课时作业8 全称量词与存在量词-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦“全称量词与存在量词”，通过基础识别、综合应用到参数探究的三阶分层设计，系统巩固量词命题的概念理解与逻辑推理，培养符号意识与数学思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|量词命题识别与真假判断|以选择1-2题、填空11题直接考查全称/存在命题的辨析及简单真假判断，强化符号表示能力| |中档层|量词命题与集合、函数结合|通过选择3-8题、填空12-14题，结合集合关系、二次函数性质判断命题真假，培养推理意识| |提升层|含参数的量词命题应用|以选择9-10题、填空15题及解答17-18题，探究参数范围问题，发展逻辑推理与问题解决能力|

课时作业8　全称量词与存在量词 一、选择题 1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．∃x>1，x2－2x－3＝0 B．若2x为偶数，则x∈N C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 3．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　) A.∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q 4．(多选)下列命题中是真命题的是(　　) A．∀x∈R，2x2－3x＋4＞0 B．∀x∈{1，－1，0}，2x＋1＞0 C．∃x∈N，使≤x D．不存在x∈N*，使x为29的约数 5．下列命题为真命题的是(　　) A．存在x∈Q，使方程x－2＝0有解 B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0 C．有些整数只有两个正因数 D．所有的质数都是奇数 6．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是(　　) A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0 B．菱形的两条对角线相等 C．∃x∈R，＝x D．所有的等边三角形都相似 7．有下列四个命题，其中真命题是(　　) A．∀n∈R，n2≥n B．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝m C．∀n∈R，∃m∈R，m2<n D．∀n∈R，n2<n 8．下列命题中，是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＋2>0 B．∃x∈R，x2＋x＝－2 C．∀x∈R，x2－x＋>0 D．∃x∈R，x2＋2x＋2<0 9．(多选题)下列命题是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的有(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3成立 B．对有些x∈R，使得x2>3成立 C．任选一个x∈R，都有x2>3成立 D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立 10．“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5 2、 填空题 11．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用符号表示为________． 12．下列命题： ①存在x<0，使|x|>x； ②对于一切x<0，都有|x|>x； ③不存在实数x，使x2＋x＋1<0； ④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝∅. 其中，所有正确命题的序号为________． 13．若一次函数y＝kx＋2(x∈R)的图象恒过第三象限，则实数k的取值范围为________． 14．对每一个x1∈R，x2∈R，且x1<x2，都有x<x是 (填“全称量词”或“存在量词”)命题，是假(填“真”或“假”)命题． 15．已知命题p：∃x∈R，ax2＋2x＋1≤0是真命题，则实数a的取值范围是 . 三、解答题 16．用符号“∀”或“∃”改写下面的命题，并判断真假． (1)实数的平方大于或等于0； (2)存在实数x，y，使2x－y＋1<0成立； (3)直角三角形满足勾股定理． 17．若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，求实数a的取值范围． 18．已知命题p：“至少存在一个实数x∈{x|1≤x≤2}，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，求参数a的取值范围． 课时作业8　全称量词与存在量词 （答案） 一、选择题 1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．∃x>1，x2－2x－3＝0 B．若2x为偶数，则x∈N C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 解析：对于A，是存在量词命题，故A错误；对于B，是假命题，故B错误； 对于C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确； 对于D，是真命题，但不是全称量词命题，故D错误． 答案：C 2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题且是假命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．故选B. 答案：B 3．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　) A.∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q 解析：∵P∩Q＝P，∴P⊆Q，∴∀x∉Q，有x∉P，故B正确． 答案：B 4．(多选)下列命题中是真命题的是(　　) A．∀x∈R，2x2－3x＋4＞0 B．∀x∈{1，－1，0}，2x＋1＞0 C．∃x∈N，使≤x D．不存在x∈N*，使x为29的约数 解析：∀x∈R，2x2－3x＋4＞0，因为Δ＝(－3)2－4×2×4＜0，故A正确；∀x∈{1，－1，0}，2x＋1＞0，若x＝－1，则2x＋1＝－1＜0，故B错误；∃x∈N，使≤x，取x＝4∈N，有≤4成立，故C正确；1，29都是29的约数，故D错误．故选AC. 答案：AC 5．下列命题为真命题的是(　　) A．存在x∈Q，使方程x－2＝0有解 B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0 C．有些整数只有两个正因数 D．