE的长. 【详解】 连接AE， ∵AB=AD=AF,∠D=∠AFE=90°， 由折叠的性质得：Rt△ABG≌Rt△AFG， 在△AFE和△ADE中， ∵AE=AE，AD=AF，∠D=∠AFE， ∴Rt△AFE≌Rt△ADE， ∴EF=DE， 设DE=FE=x，则CG=3，EC=6−x. 在直角△ECG中，根据勾股定理，得： (6−x)2+9=(x+3)2， 解得x=2. 则DE=2. 【点睛】熟练掌握翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定与性质是本题的解题关键. 10. 设反比例函数，当x＝p，q，r（）时，对应的函数值分别为P，Q，R，若，则必有（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵a2＞0， ∴反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， 由题意可知，p＜0，0＜q＜r或p＜q＜r＜0， ∴P＜0＜R＜Q或0＞P＞Q＞R， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 已知线段a，b，c，d成比例线段，其中a=3cm，b=4cm，c=6cm，则d=_____cm； 【答案】8． 【解析】 【详解】根据题意得：a：b=c：d， ∵a=3cm，b=4cm，c=6cm， ∴3：4=6：d， ∴d=8cm． 考点：1．比例线段；2．比例的性质． 12. 不透明袋子里装有仅颜色不同的 4 个白球和2个红球，从袋子中随机摸出一球，“摸出红球”的概率是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：∵袋子中共有6个球，红球2个， ∴“摸出红球”的概率． 故答案为： 【点睛】本题考查随机事件的概率，属于基础题目，理解随机事件概率的求法是解题的关键． 13. 一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是_________边形． 【答案】四 【解析】 【分析】任何多边形的外角和都是，再结合多边形内角和公式，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得：， 解得：， 故这个多边形是四边形． 14. 二次函数的顶点为______． 【答案】（3，-6） 【解析】 【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】解∶ ， ∴二次函数的顶点为（3，-6）． 故答案为：（3，-6） 【点睛】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，掌握配方法把二次函数解析式的一般形式化为顶点式是解题的关键． 15. 如图，在△ABC中，DEBC，AD=EC，BD=4，AE=3，则AB的长为 ___________． 【答案】2+4 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例可得，代入可求得AD，利用线段的和差可得AB的长． 【详解】解：∵DEBC， ∴， ∵AD=EC， ∴=3×4=12， ∴AD=2， ∴AB=AD+BD=2+4． 故答案为：2+4． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键． 16. 如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，．若，则_____度． 【答案】18 【解析】 【分析】连接MD，设∠DAF=x，利用折叠与等腰三角形的性质，用x的代数式表示出∠ADC=90°，列出方程解方程即可． 【详解】连接MD，设∠DAF=x 根据矩形的基本性质可知AM=MD，AD∥BC，∠BCD=∠ADC=90° ∴∠MDA=∠DAF=x，∠ACB=∠DAC=x ∴∠DMF=2x ∵△DCE折叠得到△DFE ∴DF=CD=AB，DE⊥FC，∠FDE=∠CDE 又MF=AB ∴MF=DF ∴∠MDF=2x ∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∠EDC+∠FCD=90° ∴∠CDE=∠ACD=x ∴∠FDE=∠CDE=x ∴∠ADC=∠ADM+∠MDF+∠FDE+∠CDE=x+2x+x+x=5x=90° ∴x=18° 故∠DAF=18° 故答案为18． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，能够做出合适的辅助线用∠DAF表示出∠ADC是解题关键． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2）． 【答案】（1）x1=x2=-3； （2）x1=0，x2=4． 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）整理后，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴（x+3）2=0， ∴x1=x2=-3； 【小问2详解】 解：∵， 整理得：x2-4x=0， 则x（x-4）=0， 解得x1=0，x2=4． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18. 为了解八年级各班男生引体向上情况，随机抽取八（1）班、八（2）班各名同学进行测试，其有效次数分别为：八（1）班：，，，，；八（2）班：，，，，．现从平均数、众数、中位数、方差四个统计量对两个班男生的测试数据做如下分析． 组别 平均数 众数 中位数 方差 八（1）班 八（2）班 根据以上信息，回答下列问题： （1）请直接写出，，的值． （2）如果男生引体向上有效次数次的成绩为满分，不考虑其他因素，请以这名同学的成绩为样本，估计八年级名男生引体向上成绩达到满分的人数． 【答案】（1），，； （2）估计八年级名男生引体向上成绩达到满分的人数为人． 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数、平均数、方差的计算方法分别计算结果，得出答案； （2）用总人数乘以样本中八（1）班、八（2）班男生引体向上成绩达到满分的人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：八（1）班的测试数据中，的次数最多，因此八（1）班的众数是，， 将八（2）班的测试数据从小到大排列为，，，，，处在第位的数是，因此中位数是，即， 八（1）班的方差； 【小问2详解】 解：（人）． 