1.4.1 充分条件与必要条件 1.4.2 充要条件 同步练--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦充分条件与必要条件，以“判定-探究证明-应用”三级题组分层，通过基础辨析、逻辑推理到综合应用的递进路径，强化概念理解与数学思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |判定|充分、必要、充要条件概念辨析|结合不等式、集合等情境，通过单选、多选题夯实基础，培养抽象能力| |探究与证明|充要条件的证明、必要条件的探究|设置电路图示、教材改编证明题，发展推理意识与数学表达能力| |应用|结合集合、方程的综合问题|通过参数范围求解、集合关系分析，提升数学应用与问题解决能力|

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件　1.4.2　充要条件 基础过关练 题组一　充分条件、必要条件与充要条件的判定 1.(2026浙江宁波荣安实验中学月考)已知p:-3<x≤1,q:-3<x<0,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2026四川达州期中)太阳系是银河系的一部分,而银河系又是宇宙中的一个星系,太阳系内与太阳系外均存在行星,则“行星M属于银河系”是“行星M属于太阳系”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(多选题)(2026福建福州期中)下列说法正确的是(　　) A.“x<3”是“x<2”的充分不必要条件 B.“xy为无理数”是“x,y都为无理数”的必要不充分条件 C.“x∈A”是“x∈(A∪B)”的充分不必要条件 D.设a,b,c∈R,则“a=b=c”是“a2+b2+c2=ab+ac+bc”的充要条件 4.(2026河南安阳第一中学期中)“|a|+=0”是“a2+b2=0”的(　　) A.必要不充分条件　　B.充分不必要条件 C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件 5.(2026福建厦门第一中学月考)已知实数x,y,则“x>y”是“(x-y)(x+y)2≥0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(2026天津南开月考)“a≤”是“一元二次方程ax2-x+1=0有实数根”的(　　) A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件 C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件 7.(2026辽宁东北育才学校月考)对于实数x,用[x]表示不超过x的最大整数,例如[1.6]=1,[-2.1]=-3,那么“[x]=[y]”是“|x-y|<1”的(　　) A.必要不充分条件　　B.充分不必要条件 C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件 题组二　充分条件、必要条件与充要条件的探究与证明 8.(2026江苏徐州第三十七中学期中)设x,y∈R,则(x-1)(y-1)≠0的充要条件是(　　) A.x≠1　　B.y≠1 C.x≠1且y≠1　　D.x≠1或y≠1 9.(多选题)(2026安徽马鞍山第二十二中学期中)下列条件中,是“x+1>0”成立的必要条件的是(　　) A.x>2　　B.x>-2　　C.x>-4　　D.x>0 10.(多选题)(2026安徽阜阳田家炳实验中学月考)“-3<x<2”的一个必要不充分条件可以是(　　) A.x>-3　　B.0<x<1 C.-3<x<3　　D.x<1 11.设计如图所示的四个电路图,条件p:开关S闭合;条件q:灯泡L亮,则符合p是q的充分不必要条件的电路图是　　　　.(填序号)  　　 　　 12.(教材习题改编)已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 题组三　充分条件、必要条件与充要条件的应用 13.(2026江苏南京金陵中学期中)若“x>λ”是“x>2或x<-1”的充分不必要条件,则实数λ的取值范围为(　　) A.λ≥2　　B.λ≥-1　　 C.λ<-1　　D.λ≤-1 14.(2026河北沧州期中联考)若“x≤5”是“x<a”的必要不充分条件,则a的取值范围是　　　.  15.(2026陕西渭南期中)已知命题p:“方程ax2+2x+1=0至少有一个解”,若p的一个必要不充分条件为“a≤m+1”,则实数m的取值范围是　　　　　.  16.(2026重庆名校联盟期中)已知集合A={x|2<x<4}和集合B={x|2m<x<1-m,m∈R}. (1)若A∩B=⌀,求实数m的取值范围; (2)已知p:x∈A,q:x∈B,若q是p的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 17.(2026广东深圳实验学校月考)已知集合A={x|x2-3x+2=0},非空集合B={x|2ax2-3(a2+1)x+4=0}. (1)若A∩B={2},求a的取值集合; (2)若x∈A是x∈B的必要条件,求a的取值集合. 答案 1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 1.4.2　充要条件 基础过关练 1.B　“-3<x≤1”无法推出“-3<x<0”,“-3<x<0”可以推出“-3<x≤1”,故p是q的必要不充分条件. 2.B　若行星M属于银河系,则行星M不一定属于太阳系; 若行星M属于太阳系,则行星M一定属于银河系, 故“行星M属于银河系”是“行星M属于太阳系”的必要不充分条件. 3.CD　对于A,令x=2.5,满足x<3,但x>2,所以充分性不成立; 若x<2,则一定有x<3,所以必要性成立, 所以“x<3”是“x<2”的必要不充分条件,故A错误. 对于B,令x=1,y=,则xy=,为无理数,但x为有理数,故充分性不成立; 令x=y=,则xy=2,所以必要性不成立, 所以“xy为无理数”是“x,y都为无理数”的既不充分也不必要条件,故B错误. 