精品解析：湖南省衡阳市衡南县北斗星中学2021-2022学年九年级下学期教学质量检测数学模拟卷二　

九年级数学模拟测试（二） 一、选择题（本大题共10道小题，每题4分，满分40分） 1. 下列四个命题中只有一个是正确的，则正确的命题的选项为（ ） A. 若，则 B. C. 若为锐角且，则 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，实数大小比较，锐角三角函数性质，幂的运算性质，逐个验证各选项即可得到结果． 【详解】解：对选项A：∵，成立需满足且， ∴，与命题中不符，A错误； 对选项B：∵， 又∵，， 又∵，，且， ∴，则，即， ∴，即， ∴，B错误； 对选项C：∵锐角的余弦值随角度增大而减小，且， ∴若，可得，又为锐角， ∴，C正确； 对选项D：，D错误． 2. 从1到连续自然数的平方和的个位数是（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】自然数平方的个位数字每10个数为一个循环周期，只需计算一个周期内平方数的个位数字之和，再根据2020包含的周期数计算总和的个位数字即可． 【详解】解：∵中各数平方的个位数字依次为：， 将个位数字求和得：， 即每10个连续自然数的平方和的个位数字为5， 又∵，总个位数字为个5相加的个位数字， ∴，个位数字为0， 因此所求平方和的个位数是0． 3. 一个几何体是由若干个完全相同的小正方体搭成的，它的主（正）视图与俯视图如图所示，则符合下面两个视图要求的几何体有（ ）个 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图，俯视图的意义，求解即可； 【详解】解：根据主视图，俯视图，得这个几何体的构建方式有如下方式， ， 一共有5个不同的几何体； 4. 如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（ ） A. 4 B. 6 C. 4或9 D. 4或6 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，由于未指定对应顶点，需分两种情况讨论相似三角形的对应边比例关系，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 若与相似，分两种情况： ①当时， ∴，即，解得； ②当时， ∴，即，解得； 综上所述，的长为4或9 ． 5. 用表示不超过实数x的最大整数，如，，．若正整数x满足，则称x为“好数”，那么在这个正整数中“好数”的个数为（ ） A. 39 B. 41 C. 44 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义设得到的表达式，结合取整性质得到的取值范围，计算符合条件的的个数即可得到结果． 【详解】解：设，为正整数， 根据定义可得，即， 由题，得， 将代入不等式得， 对右边不等式化简：，整理得，即， 为正整数， ， 又是中的正整数， ，即， ，， ，因此的取值范围为，为正整数， 符合条件的的个数为，即好数的个数为． 6. 如图所示，在平行四边形中，是的平分线，且交于E，与相交于O，已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义，证得为等腰三角形，从而求出的长；再利用得出对应边成比例，进而求得的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 7. 已知如图，则不含阴影部分的矩形的个数是（ ） A. 15 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】图形中不含阴影的最小的矩形有10个，两个小矩形组成的矩形有10个，三个小矩形组成的矩形有4个，四个小矩形组成的矩形有2个． 【详解】解：图形中不含阴影的最小的矩形有10个，两个小矩形组成的矩形有10个，三个小矩形组成的矩形有4个，四个小矩形组成的矩形有2个． 综上不含阴影的矩形个数为26个． 故选D． 【点睛】本题可分类找出图形中的矩形，这样可以不重不漏，清晰的分类讨论是解本题的关键． 8. 的周长是24，M是的中点，，则的面积是（ ） A. 24 B. 20 C. 15 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定，一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形，利用线段关系先判定为直角三角形，再结合周长条件与勾股定理，计算三角形的面积即可． 【详解】解：∵M是的中点，，又 ， ∴，可得， ∴， ∵周长为24， ∴， 在中，由勾股定理得：， 将，两边平方得： ， 代入，得，即， ∴的面积为． 9. 在方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（ ） 10 8 13 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题是关于发散性思维的典型题例，主要考查了数字规律探索问题，从设未知数入手，找题目里的等量关系是解题关键．根据题意“每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于”，列式求的的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图， 10 8 13 ∵每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，有一块长为、宽为的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点的位置变化为，其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点翻滚到点的位置经过的路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的定义得到点A以B为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到；是由以C为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到，由于，，，，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接、， 由题意，点A以B为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到；是由以C为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到， ∵，，，， ∴点A翻滚到位置时共走过的路径长， 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长公式，旋转变换，解决本题的关键是掌握弧长公式和旋转的性质． 