答：估计八年级名男生引体向上成绩达到满分的人数为人． 19. 如图，中，D是上的一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合，即可得证； （2）利用相似三角形对应边对应成比例，列式计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键． 20. 设二次函数（a，b是常数，），部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … （1）试判断该函数图象的开口方向． （2）根据你的解题经验，直接写出的解． （3）当时，求函数y的值． 【答案】（1）向上 （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据即可直接判断该函数图象的开口方向向上； （2）由表格可求出该抛物线的对称轴为直线，从而可求出该抛物线与x轴的另一个交点坐标，进而可得出的解； （3）由抛物线的对称性可知当时，y的值与当时，y的值相等，进而得出答案． 【小问1详解】 ∵当时，；当时，；当时，， ∴该函数图象的开口方向向上； 【小问2详解】 ∵当时，；当时，， ∴该抛物线的对称轴为直线． 又∵当时，， ∴当时，， ∴的解为：； 【小问3详解】 ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y的值与当时，y的值相等． ∵当时，， ∴当时，函数y的值为5． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．由表格求出该二次函数的对称轴是解题关键． 21. 石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； （3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 【答案】（1） ， （2） 每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元 （3） 不可能 【解析】 【分析】（1）根据销售量=原销售量+降价增加的销售量，单件利润=原单件利润-降价金额，列出代数式； （2）根据总利润=单件利润×销售量列一元二次方程求解； （3）同样根据总利润关系列方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数解，即可得出结论． 【小问1详解】 解： 已知每件降价1元，多售出2件，降价元时，多售出件 原每天售出20件， 因此每天销售量为件 ，原单件利润为元， 降价元后，单件盈利为元． 【小问2详解】 根据总利润等于单件盈利乘销售量， 列方程得   整理得  因式分解得  解得  因此每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元． 【小问3详解】 假设平均每天赢利2000元， 列方程得   整理得  判别式得  因此该方程没有实数根，不存在满足条件的降价 所以平均每天赢利2000元不可能． 22. 在直角坐标系中，设反比例函数与一次函数的图象都经过点A和点B，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求m的值和一次函数的表达式． （2）当时，直接写出x的取值范围． （3）把函数的图象向下平移n（）个单位后，与函数的图象交于点和，当时，求此时n及的值． 【答案】（1）； （2）或 （3）； 【解析】 【分析】（1）由B的坐标代入，求得反比例函数的解析式，进而求得m的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的表达式； （2）根据图像即可求得； （3）根据反比例函数图像上点的坐标特征，求得，由y=2x+2-n过点（-l，-4)，即可求得n=4，根据反比例函数图像上点的坐标特征即可求得． 【小问1详解】 解：∵过点，把代入反比例函数得： ∴， ∴， ∴ 把点代入反比例函数得： ∴， ∴， ∴， 把、的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 观察图像，当时，的取值范围或； 【小问3详解】 依题意得：把点代入得，， ∴函数的图像向下平移个单位后得到，且过点， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴． ∴． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数的解析式，掌握函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与平移变换，是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，平分交于E，连结． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，若点F是边上的一点，若，连结交于G， ①猜想的度数，并说明理由； ②若，求的值． 【答案】（1） （2）①，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）由矩形，可得，由平分，可得，则是等腰直角三角形，，，由勾股定理得，，计算求解即可； （2）①如图1，连接，证明，则，证明是等腰直角三角形，则；②由①可知，， 由，，可得，由，可得，则，如图2，过D作于M，过A作于N，则，，，，，，可证平分，由，，可得，设，，则，，则，，由勾股定理得，，即，解得，或（舍去），根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得，； ∴； 【小问2详解】 ①解：，理由如下： 如图1，连接， 由（1）得：， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②解：由①可知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2，过D作于M，过A作于N， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， 设，，则，， ∴，， 由勾股定理得，，即，解得，或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $