1.3 集合的基本运算 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，基础巩固与能力提升衔接紧密，从单一运算到综合应用，培养数学思维与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|并集、交集、补集运算及参数问题|教材改编题与基础题型结合，注重概念理解与基本运算| |能力提升练|子集关系、元素个数、容斥原理及新定义问题|综合题型与实际情境，深化逻辑推理与创新意识|

1.3　集合的基本运算 基础过关练 题组一　并集与交集的运算 1.(教材习题改编)集合M={x|-2<x≤4},N={x||x|-3<0},那么集合M∪N=(　　) A.{x|-3<x<3}　　　B.{x|-2<x≤4} C.{x|-3<x≤4}　　　D.{x|-2<x<3} 2.(2026广东广州大同中学期中)已知集合A={0,1,2,3},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=(　　) A.{0}　　B.{0,1}　　 C.{0,1,2}　　D.{0,1,2,3} 3.(2026上海川沙中学月考)满足{1,2,3}∪M={1,2,3,4}的集合M的个数为　　　　.  题组二　补集的运算及其与交集、并集的综合运算 4.(2026北京清华大学附属中学月考)已知全集U=Z,集合A={x∈Z|-2<x<2},B={-1,0,1,2},则(∁UA)∩B=(　　) A.{-1,2}　　B.{1}　　C.{0,1}　　D.{2} 5.(2026安徽C10教育联盟期中)如图,U是全集,集合A、B是集合U的两个子集,则图中阴影部分所表示的集合是(　　) A.A∩(∁UB) B.B∩(∁UA) C.(∁UA)∩(∁UB) D.∁U(A∩B) 6.(2026湖北水果湖高级中学月考)已知全集U=R,集合A={x||x|≤5},B={x|x>2},则A∪(∁UB)=(　　) A.{x|x≤5}　　B.{x|x<5} C.{x|x≤2或x≥5}　　D.{x|-5≤x≤2} 7.(2026陕西西安长安一中月考)已知全集U={x∈N*|x<9},(∁UA)∩B={1,6},A∩(∁UB)={2,3},∁U(A∪B)={5,7,8},则B=(　　) A.{2,3,4}　　B.{1,4,6} C.{4,5,7,8}　　D.{1,2,3,6} 题组三　利用集合的运算解决参数问题 8.(多选题)(2026河北沧衡名校联盟期中)已知集合A={0,1,2,3,4},B={x|x≤m},若集合A∩B中有三个元素,则实数m可以是(　　) A.2　　B.3　　C.　　D. 9.(2026四川成都玉林中学期中)已知集合A={2a-1,a2,0},B={1-a,a-5,9},若A∩B={9},则实数a的值为(　　) A.5或-3　　B.±3　　C.5　　D.-3 10.(多选题)(2026福建龙岩一中月考)设集合A={x|x2-2x-8=0},集合B={x|mx-4=0},若(∁RA)∩B=⌀,则实数m的值可以为(　　) A.-2　　B.-1　　C.0　　D.1 11.(2026吉林、黑龙江两省十校期中联考)已知全集U=R,集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1≤x≤4m-2}. (1)若m=2,求A∩B和A∪(∁UB); (2)若A∪B=A,求m的取值范围. 能力提升练 题组一　集合的基本运算 1.(2026江西名校期中联考)设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},则使(∁UA)⊆(∁UB)成立的集合B至多有(　　) A.3个　　B.4个　　C.7个　　D.8个 2.(2026湖南长沙雅礼中学月考)已知全集U=N,集合A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=6k,k∈N},则正确的关系是(　　) A.A∪B=B　　B.B∩(∁UA)=⌀ C.B∪(∁UA)=U　　D.A∩(∁UB)=A 3.(2025江苏南通海安实验中学月考)设集合A={1,2,3,4},B={1,2},若C⊆A且B∩C≠⌀,则所有满足条件的集合C的个数为　　　　.  4.(2026河南新乡第一中学期中)用card(M)表示有限集合M所含元素的个数,并规定card(⌀)=0.已知集合A,B满足A∪B={1,2,3,4,5,6,7},A∩B=⌀,若card(A)∉A,card(B)∉B,则满足条件的所有不同集合A的个数为　　　　.  题组二　集合的基本运算的应用 5.(2026湖南邵阳振华中学月考)设全集U=R,集合A={x|x≤1或x≥3},集合B={x|k<x<k+1,k∈R},且B∩(∁UA)≠⌀,则(　　) A.k<0或k>3　　B.2<k<3　　 C.0<k<3　　D.-1<k<3 6.(教材深研拓展)某学校举办运动会,比赛项目包括田径、游泳、球类.