二、填空题（本大题共10道小题，每题4分，满分40分） 11. 若，，且，则的值是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据绝对值，算术平方根的性质求出x，y的值，然后判断出，然后代入求解即可． 【详解】解：， 或， 解得或， ， ， 或， 解得或， ， ， 或． 12. 如图，，是等腰直角三角形，点在函数的图象上，斜边、都在横轴上，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点、分别作轴的垂线，利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半的性质，设出点、的坐标，代入反比例函数解析式求出相关线段长度，进而求得点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵是等腰直角三角形，斜边在轴上， ∴， 设的坐标为，代入得， ， ∴， ∴，即点的坐标为， ∵是等腰直角三角形，斜边在轴上， ∴， 设，则点的横坐标为，纵坐标为，即， 将点坐标代入得， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 13. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解一分组分解法：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 先分组得到原式，再利用立方和公式和提公因式法分别对各组分解因式，再提公因式，然后把余下的因式利用十字相乘法分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 不等式的解集中包含的正整数只有，，，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意判断的符号，解出原不等式，再根据解集中只包含正整数，，，，得到关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解：， ， 当时，不等式变为，恒成立，解集中有无数个正整数，不符合题意，舍去， 当时，不等式解为，解集中有无数个正整数，不符合题意，舍去， 当时，不等式两边除以，不等号方向改变，得， ∵解集中包含的正整数只有，，，， ∴， 由，，两边同乘得，解得， 由，，两边同乘得，解得， 综上，的取值范围是． 15. 满足的所有实数x的和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据有理数乘方结果为的三种情况分类讨论，求出所有满足条件的实数，再计算所有的和. 【详解】解：非零数的次幂等于，因此满足 ， ， 解得或，均满足， 因此和是符合条件的解. 的任意次幂等于，因此满足 解得，代入原式得，等式成立，因此是符合条件的解. 的偶次幂等于，因此满足 是偶数， 由，解得，故，是偶数，因此，等式成立，因此是符合条件的解； 所有实数的和为； 16. 如图，正三角形的边长为，在的内部以为斜边任意作，连接，则线段长度的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，根据三角形三边关系可知当点三点共线时最短，计算即可得解． 【详解】解：取的中点，连接，， ∵是直角三角形，，为的中点， ∴， ∵是正三角形，为的中点， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，， ∴当点在线段上时，即点三点共线时，线段的长度最小，如图， ∴的最小值为． 17. 如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿着方向以每秒个单位的速度向终点运动，过点作，交于点（当点运动到终点时，与重合）．将沿对折，点落在点处，设与矩形重叠的部分的面积为，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质结合三角函数的定义得出，根据平行线的性质得出，设，解直角三角形求出，根据折叠的性质得出，，，进而求出，先求出点在上时，，分和两种情况，分别用表示出，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵将沿对折，点落在点处， ∴，，， ∴， 如图，当点在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，与矩形重叠的部分为的面积， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴时，取最大值，最大值为， 如图，当时，、分别与交于点、， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴时，随的增大而增大， ∴时，取最大值，最大值为， ∵， ∴的最大值为． 18. 等腰的底边，腰长，一动点在底边上从点开始向点以秒的速度运动，当点运动到与腰垂直的位置时，点运动的时间应为_____秒． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，根据等腰三角形三线合一性质可得到的长，由勾股定理可求得的长，再分两种情况进行分析：，，从而可得到运动的时间，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，作，交于点， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， 分两种情况：当点运动秒后有时， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴秒， 当点运动秒后有时， 同理可证得， ∴， ∴秒， ∴点运动的时间为秒或秒． 故答案为：7或25． 19. 若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据p与q求出平方和及之积，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算得到结果，把各自的值代入计算即可求出值． 【详解】∵p＝，q＝， ∴p2＋q2＝（）2＋（）2＝16， pq＝（）（）＝2， 则＝＝＝． 故答案为． 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，利用了完全平方公式及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 20. 方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】观察方程组系数特点，先将两个方程相加化简得到，再利用加减消元法求解二元一次方程组即可 【详解】解： ①+②，得， 整理得， ③×2010，得， ①−④，得， 解得， 将代入③，得， 解得， 因此原方程组的解为 三、解答题（21、22题各8分，23、24各题10分，25题14分） 21. 已知是方程的两个实数根，试求的最小值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、利用二次函数的性质求最值等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据方程两个实数根，则利用根的判别式可得出关于k的一元一次不等式，然后求得k的取值范围；由题得，，进而得到，推出当时，有最小值，最小值为即可解答． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ，解得：， ∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， ， ∴抛物线的开口方向向上，对称轴为， ∴当时，函数值随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为． 22. 已知平行四边形中，点E、F分别在边上． （1）若，与间距离为8，，求的面积； （2）若的面积分别为5、3、4，求的面积． 【答案】（1）30 （2）8 【解析】 【分析】（1）利用分隔法求出三角形的面积即可； （2）设，与间距离为，根据的面积为4，求出点到的距离，进而求出点到的距离为，再根据三角形的面积公式求出的长，推出，即平行四边形的面积为20，分隔法求出三角形的面积即可. 【小问1详解】 解：∵，与间距离为8， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； 【小问2详解】 解：设，与间距离为，则， ∵的面积为4， ∴点到的距离， ∴点到的距离为， ∴， ∴，， ∴， 整理，得， 解得或， ∵，即， ∴， ∴的面积. 23. 某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少? 【答案】购买9包大包装瓷砖和1包小包装瓷砖时，所付费用最少，最少为290元． 【解析】 【分析】求支付费用最少，要先考虑各种有可能的购买方案，然后进行对比．解题规律：实际问题中的包数应为整数． 【详解】依题意有三种购买方案 方案一：只买大包装，则需买包数为 由于不折包装， 所以只需买10包，所付费用为元． 方案二：只买小包装，则需买包数为=16，所付费用为元． 方案三：既买大包装，又买小包装并设买大包装x包，小包装y包， 所需费用为w元，根据题意得， 所以 因为，且x为正整数 所以． 所以时，（元） 即购买9包大包装瓷砖和1包小包装瓷砖时，所付费用最少，最少为290元． 【点睛】注意用多种方案考虑问题，将现实生活中的事件与数学思想联系，读懂题目不等式之间的关系即可解．要注意：实际问题中的包数应为整数． 24. 一个不透明的口袋里装有除表面上分别标有1，2，3，4数字外，其余完全相同的四个小球，现从中摸球，每次摸球前先搅拌均匀． （1）从中不放回地任取两个球，求取得两球的数字和为4的概率； （2）从中任取一个球，记下数字后放回袋中，搅拌均匀后再从中任取一球，求取得的两球数字和为4的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）画树状图先确定所有可能的取球情况，再得到数字和为4的所有情况，结合概率公式求解即可； （2）画树状图先确定所有可能的取球情况，再得到数字和为4的所有情况，结合概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 从中不放回地任取两个球共有种情况， 其中两球数字和为的情况有和，共种， ∴取得两球的数字和为的概率为． 【小问2详解】 解：树状图如下： 从中任取一个球，记下数字后放回袋中，搅拌均匀后再从中任取一球，共有种取法， 两球数字和为的情况有、、，共种， ∴取得两球的数字和为的概率为． 25. 如图，在等腰△ABC中，AB=BC．CD∥AB，点D在点C的右侧，点A，E关于直线BD对称，CE交BD于点F，AE交DB延长线于点G． （1）【猜想】 如图①，当∠ABC=90°时，∠EFG=________； （2）【探究】 在（1）的前提下，若AB=4，CD=1，求EF的长； （3）【应用】 如图②，当∠ABC=120°时，若EF=2 ，AB=2，则CD=________． 