对于C,因为A⊆(A∪B),所以x∈A⇒x∈(A∪B),充分性成立; 当x∈(A∪B)时,不一定有x∈A,还可能x∈B,但x∉A,故x∈(A∪B)推不出x∈A,必要性不成立, 所以“x∈A”是“x∈(A∪B)”的充分不必要条件,故C正确. 对于D,由a2+b2+c2=ab+ac+bc,两边同乘2并整理,得(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则a=b=c,故“a=b=c”是“a2+b2+c2=ab+ac+bc”的充要条件,故D正确. 4.C　因为|a|≥0,≥0, 所以|a|+=0⇔a=b=0, 又a2+b2=0⇔a=b=0, 所以|a|+=0⇔a2+b2=0, 故“|a|+=0”是“a2+b2=0”的充要条件. 5.A　由x>y,得x-y>0,(x+y)2≥0,所以(x-y)(x+y)2≥0,因此由x>y可以推出(x-y)(x+y)2≥0,充分性成立. 取x=1,y=1,满足(x-y)(x+y)2≥0, 但此时x=y,不满足x>y,所以(x-y)(x+y)2≥0不能推出x>y,必要性不成立. 因此“x>y”是“(x-y)(x+y)2≥0”的充分不必要条件. 6.B　若一元二次方程ax2-x+1=0有实数根(易错提醒:条件明确为一元二次方程),则解得a≤且a≠0. 因为“a≤”无法推出“a≤且a≠0”,“a≤且a≠0”可以推出“a≤”, 所以“a≤”是“一元二次方程ax2-x+1=0有实数根”的必要不充分条件. 7.B　设[x]=[y]=a,则a≤x<a+1,a≤y<a+1,所以-a-1<-y≤-a,所以-1<x-y<1,即|x-y|<1,充分性成立; 取x=0.5,y=1.2,满足|x-y|<1,但[x]=0,[y]=1,[x]≠[y],必要性不成立. 所以“[x]=[y]”是“|x-y|<1”的充分不必要条件. 8.C　(x-1)(y-1)≠0等价于即x≠1且y≠1. 9.BC　设M={x|x+1>0}={x|x>-1},选项对应的集合为N,由题知M⊆N,故选项B,C符合. 10.AC　设M={x|-3<x<2},选项对应的集合为N, 因为题中所求的是“-3<x<2”的一个必要不充分条件,所以M是N的真子集, 因为{x|-3<x<2}⫋{x|x>-3},{x|-3<x<2}⫋{x|-3<x<3}, 所以选项A,C符合. 11.答案　(1) 解析　题图(1)中,开关S闭合则灯泡L亮,反之,灯泡L亮不一定有开关S闭合,∴p⇒q,但q⇒/p,∴p是q的充分不必要条件. 题图(2)中,开关S与灯泡L串联, ∴p⇔q,∴p是q的充要条件. 题图(3)中,开关S,S1与灯泡L串联,∴p⇒/q,q⇒p,∴p是q的必要不充分条件. 题图(4)中,开关S闭合则灯泡L亮,灯泡L亮则开关S闭合,∴p⇔q,∴p是q的充要条件. 12. 　　有关充要条件的证明,要从两个方面考虑,即充分性和必要性,缺一不可.“a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0”即“a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件”,所以充分性是由“a3+b3+ab-a2-b2=0”得到“a+b=1”,必要性是由“a+b=1”得到“a3+b3+ab-a2-b2=0”.解题时不能将充分性与必要性弄反. 证明　必要性:因为a+b=1,所以a+b-1=0, 所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0(立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)),必要性成立; 充分性:因为a3+b3+ab-a2-b2=0, 所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0, 又ab≠0,所以a≠0且b≠0, 则a2-ab+b2=+b2>0, 所以a+b-1=0,即a+b=1,充分性成立. 综上可得,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 13.A　由题意可知{x|x>λ}是{x|x>2或x<-1}的真子集,所以λ≥2. 14.答案　{a|a≤5} 解析　因为“x≤5”是“x<a”的必要不充分条件, 所以{x|x<a}是{x|x≤5}的真子集, 所以a≤5,即a的取值范围是{a|a≤5}. 15.答案　{m|m>0} 解析　对于命题p:“方程ax2+2x+1=0至少有一个解”, 若a=0,则方程为2x+1=0,解得x=-,符合题意; 若a≠0,则Δ=4-4a≥0,解得a≤1且a≠0. 综上所述,a≤1. 由p的一个必要不充分条件为“a≤m+1”,可知集合{a|a≤1}是集合{a|a≤m+1}的真子集, 则m+1>1,解得m>0, 所以实数m的取值范围是{m|m>0}. 16.解析　(1)①当B=⌀时,满足A∩B=⌀,此时2m≥1-m,解得m≥; ②当B≠⌀时,若A∩B=⌀, 则需或 解得-1≤m<. 综上,实数m的取值范围为{m|m≥-1}. (2)∵q是p的必要不充分条件, ∴A⫋B, 则或 解得m≤-3, 故实数m的取值范围为{m|m≤-3}. 17.解析　(1)由x2-3x+2=0得(x-2)(x-1)=0,解得x=2或x=1,所以A={1,2}. 因为A∩B={2},所以2∈B且1∉B, 所以8a-6(a2+1)+4=0,即(3a-1)(a-1)=0,解得a=或a=1, 当a=1时,2ax2-3(a2+1)x+4=0为2x2-6x+4=0,化简得x2-3x+2=0,解得x=1或x=2,即B={1,2},不符合题意,舍去; 当a=时,2ax2-3(a2+1)x+4=0为x2-x+4=0,化简得x2-5x+6=0,解得x=2或x=3,即B={2,3},符合题意. 故a的取值集合为. (2)若x∈A是x∈B的必要条件,则B⊆A, 又B≠⌀,所以B={1}或{2}或{1,2}. ①由(1)可知,当B={1,2}时,a=1. ②当B={1}时, 有无解; ③当B={2}时,有无解. 综上所述,a的取值集合为{1}. 7 学科网（北京）股份有限公司 $