经统计,高一年级有57人参加田径比赛,有11人参加游泳比赛,有62人参加球类比赛.参加球类比赛的学生中有14人参加田径比赛,有4人参加游泳比赛;同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人;同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的学生有(　　) A.98人　　B.104人　　C.106人　　D.110人 7.(多选题)(2026山东枣庄滕州二中月考)设集合M={x|(x-a)(x-3)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则下列说法错误的是(　　) A.若M∪N有4个元素,则M∩N≠⌀　　 B.若M∩N≠⌀,则M∪N有4个元素 C.若M∪N={1,3,4},则M∩N≠⌀　　 D.若M∩N≠⌀,则M∪N={1,3,4} 8.(2026湖北武汉四中月考)已知集合A={x|0<x<2},B={x|-1<x<1},C={x|mx+1>0},若(A∪B)⊆C,则实数m的取值范围为　　　　.  9.(2026江苏南京二十九中、盐城中学期中联考)已知集合M={x|x2+px-2=0},N={x|x2-2x+q=0}. (1)若M∪N={-1,0,2},则实数p,q的值分别为　　　　;  (2)若p=1,N⊆M,则实数q的取值范围为　　　　.  10.对于给定的非空集合A,定义集合A+={x|x=|a+b|,a∈A,b∈A},A-={x|x=|a-b|,a∈A,b∈A},当A+∩A-=⌀时,称A具有孪生性质. (1)判断集合A={0,4},B={1,5,6}是否具有孪生性质,请说明理由; (2)设集合C={x|n≤x≤2 024,x∈N},n∈N且n≤2 024,若C具有孪生性质,求n的最小值; (3)设集合D={x1,x2,x3,x4},x1<x2<x3<x4,若D-=D,求证:x1+x4=x2+x3. 答案 1.3　集合的基本运算 基础过关练 1.C　易得N={x||x|-3<0}={x|-3<x<3},因为M={x|-2<x≤4},所以M∪N={x|-3<x≤4}. 2.B　集合A={0,1,2,3},所以B={x|x=n2,n∈A}={0,1,4,9},所以A∩B={0,1}. 3.答案　8 解析　由于{1,2,3}∪M={1,2,3,4}, 所以4∈M,设集合{1,2,3}的子集为A, 则M={4}∪A,由于集合{1,2,3}的子集有23=8个, 所以满足条件的集合M的个数为8. 4.D　由题可知A={x∈Z|-2<x<2}={-1,0,1},∁UA={x∈Z|x∉A}, 所以(∁UA)∩B={2}. 5.B　题图中阴影部分所表示的集合中任意元素x必须满足:x∉A且x∈B,即x∈∁UA且x∈B,于是得x∈B∩(∁UA), 所以题图中阴影部分所表示的集合是B∩(∁UA). 6.A　依题意,A={x|-5≤x≤5},∁UB={x|x≤2},故A∪(∁UB)={x|x≤5}. 7.B　易知U={1,2,3,4,5,6,7,8},根据题意作出Venn图,如图,可知B={1,4,6}. 8.ACD　若集合A∩B中有三个元素,则A∩B={0,1,2},可得2≤m<3, 结合选项,可得A,C,D正确,B不正确. 9.D　因为A∩B={9},所以9∈A,所以2a-1=9或a2=9. 若2a-1=9,则a=5,此时A={9,25,0},B={-4,0,9},故A∩B={0,9},不满足题意. 若a2=9,则a=3或a=-3, 当a=3时,1-a=-2,a-5=-2,不满足集合中元素的互异性,故舍去; 当a=-3时,A={-7,9,0},B={4,-8,9},此时A∩B={9},满足题意. 综上,a=-3. 10.ACD　由(∁RA)∩B=⌀,知B⊆A, 易得A={x|x2-2x-8=0}={-2,4}. 当B=⌀时,m=0,满足B⊆A; 当B≠⌀时,m≠0,则B=xx=,由B⊆A可得=-2或=4,解得m=-2或m=1. 综上,m的值为0或-2或1. 11.解析　(1)当m=2时,B={x|3≤x≤6},所以A∩B={x|3≤x≤4},∁UB={x|x<3或x>6},A∪(∁UB)={x|x≤4或x>6}. (2)由A∪B=A,得B⊆A, 当B=⌀时,满足B⊆A,此时2m-1>4m-2,得m<; 当B≠⌀时,由B⊆A可得解得≤m≤. 综上,m的取值范围是mm≤. 能力提升练 1.D　由已知得∁UA={4,5}, 则(∁UA)⊆(∁UB)即{4,5}⊆(∁UB), 可知4,5∈(∁UB),即4,5∉B, 所以B=⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},共有8种可能. 2.B　对于A={x|x=3k,k∈N},当k=2n,n∈N时,A={x|x=6n,n∈N}, 当k=2n+1,n∈N时,A={x|x=6n+3,n∈N},所以B⫋A,所以A∪B=A,B∩(∁UA)=⌀,B∪(∁UA)≠U,A∩(∁UB)≠A,故B正确,A,C,D错误. 3.答案　12 解析　由题意得集合C是A的子集,且与B的交集不为空集,集合A的子集有24=16个. A的子集中与B的交集为空集的集合是{3,4}的子集,有22=4个,故满足题意的集合C的个数为16-4=12. 4.答案　32 解析　当A=⌀时,B={1,2,3,4,5,6,7},则card(A)=0∉A,card(B)=7∈B,与条件矛盾,所以A≠⌀,同理B≠⌀. ①若A中有一个元素,B中有六个元素,则1∉A,6∉B,此时A={6},B={1,2,3,4,5,7},共1种; ②若A中有两个元素,B中有五个元素,则2∉A,5∉B,所以5∈A,2∈B, 所以A={1,5}或{3,5}或{4,5}或{6,5}或{7,5}(由题知集合A,B互为补集,若A确定,则B也确定,故不用具体列出B),共5个; ③若A中有三个元素,B中有四个元素,则3∉A,4∉B,所以4∈A,3∈B, 所以A={1,2,4},{1,4,5},{1,4,6},{1,4,7},{2,4,5},{2,4,6},{2,4,7},{4,5,6},{4,5,7},{4,6,7},共10个(另解:全集共7个元素,除去2个,还有5个,从5个元素中选2个,共10种情况); ④当A中有四个元素,B中有三个元素时,与③同理,可得不同集合A有10个(与③相比,集合A、B的条件正好相反,故④中集合A与③中集合B一致); ⑤当A中有五个元素,B中有两个元素时,与②同理,可得不同集合A有5个; ⑥当A中有六个元素,B中有一个元素时,与①同理,可得不同集合A有1个. 综上所述,满足条件的所有不同集合A的个数为1+5+10+10+5+1=32. 5.C　∵集合A={x|x≤1或x≥3}, ∴∁UA={x|1<x<3}, 若B∩(∁UA)=⌀(利用补集思想,从对立面入手), 则k+1≤1或k≥3,即k≤0或k≥3, 又B∩(∁UA)≠⌀,所以0<k<3. 6.C　设集合A,B,C分别表示参加田径、游泳、球类比赛的学生. 解法一:作出Venn图,由图可得高一年级参加比赛的学生人数为46+37+1+12+2+6+2=106. 解法二:card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)=57+11+62-8-14-4+2=106. 7.ABC　N={x|(x-4)(x-1)=0}={1,4},若M∪N有4个元素,则集合M={x|(x-a)(x-3)=0}={a,3},且a∉{1,3,4},∴M∩N=⌀,故A中说法错误; 若M∩N≠⌀,则a∈{1,4},∴M∪N={1,3,4},∴M∪N有3个元素,故B中说法错误,D中说法正确; 当a=3时,满足M∪N={1,3,4},但M∩N=⌀,故C中说法错误. 8.答案　 解析　易得A∪B={x|-1<x<2}. ①当m<0时,集合C=, 若(A∪B)⊆C, 则-≥2,解得-≤m<0. ②当m=0时,集合C=R,满足题意. ③当m>0时,集合C=, 若(A∪B)⊆C, 则-≤-1,解得0<m≤1. 综上所述,实数m的取值范围是. 9.答案　(1)-1,0　(2){q|q≥1} 解析　(1)由题可知0∉M(将x=0代入方程x2+px-2=0,得-2=0,等式不成立), 所以0∈N,则02-2×0+q=0,解得q=0,则N={x|x2-2x=0}={0,2}, 因此-1∈M,则(-1)2+p·(-1)-2=0,解得p=-1,则M={x|x2-x-2=0}={-1,2},此时M∪N={-1,0,2},符合题意,故p=-1,q=0. (2)当p=1时,M={x|x2+x-2=0}={-2,1}, 由N⊆M,得N=⌀或N={-2}或N={1}或N={-2,1}. 当N=⌀时,Δ=4-4q<0,解得q>1; 当N为单元素集合时,Δ=4-4q=0,解得q=1,此时N={1},符合题意; 当N={-2,1}时,无解. 所以实数q的取值范围是{q|q≥1}. 10.解析　(1)A不具有孪生性质,B具有孪生性质.理由如下:由题意得A+={0,4,8},A-={0,4},B+={2,6,7,10,11,12},B-={0,1,4,5}, 故A+∩A-={0,4}≠⌀,B+∩B-=⌀(根据新定义直接验证,注意计算绝对值时要考虑全面),所以A不具有孪生性质,B具有孪生性质. (2)由题意得C-={0,1,2,…,2 024-n},C+={2n,2n+1,…,4 048}, 易知C+∩C-=⌀,所以2 024-n<2n,得n>, 所以<n≤2 024,n∈N,所以n的最小值是675. (3)证明:因为D={x1,x2,x3,x4},x1<x2<x3<x4, 所以0,x2-x1,x3-x1,x4-x1,x3-x2,x4-x2,x4-x3都属于集合D-, 又0<x2-x1<x3-x1<x4-x1,D-=D,所以D-={0,x2-x1,x3-x1,x4-x1}(集合D中有4个元素,故选一定不相等的4个值即可), 又0<x3-x2<x4-x2<x4-x1,所以x4-x2=x3-x1,所以x1+x4=x2+x3. 7 学科网（北京）股份有限公司 $