【答案】（1）45°；（2）EF= ；（3） -1 【解析】 【分析】（1）连接BE，利用轴对称的性质得BE=BC=AB，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角、外角关系求解即可； （2）易证△ABG∽△BCD，利用相似三角形的性质得AG：BC=AB：BD，据此求出AG．由轴对称性得GE=AG，由∠EFG=45°得EF=AG，计算即可得到答案； （3）连接BE，过点C作CH⊥GD于H，同（1）可得∠BEF=∠BCE=∠CBF=15°，进而得BF=CF=，则CH=，进而得CD=CH，故可求． 【详解】（1）连接BE，如图所示： 因为点A，E关于直线BD对称，且AB=BC，所以利用轴对称的性质得BE=BC=AB，且.由等腰三角形的性质可得，，又因为三角形ACE的内角等于，且∠ABC=90°，AB=BC，所以三角形ACE的内角等于，所以 ，又因为，所以，又因为，所以∠EFG=45°. （2）解：∵CD∥AB，∴∠D=∠ABG． 又∠AGB=∠BCD=∠ABC=90°， ∴△ABG∽△BCD， 又∵AB=4，CD=1，AB=BC， ∴BD=，AB=BC=4， ∴AG：BC=AB：BD，可以得到AG= .由对称性，得GE=AG= ．又由∠EFG=45°得EF=AG，∴EF= . （3）连接BE，过点C作CH⊥GD于H，如下图所示： 同（1）可得∠BEF=∠BCE=∠CBF=15°，进而得BF=CF=，则CH=，进而得CD=CH，故可求CD==-1. 【点睛】本题考查三角形的内角和、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形的内角和、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学模拟测试（二） 一、选择题（本大题共10道小题，每题4分，满分40分） 1. 下列四个命题中只有一个是正确的，则正确的命题的选项为（ ） A. 若，则 B. C. 若为锐角且，则 D. 2. 从1到连续自然数的平方和的个位数是（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 9 3. 一个几何体是由若干个完全相同的小正方体搭成的，它的主（正）视图与俯视图如图所示，则符合下面两个视图要求的几何体有（ ）个 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（ ） A. 4 B. 6 C. 4或9 D. 4或6 5. 用表示不超过实数x的最大整数，如，，．若正整数x满足，则称x为“好数”，那么在这个正整数中“好数”的个数为（ ） A. 39 B. 41 C. 44 D. 45 6. 如图所示，在平行四边形中，是的平分线，且交于E，与相交于O，已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知如图，则不含阴影部分的矩形的个数是（ ） A. 15 B. 24 C. 25 D. 26 8. 的周长是24，M是的中点，，则的面积是（ ） A. 24 B. 20 C. 15 D. 不确定 9. 在方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（ ） 10 8 13 A. B. C. D. 10. 如图，有一块长为、宽为的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点的位置变化为，其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点翻滚到点的位置经过的路径长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10道小题，每题4分，满分40分） 11. 若，，且，则的值是_______． 12. 如图，，是等腰直角三角形，点在函数的图象上，斜边、都在横轴上，则点的坐标是______． 13. 分解因式：__________． 14. 不等式的解集中包含的正整数只有，，，，则的取值范围是______． 15. 满足的所有实数x的和为_______． 16. 如图，正三角形的边长为，在的内部以为斜边任意作，连接，则线段长度的最小值为______． 17. 如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿着方向以每秒个单位的速度向终点运动，过点作，交于点（当点运动到终点时，与重合）．将沿对折，点落在点处，设与矩形重叠的部分的面积为，则的最大值为_______． 18. 等腰的底边，腰长，一动点在底边上从点开始向点以秒的速度运动，当点运动到与腰垂直的位置时，点运动的时间应为_____秒． 19. 若，，则________． 20. 方程组的解是______． 三、解答题（21、22题各8分，23、24各题10分，25题14分） 21. 已知是方程的两个实数根，试求的最小值． 22. 已知平行四边形中，点E、F分别在边上． （1）若，与间距离为8，，求的面积； （2）若的面积分别为5、3、4，求的面积． 23. 某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少? 24. 一个不透明的口袋里装有除表面上分别标有1，2，3，4数字外，其余完全相同的四个小球，现从中摸球，每次摸球前先搅拌均匀． （1）从中不放回地任取两个球，求取得两球的数字和为4的概率； （2）从中任取一个球，记下数字后放回袋中，搅拌均匀后再从中任取一球，求取得的两球数字和为4的概率． 25. 如图，在等腰△ABC中，AB=BC．CD∥AB，点D在点C的右侧，点A，E关于直线BD对称，CE交BD于点F，AE交DB延长线于点G． （1）【猜想】 如图①，当∠ABC=90°时，∠EFG=________； （2）【探究】 在（1）的前提下，若AB=4，CD=1，求EF的长； （3）【应用】 如图②，当∠ABC=120°时，若EF=2 ，AB=2，则CD=________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $