第1章一元二次方程期末复习卷-2025-2026学年苏科版数学九年级上册

第1章一元二次方程期末复习卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 一、选择题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程 根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 3．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（　　） A．2 B． C．2或 D． 4．已知a，b是方程x2-3x-3=0的两根，则代数式2a3-6a2+b2+3b+1的值是（　　） A．-20 B．-24 C．22 D．20 5．一元二次方程配方后可化为（　　） A． B． C． D． 6． 某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是设每个枝干长出x个小分支，则x满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 7．把方程化为一般形式后是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在宽为，长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽，若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 9．对于一元二次方程a+bx+c=0（a≠0），有下列说法： ①若ac＜0，则方程有两个不相等的实数根； ②若a﹣b+c=0，则方程一定有一个根为﹣1； ③若方程a+bx+c=0（a≠0）没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若方程有两实数根为1，-2，则a+bx+c 分解因式得a(x+1)(x-2)； 其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 10．一元二次方程的解是　 　． 11．已知方程的两根分别为，则的值为　 　． 12．如果关于x的一元二次方程有解，那么系数a，b的符号关系是　 　． 13．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，则可列方程　 　． 14． 如图，小程的爸爸用一段 10m 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 5.5m）的矩形鸭舍，其面积为 ，在鸭舍侧面中间位置留一个 1m 宽的门（由其它材料制成），则 BC 长为　 　m. 15．我国明代数学著作《算学宝鉴》中记载有这样一个问题：“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺．两隅斜进，恰好方齐．请问三色，各该有几？”译文：有一座矩形门框，不知道其高度和宽度．如果拿支长竿横着过，门的宽度比长竿的长度少四尺；拿长竿竖着过，长竿的长度比门的高度多二尺；拿长竿沿门对角线斜着过，恰好通过．问门的高度、宽度及长竿的长度各是多少尺？设长竿的长度为尺，则　 　． 16． 欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根. 若利用以上方法解关于x的一元二次方程时，如果构造后的图形满足AD = 2BD，则m的值为　 　. 三、解答题 17．解下列方程： （1） （2） 18．如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度． 19．已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若是方程的两根，且，求的值 20．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边长为5． （1）试说明：方程必有两个不相等的实数根； （2）当k为何值时，是等腰三角形，求的周长． 21．“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地.据统计，2025年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为1.6万人次，第三天游客人数达到2.5万人次. （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为6元.根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把.若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把.若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得6300元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元? 22．定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②． （2）已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值． 23．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系：； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数m、n满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有m、n两个实数根。 请根据上述材料解决下面问题： （1）已知实数m、n满足、，求的值． （2）已知实数p、q满足、，且，求的值． （3）已知实数a、b、c满足、，求c的最大值． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】A 10．【答案】， 11．【答案】 12．【答案】ab≤0 13．【答案】 14．【答案】5 15．【答案】10 16．【答案】 17．【答案】（1）解： （x+4）2=0 （2）解： 移项得，， 因式分解得，（x-2）（2x-6）=0， ∴x-2=0或2x-6=0， 解得：x1=2，x2=3. 18．【答案】解：设道路宽为， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 经检验，是原方程的解，但，不符合题意，舍去； 答：道路的宽为． 19．【答案】（1）证明：根据题意可得：，，， ， 无论取何值，方程总有实数根； （2）解：，是方程的两根， ，， ， ， 解得，，． 20．【答案】（1）解： ， 故方程必有两个不相等的实数根 （2）解：，即 ， 由题意的两边，，第三边长为5， ∵是等腰三角形， ∴若，则，此时， 若，则，此时， 综上所述，的周长为或 21．【答案】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x， 根据题意得：1.6（1+x）2=2.5， 解得：（不符合题意，舍去）. 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为25%； （2）解：设每把扇子降价y元，则每把扇子的销售利润为（25-y-6）元，平均每天可售出（300+30y）把， 根据题意得：（25-y-6）（300+30y）=6300， 整理得： 解得： 又∵要尽可能地减少库存， ∴y=5. 答：每把扇子应降价5元. 22．【答案】（1）解：①，，， ， 不是“差1方程”， ②，，， ， ， ， 是“差1方程” （2）解：，，， 方程（是常数）是“差1方程”， 或， 或 23．【答案】（1）解：由题意得：m和n为的两个不相等实数根 （2）解：∵1−3q−2q2=0 ∴q≠0 ∴ ∵p2−3p−2=0，，pq≠1 ∴p和为x2−3x−2=0的两个不相等实数根 ∴， ∴ （3）解：∵a+b=，ab= ∴构造（c-1）x2+2cx+2+c=0，a和b为方程的两个实数根 ∴△=（2c）2-4（c-1）（2+c）≥0 ∴c≤2 ∴cmax=2 学科网（北京）股份有限公司 $