所有的质数都是奇数 解析：x－2＝0⇒x＝∉Q，故A错误；因为x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，故B错误；因为2＝1×2，故C正确；2是质数，但2不是奇数，故D错误．故选C. 答案：C 6．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是(　　) A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0 B．菱形的两条对角线相等 C．∃x∈R，＝x D．所有的等边三角形都相似 解析：A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以A是假命题．B在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是存在量词命题．故选D. 7．有下列四个命题，其中真命题是(　　) A．∀n∈R，n2≥n B．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝m C．∀n∈R，∃m∈R，m2<n D．∀n∈R，n2<n 解析：对于选项A，令n＝即可验证其不正确；对于选项C、选项D，令n＝－1，即可验证其均不正确，故选B. 8．下列命题中，是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＋2>0 B．∃x∈R，x2＋x＝－2 C．∀x∈R，x2－x＋>0 D．∃x∈R，x2＋2x＋2<0 解析：对于A选项：∀x∈R，x2＋2>0恒成立，A正确；对于B选项：因为x2＋x＋2＝2＋>0恒成立，所以不存在x∈R，使x2＋x＝－2，B错误；对于C选项：因为x2－x＋＝2，存在x＝，使x2－x＋＝0，C错误；对于D选项：∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0恒成立，所以不存在x∈R，使x2＋2x＋2<0，D错误． 故选A. 9．(多选题)下列命题是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的有(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3成立 B．对有些x∈R，使得x2>3成立 C．任选一个x∈R，都有x2>3成立 D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立 解析：C选项是全称量词命题，A，B，D选项符合题意．故选ABD. 10．“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5 解析：“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题， 可化为∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立， 即只需a≥(x2)max＝4， 即“∀x∈{x|1≤x≤2}， x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4， 而要找一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选项可知C符合题意．故选C. 3、 填空题 11．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用符号表示为________． 解析：命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是存在量词命题，用符号表示为：“∃x，y∈R，x＋y＞1”． 答案：存在量词命题　∃x，y∈R，x＋y＞1 12．下列命题： ①存在x<0，使|x|>x； ②对于一切x<0，都有|x|>x； ③不存在实数x，使x2＋x＋1<0； ④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝∅. 其中，所有正确命题的序号为________． 解析：命题①②显然为真命题；③由于对于∀x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0恒成立，故③为真命题；已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1，2，3时，6∈(A∩B)，故④为假命题． 答案：①②③ 13．若一次函数y＝kx＋2(x∈R)的图象恒过第三象限，则实数k的取值范围为________． 解析：一次函数y＝kx＋2的图象过点(0，2)，若恒过第三象限，则k>0. 答案：{k|k>0} 14．对每一个x1∈R，x2∈R，且x1<x2，都有x<x是 (填“全称量词”或“存在量词”)命题，是假(填“真”或“假”)命题． 解析：令x1＝－1，x2＝0. 答案：全称量词 15．已知命题p：∃x∈R，ax2＋2x＋1≤0是真命题，则实数a的取值范围是 . 解析：当a<0时，y＝ax2＋2x＋1开口向下， 必然存在x使ax2＋2x＋1≤0；当a＝0时， 原不等式为2x＋1≤0， 解得x≤－； 当a>0时，令Δ＝4－4a≥0，得a≤1. 故a的取值范围为a≤1. 答案：a≤1. 三、解答题 16．用符号“∀”或“∃”改写下面的命题，并判断真假． (1)实数的平方大于或等于0； (2)存在实数x，y，使2x－y＋1<0成立； (3)直角三角形满足勾股定理． 解：(1)是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”． 改写后命题为∀x∈R，x2≥0，是真命题． (2)改写后命题为∃x∈R，y∈R， 使得2x－y＋1<0，是真命题． 如x＝0，y＝2时， 2x－y＋1＝0－2＋1＝－1<0成立． (3)是全称量词命题，所有直角三角形都满足勾股定理． 改写后命题为∀Rt△ABC，a，b为直角边长，c为斜边长，都有a2＋b2＝c2，是真命题． 17．若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，求实数a的取值范围． 解：若x>0，由|x|>ax得a<＝1， 若x<0，由|x|>ax得a>＝－1， 若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax， 则实数a的取值范围是－1<a<1. 18．已知命题p：“至少存在一个实数x∈{x|1≤x≤2}，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，求参数a的取值范围． 解：由题意知，x2＋2ax＋2－a>0在{x|1≤x≤2}上有解，令y＝x2＋2ax＋2－a，则只需在x＝1时，y>0或x＝2时，y>0即可，即1＋2a＋2－a>0，或4＋4a＋2－a>0. 整理得a>－3或a>－2.即a>－3. 故参数a的取值范围为{a|a>－3}． 学科网（北京）股份有限公司 $